2021届高考数学文化习题集（ 解析版）

页 1 2021 年数学文化专项习题集 110 题 一、数学文化与阅读.................................................................................................................2 二、数学文化与函数.................................................................................................................8 三、数学文化与数列.............................................................................................................. 11 四、数学文化与新定义.......................................................................................................... 20 五、数学文化与三角函数...................................................................................................... 25 六、数学文化与立体几何...................................................................................................... 30 七、数学文化与概率统计...................................................................................................... 42 八、数学文化与排列组合...................................................................................................... 50 九、数学文化与解析几何...................................................................................................... 51 页 2 C 1 e2 一、数学文化与阅读 例1. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年)一书中,用如图 1 所示的三角 形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623 年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655 年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国 三角形”(Chinese triangle).17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 2.在杨 辉三角中相邻两行满足关系式: C + C +1 = C +1 ,其中 n 是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼 +1茨三角形中相邻两行满足的关系式是 . 图 1 图 2 【解析】类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 1 +1 ,而相邻两项之和是上一 行的两者相拱之数,故类比式子 C + C +1 = C +1 ,有 1 + 1 = 1 . +1 C1 C C1 C +1 C1 C+2 +1 +2 +1 +1 例2. 在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正 切三角函数等等，其中泰勒级数是以于 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒 （Sir Brook Taylor）的名字来命名的.1715 年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列 级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公 x  xn x0 x1 x2 x3 式： e        ，其中 xR ， n N* ， n!1 23 4  n， n0 n! 0! 1! 2! 3! 例如： 0!  1 ，1!  1 ， 2!  2 ， 3!  6 .试用上述公式估计 1 的近似值为（精确到 0.001） （ ） A．1.601 B．1.642 C．1.648 D．1.647 【解析】由题意，只需要精确到 0.001 即可，令 x  0.5, n  4 ，代入可得，  xn n! 页 3  0.5n 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 1 e0.5  n0 4!  0!  1!  2!  3!  4! 1.648434 1.648 ，所以e2 的近似值为 1.648， 例3. “克拉茨猜想”又称“ 3n 1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在 1950 年世界数学家大会 上公布的一个猜想:任给一个正整数 n ，如果 n 是偶数，就将它减半；如果 n 是奇数，就将 它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到 1.已知正整数 n 经过 7 次运算后首次得到 1，则 n 的所有不同取值的集合为 . 【解析】由题,由正整数 n 经过 7 次运算后首次得到 1,即可设第 7 次的运算结果为 a7  1 , 若第 6 次为奇数,则3a6  1  1,解得 a6  0 ,不符合； 若第 6 次为偶数,则 1 a  1,解得 a  2 ；2 6 6 若第 5 次为奇数,则3a  1  2 ,解得a  1 ,不符合； 5 5 3 若第 5 次为偶数,则 1 a  2 ,解得 a  4 ； 2 5 5 若第 4 次为奇数,则3a4  1  4 ,解得a4  1,不符合； 若第 4 次为偶数,则 1 a  4 ,解得 a  8 ； 2 4 4 若第 3 次为奇数,则3a  1  8 ,解得 a  7 ,不符合； 3 3 3 若第 3 次为偶数,则 1 a  8 ,解得a  16 ； 2 3 3 若第 2 次为奇数,则 3a2 116,解得 a2  5 ①； 若第 2 次为偶数,则 1 a  16 ,解得a  32 ②； 2 2 2 若第 1 次为奇数,则 ① 3a  1  5 ,解得 a  4 ,不符合； 1 1 3 ② 3a  1  32 ,解得 a  31 ,不符合； 1 1 3 若第 1 次为偶数,则 ① 1 a  5 ,解得 a  10 ； 2 1 1 ② 1 a  32 ,解得 a  64 ； 2 1 1 若 n 为奇数,则 页 4 ① 3n  1  10 ,解得 n  3 ； ② 3n  1  64 ,解得 n  21 ； 若 n 为偶数,则 ① 1 n 10 ,解得 n  20 ； 2 ② 1 n  64 ,解得 n 128 . 2 综上, n 的所有不同取值的集合为3, 20, 21,128 ,故答案为: 3, 20, 21,128 例4. 大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结 果必然是 1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用 尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对 700 亿以内的自然数上述结论 均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取 n  13 ，则要想算出结果 1，共需要经过的 运算步数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解析】由题意：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2； 如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1. 第一步： n  13 为奇数，则 n  13  3  1  40 ； 第二步： n  40 为偶数，则 n  40  20 ； 2 第三步： n  20 为偶数，则 n  20 10 ； 2 第四步： n  10 为偶数，则 n  10  5 ； 2 第五步： n  5 为奇数，则 n  5  3  1  16 ； 第六步： n  16 为偶数，则 n  16  8 ； 2 第七步： n  8 为偶数，则 n  8  4 ； 2 第八步： n  4 为偶数，则 n  4  2 ； 2 第九步： n  2 为偶数，则 n  2  1 . 2 所以共需要经过的运算步数是 9. 页 5 例5. 中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一 个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需 要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表 示，则 56846 可用算筹表示为（ ） A． B． C． D． 【解析】根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示； 十位，千位，十万位用横式表示， 56846 用算筹表示应为：纵 5 横 6 纵 8 横 4 纵 6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表 示为 B 中 的． 故选： B ． 例6. 用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图 1 所示. 金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方 程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”， 意即“设 x 为某某”.如图 2 所示的天元式表示方程 a xn  a xn1    a x  a  0 ，其中 0 1 n1 n a0 ， a1，…， an1 ， an 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或 在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂. 页 6 试根据上述数学史料，判断图 3 天元式表示的方程是（ ） A． x2  286x 1743  0 B． x4  27x2  84x 163  0 C．1743x2  286x 1 0 D．163x4  84x3  27x 1  0 【解析】由题意可得，题图 3 中从上至下三个数字分别为 1，286，1743，由“元”向上每层 减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为1743x2  286x  1  0 .故选：C. 例7. 分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在 20 世纪 70 年代创立的一门数学新分支，其中 的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各 边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上 述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所 示)，按上述操作 7 次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 【解析】如图，根据题意第 1 次操作后，图形中有 3 个小正三角. 页 7 第 2 次操作后，图形中有 3×3=32 个小正三角. 第 3 次操作后，图形中有 9×3= 33 个小正三角. ………………………… 所以第 7 次操作后，图形中有37 个小正三角. 故选：C 例8. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、 辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做 “十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干 支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、 乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019 年是“干支纪年法”中的己亥年，那么 2026 年是“干支纪年法”中的 A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年 【解析】根据规则， 2019 年是己亥年， 2020 年是庚子年， 2021 年是辛丑年， 2022 年是壬 寅年， 2023 年是癸卯年， 2024 年是甲辰年， 2025 年是乙巳年， 2026 年是丙午年，故选： C. 例9. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素 的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术 语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八封所代表的数表示如 下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 页 8 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“ ”，其表示的十进制数是( ) A．33 B．34 C．36 D．35 【解析】选 B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“ ”表示的二进制数为 100010，转化为十进制数为 0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选 B. 例10. 中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即 “结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼 条数，由图可知，这位古人共捕鱼（ ） A．89 条 B．113 条 C．324 条 D．445 条 【解析】该图的五进制数为 324，根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得： 324(5)＝4×50+2×51+3×52＝89，故选 A 二、数学文化与函数 例11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼 形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将 圆 O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，给出下列命题： ①对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个； ②函数 f(x)＝ln(x2＋ x2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数 y＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”； ④函数 y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数 y＝f(x)的图象是中心对称图 形． 其中正确的命题为( ) A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④ 【解析】选 A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆 O， 其“太极函数”有无数个，故①正确； 函数 f(x)＝ln(x2＋ x2＋1)的图象如图所示， 页 9 E2 故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误； 将圆的圆心放在正弦函数 y＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数 y＝sin x 是该圆的“太极 函数”， 从而正弦函数 y＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确； 函数 y＝f(x)的图象是中心对称图形，则 y＝f(x)是“太极函数”，但函数 y＝f(x)是“太极函数” 时，图象不一定是中心对称图形，如图，故④错误．故选 A. 例12. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯( Hipparchus ，又名依 巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数 值越大，它的光就越暗.到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学 家普森( M.R.Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等 或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m1 m2  2.5lg E2  lg E1  .其中星等为mi 的星的亮 度为 Ei i  1, 2 .已知“心宿二”的星等是 1.00.“天津四” 的星等是 1.25.“心宿二”的亮度是“天 津四”的 r 倍，则与 r 最接近的是(当 x 较小时， 10x  1  2.3x  2.7x2 ) A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 E 1 E 1 【解析】根据题意可得：11.25  2.5lgE  lgE  ，可得lg 1  ，解得 r  1 1010 ， 2 1 10 E 根据参考公式可得 r  1  2.3 1  2.7  1  1.257 ，故与 r 最接近的是1.26 .故选：C. 10 100 例13. 我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但 实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的 长边时，便不能继续对折了，一张长边为 w ，厚度为 x 的矩形纸张沿两个方向不断对折， 则经过两次对折，长边变为 1 w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数 n 有下列关系： 2 n  2 log 3 w （注： lg 2  0.3 ），根据以上信息，一张长为 21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多2 x 能对折 次. 2 页 10 【解析】n  2 log 4200  2 log 4  log 1000  log 21   2 2  3log 10  log 21  ，3 2 3 2 2 2 20  3  2 2 20      因为log 10  1  1 ，0  log 21 1，所以 n  8  2 log 21  n 的最大值为 8． 2 故答案为： 8 lg2 0.3 2 20 3 2 20 例14. 如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要 由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直 杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某 种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第 n 个圆环解下最少需要移动的次数 记为 f n （ n  9 且 n  N* ），已知 f 1  1 ， f 2  1 ，且通过该规则可得 f n  f n 1  2 f n  2  1 ，则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为（ ） A．7 B．16 C．19 D．21 【解析】由已知 f 3  f 2  2 f 1  1  1  2  1  4 ， f 4  f 3  2 f 2 1 4  2 1 7 ， f 5  f 4  2 f 3 1 7  8 1 16 ， 故选：B． 例15. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法 是一种将一元 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即 使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶 算法计算当 x  0.6 时函数 f  x  x4  2x3  3x2  4 的值时，需要进行加法运算的次数及函 数值分别为（） A．3，5.6426 B．4，5.6426 C．3，5.6416 D．4，5.6416 【解析】根据秦九韶算法的原理，可得 f  x  x4  2x3  3x2  4  (x3  2x2  3x)x  4  ((x2  2x1  3)x)x  4  (((x  2)x  3)x)x  4 ，所以进行了三次加法运算，由于 页 11 2 v1  2.6, v2  4.56, v3  2.736, v4  5.6416 ，所以函数的值为 5.6416，故选 C 三、数学文化与数列 例16. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日， 长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第 1 天 长高 3 尺，莞草第 1 天长高 1 尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一 天的 2 倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第 天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈ 0.4771，lg2≈0.3010)． 【解析】 由题意得，蒲草的长度组成首项为 a1＝3，公比为1的等比数列{an}，设其前 n 项 和为 An；莞草的长度组成首项为 b1＝1，公比为 2 的等比数列{bn}，设其前 n 项和为 Bn.则 An 31－ 1  31－1   2n 2n－1  2n 2n－1 6 ＝ 1 ，Bn＝2－1 ，令 －2 1 ＝ 2－1 ，化简得 2n＋2n＝7(n∈N*)，解得 2n＝6，所以 n －2 lg6 lg3 ＝lg2＝1＋lg2≈3，即第 3 天时蒲草和莞草长度相等． 例17. 腾讯公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度，设等级为 n 级需要的天数为 an (n  N*) ， 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 1 1 页 12 6 60 48 2496 则等级为 50 级需要的天数 a50  【解析】由表格知 an  5  7  3)  n(5  2n  3)  n(n  4) ，∴ 2 a50  50  54  2700 ． 例18. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩 二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就 是：求正整数 N ，使 N 除以 3 余 2，除以 5 余 2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的 所有正整数数列an  、bn  ，an  满足被 3 除余 2， a1  2 ，bn  满足被 5 除余 2， b1  2 ，把数列an 与bn  相同的项从小到大组成一个新数列，记为cn  ，则下列说法正 确的是（ ） A. c2  a1b1 B. c6  a2b3 C． c10 a46 D．a1  2b2  c4 【解析】由条件可知 an  2  3n 1  3n 1 ， bn  2  5n 1  5n  3 ， cn  2  15n 1  15n 13 ， 对于 A， c2  17,a1 b1 4 ，所以 A 错误；对于 B，c6  77,a2b3  60 ，所以 B 错误；对于C， c10 137,a46  137 ，所以 C 正确；对于 D， a1 2b2  16,c4  47 ，所以 D 错误；故选： C. 例19. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有 一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半， 走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A．96 里 B．72 里 C．48 里 D．24 里 【解析】由题意可知此人每天走的路程构成公比为 1 的等比数列，设此人第一天走的路程 2  (2n  页 13 1 2   2   1 6 a 1    为 a ，则     378 ，解得 a 192 ，从而可得 1 1  1 2 1 1  1 3 a2 192 2  96,a4 192 2   24 ，故 a2  a4  96  24  72 .故选： B 例20. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影 之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ） A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an ， S 是其前 n 项和，则 S  9a1  a9   9a  85.5 尺， n 9 5 所以 a5  9.5 尺，由题知 a1 a4  a7  3a4  31.5 ， 所以 a4  10.5 ，所以公差 d  a5  a4  1 ， 所以 a12  a5  7d  2.5 尺. 故选:B. 例21. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成 正三角形的数，如 1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴》中所 记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所 示，顶上一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有 10 层，则该堆垛总共球的个数为（ ） A．55 B．220 C．285 D．385 页 14 2 【解析】 “三角形数”的通项公式 an 前 n 项和公式为：  nn  1 ， 2 nn  1  12  22      n2  1  2      n Sn 1 3  6    2 2 2  nn  12n  1  n n  1 ，当 n  10 时， S  10 10  1  20  1  10  10  1  220 . 12 4 故选：B. 10 12 4 例22. 造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成 一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0 、 A1 、…、 A10 ； B0 、 B1、…、 B10 等 标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面 规格为：① A0 规格的纸张的幅宽（以 x 表示）和长度（以 y 表示）的比例关系为 x : y  1: ；②将A0 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1 规格. A1 纸张沿长度方向 对开成两等分，便成为 A2规格，…，如此对开至 A8规格.现有 A0、A1、 A2、…、 A8纸 各一张.若 A4纸的面积为 624cm2 ，则这 9 张纸的面积之和等于 cm2 . 【解析】由题可设， A0 纸的面积为 S ，根据题意，纸张面积是首项为 S ，公比为 1 的等比 2  1 4 数列，则容易知 A4 纸张的面积为 S       624 ，故可得 S  9984 ，故纸张面积是一个首   1 9 1 S 1   2 项为 9984 ，公比为 的等比数列，故 9 张纸的面积之和为    19929 .故答案为： 2 19929 . 1  1 2 例23. 《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、 立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为 ． 【解析】 从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、 小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{an }，冬至、立春、春分的日影子长 的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺， a1  a4  a7  3a1  9d  37.5 ，解得d  1，a  a  11d  4.5  12 1 2 页 15 a1  15.5 ．冬至的日影子长为 15.5 尺． 故答案为：15.5 尺． 例24. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤， 堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几 何？若记堤与枝的个数分别为 m, n ，现有一个等差数列an  ，其前 n 项和为 Sn ，且 a2  m ， S6  n ，则 a4  （ ） A．84 B．159 C．234 D．243 【解析】由题意得 m  9,n  93 ，a  9,S  93 ，则a1  d  9 ，即 a  66, d  75 2 6 6a  15d  93 1  1 所以 a4  66  3 75  159 ，故选：B 例25. 在进行1 2  3  100 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原 理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高 斯算法.已知数列 a  n ，则 a  a  ...  a  （ ） n 2m  4034 1 2 m2016 A．m  5042 C． m  504 B． m  5044 D．2m  504 【解析】依题意，记 S  a1  a2  ...  am2016 ，则 S  1  2  ...  m  2015  m  2016 ，又 2m  4034 2m  4034 2m  4034 2m  4034 S  m  2016  m  2015  ...  2  1 ，两式相加可得 2m  4034 2m  4034 2m  4034 2m  4034 2S  m  2017  m  2017  ...  m  2017  m  2017  m  2016 ， 2m  4034 2m  4034 2m  4034 2m  4034 2 则 S  m  2016  m  504 ， 4 4 例26. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二 人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、 页 16 2 乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问 五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 . 【解析】【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a  2d,a  d,a,a  d,a  2d ,则 a  2d  a  d  a  a  d  a  2d ,解得 a  6d ,又 a  2d  a  d  a  a  d  a  2d  5, a 1 ,则 a  2d  a  2 a   4 a  4 . 6  3 3   例27. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》 卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数 之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个 自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则 该数列各项之和为（ ） A．56383 B．57171 C．59189 D．61242 【解析】被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为5  7  35 的等差数列， 记数列a 则a  23 35n 1  35n 12 ，令 a  35n 12  2020 ，解得 n  58 2 .，故该 n n n 35 数列各项之和为58  23  58  57  35  59189 . 2 故选：C. 例28. 《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有马行 转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度 逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走 7 天，共走 700 里路，问每天走的里数 为多少？”则该马第 4 天走的里数为( ) A 128 700 5 600 44 800．127 B．127 C． 127 D． 127 【解析】依题意，马每天走的里程形成一个等比数列，设其首项为 a1，公比为 q，则 q＝1. a11－q7 44 800 44 800 13 5 600 又 S7＝ 故选 C． 1－q ＝700，解得 a1＝ 127 ，从而 a4＝ 127 ×2 ＝ 127 . 例29. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷 吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了 页 17 微信公众号：数学研讨 首发整理 牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、 马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗=10 升），三 畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的 青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A． 25 , 50 ,100 7 7 7 B． 25 , 25 , 50 14 7 7 C．100 , 200 , 400 7 7 7 D． 50 ,100 , 200 7 7 7 【解析】设羊户赔粮 a1 升,马户赔粮 a2 升,牛户赔粮 a3 升,则 a1 , a2 , a3 成等比数列,且公比 q  2, a  a  a  50 ,则 a (1 q q2   50 ,故 a  50  50 , a  2a  100 , 1 2 3 1 1 1 2  22 7 2 1 7 a  22 a  200 .3 1 7 故选:D. 例30. 《张丘建算经》是公元 5 世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有 个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按 30 天计)共织 布 9 匹 3 丈.问：前半个月(按 15 天计)共织多少布？”已知 1 匹＝4 丈，1 丈＝10 尺，可估 算出前半个月一共织的布约有（ ） A．195 尺 B．133 尺 C．130 尺 D．135 尺 【解析】9 匹 3 丈为 390 尺，每天的织布数成等差数列，首项 a1  5 ，记公差为 d S  5  30  30  29 d  390 ， d  16 ， 30 2 29 S15 S15  15  5  15 14  16  75  15  7 16  75  15  7 16  75  56  131 ， 2 29 29 30  75  15  7 16  135 ． 28 故选：B 例31. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾 （注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共织 390 尺布”，则第 30 天织布（ ） A．7 尺 B．14 尺 C．21 尺 D．28 尺 【解析】依题意可知，织布数量是首项为 a1  5 ，公差 d  5 的等差数列，且 页 18 S  a1  a30  30  390 ，即15  5  a   390 ，解得 a  21（尺）. 30 2 故选：C 30 30 例32. 朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有 如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．” 其大意为“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出 的人数比前一天多 7 人．”该段话中的 1 864 人全部派遣到位需要的天数为( ) A．9 B．16 C．18 D．20 【解析】选 B 根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列{an}是首项 a1＝64， nn－1 公差 d＝7 的等差数列．设 1 864 人全部派遣到位需要 n 天，则 64n＋ 2 ×7＝1 864，即 7n2＋121n－3 728＝0，解得 n＝16 或 n 233(舍去)．故选 B. ＝－ 7 例33. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷 (ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节 气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺 五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑) 晷 长是( ) A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 【解析】选 B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为 d，a1＝15，a13＝135， 则 15＋12d＝135，解得 d＝10.所以 a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是 25 寸．故选 B. 例34. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被 人们称之为神奇数．具体数列为 1，1，2，3，5，8 ，即从该数列的第三项数字开始，每 个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列an  为“斐波那契”数列， Sn 为数列an  的前 项和，若 a2020 =M 则 S2018 = ．(用 M 表示) 页 19  an  an1 an2   a11 【解析】由“斐波那契”数列可知 an2  an  an1  an  an1  an  an  an1  an2  an1  .所以 Sn  an  an1   a1 an2 1 ， 所以 S2018  a2020 1  M 1 例35. “斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常 被人们称为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8,13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字 都等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和， 若 a2 021＝m， 则 S2 019＝( ) A．2m B 2m－1． 2 C．m＋1 D．m－1 【解析】；因为 an＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝an＋an－1＋an－2＋an－3 ＋an－2＝…＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋a2＝Sn＋1，所以 S2 019＝a2 021－1＝m－1.故 选 D. 例36. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统 文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量 总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前 10 项依次是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第 20 项为( ) A．220 B．200 C．180 D．162 【解析】选 B 由 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为 a2n＝2n2(n∈N*)．则 此数列的第 20 项为 2×102＝200.故选 B. 例37. 《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊 食半马”．马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃 了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马 主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多 少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( ) A.50 10 7 斗粟 B． 7 斗粟 15 20 C. 7 斗粟 D． 7 斗粟 【解析】选 C 法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为 a1，a1，a3，则这 3 个数依 次成等比数列，公比 q＝2，所以 a1＋2a1＋4a1＝5，解得 a1＝5，故 a3＝20，a3－a1＝20－5 7 7 7 7 页 20 n 1 15＝ 7 .故选 C. 法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是 1∶2∶4，故牛主人应赔偿 4 20 斗)，羊主人应赔偿 1 5 20 5 15 5×7＝ 7 ( 5×7＝7(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了 7 －7＝ 7 (斗)．故选 C. 例38. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿, 大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:有两只老 鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每 天减半,问几天两只老鼠能相遇,相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚,Sn 为前 n 天两只 老鼠打洞长度之和,则 Sn= 尺. 【解析】由题意可知大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,前 n 天打 1 洞之和为 1 - 2 1 - ( ) =2 -1,同理,小老鼠每天打洞的距离 2 =2- ,所以 Sn=2n-1+2- 1 =2n- 1 +1. 1 - 2 1 - 1 2 2 - 1 2 - 1 2 - 1 例39. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形 边上再连接正方形,如此继续,若共得到 4 095 个正方形,设初始正方形的边长为 √2 ,则最小正 2方 形 的 边 长 为 . 【解析】依题意,正方形的边长构成以 √2 为首项,公比为 √2 的等比数列,因为共有 4 095 个正方 2 2形,则 1+2+22+…+2n-1=4 095,∴n=12. 所以最小正方形的边长为 √2 2 √2 12 - 1 × ( )2 √2 12 = ( )2 = 1 . 64 四、数学文化与新定义 例40. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f(x)= 1 , 为有理数, { 0 , 为无理 数 称为狄利克雷函数,则关于函数 f(x)有以下四个命题: ①f(f(x))=1; 页 21 k ②函数 f(x)是偶函数; ③任意一个非零有理数 T,f(x+T)=f(x)对任意 x∈R 恒成立; ④存在三个点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】由 f(x)是有理数 ⇒ f(f(x))=1,故命题①正确;易得 f(-x)=f(x) ⇒ f(x)是偶函数,故②正确;易 得 f(x+T)=f(x)成立,故③正确;取 A 1- √3 ,0 ,B(1,1),C (1 + √ 3 , 0) ,可得△ABC 为等边三角形,故 3 3④正确,综上真命题的个数有 4 个. 例41. 规定记号“Δ”表示一种运算，即 aΔb＝ ab ＋a＋b，a，b∈R.若 1Δk＝3，则函数 f(x) ＝kΔx 的值域是 ． 【解析】由 1Δk＝3，得 ＋1＋k＝3，解得 k＝1，所以 f(x)＝ x＋1＋x(x≥0)， f(x)在[0，＋∞)内是增函数，故 f(x)≥1，即 f(x)的值域为[1，＋∞)． 例42. 定义一种运算“※”，对于任意 n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2017＝1；(2)(2n ＋2)※2017＝(2n)※2017＋3.则 2018※2017＝ . 【解析】设 an＝(2n)※2017，则由运算性质(1)知 a1＝1，由运算性质(2)知 an＋1＝an＋3，即 an ＋1－an＝3.于是，数列{an}是等差数列，且首项为 1，公差为 3. 故 2018※2017＝(2×1009)※2017＝a1009＝1＋1008×3＝3025. 例43. 定义：若数列{an}对任意的正整数 n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d 为常数)，则称{an}为“绝对 和数列”，d 叫作“绝对公和”．在“绝对和数列”{an}中，a1＝2，“绝对公和”为 3，则其前 2 019 项的和 S2019 的最小值为( ) A．－3022 B．3022 C．－3025 D．3035 【解析】依题意，要使其前 2 019 项的和 S2 019 的值最小，只需每一项都取最小值即可．因为 |an＋1|＋|an|＝3，所以有－a3－a2＝－a5－a4＝…＝－a2 019－a2 018＝3，即 a3＋a2＝a5＋a4＝… 2 019－1 ＝a2 019＋a2 018＝－3，所以 S2 019 的最小值为 2＋ 2 ×(－3)＝－3 025.故选 C． 例44. 设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则 A*B 中元素的个数是( ) A．7 B．10 C．25 D．52 【解析】因为 A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以 A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由 x∈ 页 22 ＝－ A∩B，可知 x 可取 0,1；由 y∈A∪B，可知 y 可取－1,0,1,2,3.所以 A*B 中的元素共有 2×5＝10 个． 例45. 中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表 示为 a2  b2  c2 a,b,c N*  ，我们把 a，b，c 叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5； 5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组股数的三个数依次是 . 【解析】观察、先找出勾股数的规律:①以上各组数均满足 a2  b2  c2 a,b,c  N*  ;②最小 的数 a 是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续 的正整数;③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和, 如 32  4  5,52  12  13, 72  24  25,92  40  41,112  60  61 由以上特点我们可知第⑤组勾 股数:112  60  61, 故答案为:11, 60, 61 例46. 设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若 P＝ {－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合 P⊗Q 中元素的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】当 a＝0 时，无论 b 取何值，z＝a÷b＝0； 当 a＝－1，b＝－2 时，z 1 当 a＝－1，b＝2 时，z ＝2； 1 ＝－2； 当 a＝1，b＝－2 时，z 1 当 a＝1，b＝2 时，z ＝－2； 1.＝2  1 1故 P⊗Q＝0，－2，2，该集合中共有 3 个元素，所以选 B.   例47. 设向量 a 与 b 的夹角为 θ，定义 a 与 b 的“向量积”：a×b 是一个向量，它的模|a×b|＝ |a|·|b|·sin θ， 若 a＝(－ 3，－1)，b＝(1， 3)， 则 |a×b|＝( ) B．2 C．2 3 D．4 【解析】根据题意，可求得|a|＝2，|b|＝2，a·b＝－2 3，则 cos θ＝ a·b 3，所以 θ＝ 5π，故|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝ 1＝2. |a||b| 2 6 2×2×2 A． 3 页 23 8    例48. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中 任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 ． 【解析】 从长方体 ABCD—A1B1C1D1 中任选四个顶点的选法有 C4＝70(种)，以 A 为其中一 个顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有 A—A1D1C1，A—A1B1C1，A—BB1C1，A—BCC1， A—DCC1，A—DD1C1，共 6 个． 同理，以 B，C，D，A1，B1，C1，D1 为其中一个顶点的三棱锥也各有 6 个，但所有列举的 三棱锥均出现 2 1 8×6＝24(个)． 次，所以四个面都是直角三角形的三棱锥有2× 故所求的概率 P 24 12＝70＝35. 例49. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧 （法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法（又称一行 算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数 y  f (x) 在 x  x1 ， x  x2 ， x  x3  x1  x2  x3  处的函数值分别为 y1  f  x1  ， y2  f  x2  ， y3  f  x3  则在区 间xi , x3 上 f (x) 可以用二次函数来近似代替： f (x)  y1  k1 x  x1   k2 x  x1 x  x2  ，其 中 k  y2  y1 ， k  y3  y2 ， k  k  k1 ，若令 x  0 ， x   ， x   ，请依据上述算1 x x x  x 2 x  x 1 2 2 3 2 1 3 2 3 1 法，估算 sin 2 是（ ） 5 A. 3 5 B. 16 25 C. 17 25 D. 24 25 【解析】函数 y  f (x)  sin x 在 x  0 ， x   ， x   处的函数值分别为 y  f (0)  0 ， 2 1 y  f     1， y  f ( )  0 ，故 k  y2  y1  2 ， k  y3  y2   2 ， k  k  k1   4 . 2  2  3 1 x  x  x  x  2 x  x  2   故 f (x)  2 x  4  4x x    2 1 x2  4 x ，即sin x   3 2 3 14 x2  4 x ，   2  2   2   2    2 4 (2)2 4 2 24 ， sin       5  2 52  5 25 例50. 设函数 f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1， [1]＝1.将函数 f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m，函数 f(x)与 g(x) x ＝－3的图象的交点个数 记为 n，则定积分n g(x)dx＝ . m 【解析】 由题意可知，当 0≤x