沪教版（上海）数学八年级第二学期-23.4概率应用举例教案

概率应用举例教案 教学目标：复习概率一章中的基本计算方法，令学生对于概率在生活中的运用有直观认识，初步接触乘法 原理和组合方法在概率问题中的应用。 教学重点：如何建立合适的数学模型解决实际生活中的概率问题。大数据的列式与计算。 教学难点：较复杂问题的计算和模型建立。对于公式 n kP  的理解和运用。乘法原理、排列组合在概率问 题中的应用。 教学过程： 生活中其实到处都有概率的影子，小到出门是否带伞，收衣服袜子是否成对；大到保险公司、电力公司的 运营，乃至整个政府未来的规划，都和概率有关。今天我们在一些实例中进一步地研究一些生活中的概率 问题。 问题 1：取数问题  从 1 到 4 中可重复地任取 2 个数，第一个比第二个数大 2 的概率是多少？  从 1 到 4 中可重复地任取 2 个数，两数之差不等于 2 的概率是多少？ 两个问题均由学生解答。第一题： n kP  25.016 4  。学生口答方法，教师画树状图解答。 第二题有 2 种解法。其一，仍然利用前一小问的树状图可得 P’=0.5，其二，利用前一小题的结论。除了 P’=1-2 ×0.25=0.5。两种解法均可以得到答案，但是第二种解法中利用两个对立事件概率和为 1 的结论，可以解 决不少之后的问题。 问题 2：生日问题 每位同学都知道自己的生日，那么在日常生活中，是不是经常会遇到和自己生日相同的人呢？如果不是， 那么你知道身边的同学有多少是生日相同的呢？引出下面问题。 400 个同学中,一定有两个同学的生日相同(可以不同年)吗?为什么? 引导学生利用抽屉原理进行解答。视 400 人为 400 个苹果，366 种生日情况为 366 个抽屉，则本问题可以 理解为将 400 个苹果放入 366 个抽屉，必有一个抽屉里面有 2 个苹果。所以这是一个必然事件。 67 个同学中, 有两个同学的生日相同.”这个事件发生的概率高不高？请你猜猜看，概率大约是多少。 【注：从本题开始，为了接下来计算方便，认为一年是 365 天。】 本题请同学们猜测此事件发生的概率。一般来说，初次接触这个问题的同学会盲目的乱猜，大约猜测范围 在 30%到 90%不等，也会有同学认为计算式子是 365 67P ，引导学生自发思考：这样的计算法对不对。 计算环节：请学生思考，如何计算本题的概率。 使用问题 1 的第二小问的解法， PP 1 ,考虑如何计算“67 人中，任两人生日不同”时间发生的概率。 用这种想法，算得 。 提问，这个答案和同学们的猜测是否存在很大出入？这背后的理由是什么？是不是我们计算有误？留待思 考。 互动环节： 我们班级有无同学同月同日生？ 一般来说，班级当中会有同学同月同日生，因为依照前面公式， ， 这个概率其实比较大，在班中做实验的话成功率是很高的。 在班中同学找出同月同日生日的同学的时候，教师可以说明，其实调查了其他班级的情况，绝大部分 班级中，都有同学同月同日生。这个概率比较高的情况，可以从老师调查结果中事件发生的频率进行 粗略的验证。 如果没有，是否说明我们计算有误？ 可以教师答，也可以由学生答。不是。因为随机事件中，概率再高的也会有不发生的可能性，概率再低也 会有发生的可能性。 进一步的问题：产生错觉的原因到底是什么？（算法问题） M 个人中有 2 个人同月同日生的概率是 50%： N 个人中恰好有人和你同月同日生的概率是 50%: 我们平时容易产生误解的原因是经常会误读这个问题。认为要找的是和自己生日相同的人，这样的话， 需要的总人数会很多，超过原题的 10 倍。 问题 3：彩票问题 生活中经常可以看到彩票的广告，有些从中奖率入手，比如本奖券中奖率高达 50%；有些从中奖金额入手， 比如区区 2 块钱，改变你的一生。那么这些广告中是不是有虚假的成分？如果都是真实的广告，那买彩票 究竟合算不合算呢？接下来我们通过一些基本的计算，来判断买彩票是否合算。 某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了 100 张奖券，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 20 个，三等 奖 30 个。已知每张奖券获奖的可能性相同。求： （1）一张奖券中特等奖的概率； （2）一张奖券中奖的概率。 两个基本问题，由全班学生一起回答。结论是 P(1)=0.01，P(2)=0.61. 这个问题后进一步的强调概率的基本算法，关键是求出总共的可能数 n 和事件发生的可能数 k，利用公式 n kP  进行直接解答。在很多的概率问题中，选择适合的方法很重要。通过本题引出学生对彩票的兴趣， 下面具体计算各个档次彩票的中奖概率。 “双色球”彩票中奖概率规则： “双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，每注投注号码由 6 个红色球号码和 1 个蓝色球 号码组成。红色球号码从 1--33 中选择；蓝色球号码从 1--16 中选择。 "双色球"彩票以投注者所选单注投注号码（复式投注按所覆盖的单注计）与当期开出中奖号码相符的球 色和个数确定中奖等级。 双色球中奖规则： 一等奖：7 个号码相符（6 个红色球号码和 1 个蓝色球号码） 二等奖：6 个红色球号码相符 三等奖：5 个红色球号码和 1 个蓝色球号码相符 四等奖：5 个红色球号码或 4 个红色球号码和 1 个蓝色球号码相符 五等奖：4 个红色球号码或 3 个红色球号码和 1 个蓝色球号码相符 六等奖：1 个蓝色球号码相符 97.0365 319...3643651 47 P 23,5.0 365 )1365(...3643651)(  MMMP M 253,5.0365 3641)(      NNP N 中奖概率： 一等奖（6+1）中奖概率为： 红球 33 选 6 乘以蓝球 16 选 1=1/17721088=0.0000056%； 二等奖（6+0）中奖概率为： 红球 33 选 6 乘以蓝球 16 选 0=15/17721088=0.000085%； 三等奖（5+1）中奖概率为： 红球 33 选 5 乘以蓝球 16 选 1=162 /17721088 =0.0009%； 四等奖（5+0）中奖概率为：红球 33 选 5 乘以蓝球 16 选 0 =240/17721088=0.0014%； 四等奖（4+1）中奖概率为：红球 33 选 4 乘以蓝球 16 选 1 =1/654720=0.015%； 五等奖（4+0）中奖概率为：红球 33 选 4 乘以蓝球 16 选 0 =1/40920=0.024%； 五等奖（3+1）中奖概率为：红球 33 选 3 乘以蓝球 16 选 1 =1/87296=0.11%； 六等奖（2+1）中奖概率为：红球 33 选 2 乘以蓝球 16 选 1 =1/8448=0. 12%； 六等奖（1+1）中奖概率为：红球 33 选 1 乘以蓝球 16 选 1 =1/528=0.189%； 六等奖（0+1）中奖概率为：红球 33 选 0 乘以蓝球 16 选 1=1/16=6.25%. 此处，六等奖的中奖概率可由学生自行计算，而一等奖的中奖概率涉及到利用乘法原理计算组合数，解释 如下：总的可能性 n= 16720 313233343536  。此处的分子表示选择第一个号码有 36 种可能性， 第二个号码有 35 种可能性，依此类推。分母的 720 请同学们自行查阅相关资料。 【注：此处 n= 6 3616C 】 总中奖率： 1188988/17721088=0.067094526024587203≈6.7%。 按照概率如果守一个号,哪怕每天开一次奖，平均中一次特等奖需要 x 年。 平均 4 万 8 千年才能中一次特等奖，究竟中奖可能性大不大，明眼人一看便知。 互动环节：班级抽奖 以一副 52 张扑克牌中的 47 张（此处 47 为班级人数）作为奖券，另一副扑克牌作为摇奖球，抽取一张作 为中奖花色号码。在抽奖之前，由同学回答以下问题：  你中奖的概率是多少？ 52 1  班中有同学中奖的概率是多少？ 52 47  你身边的同学（前后左右）中奖的概率是多少？ 52 4 在抽奖之后回答上述问题的话，因为中奖与否是已经发生的事件，即已经变成了确定事件，概率非 0 即 1。  有没有彩票必中奖的方法？ 答案是有，但是需要买下当期所有的彩票，这样投资约为 3500 万元，但是返还的资金不到 2000 万，所以 总体而言是不合算的。 简单的小结：实际上买彩票是不适合当做投资的。希望同学们以后碰到类似的情况要酌情考虑。 问题 4：摸硬币问题  红袋子里装着 10 枚金币，绿袋子里装着 10 枚铜币，两种硬币手感相同。闭起眼睛先任选一个袋 子，再从中摸取一枚硬币，摸到金币的概率有多大？  如果允许你在摸硬币前调整两袋子内的硬币数量（摸的时候仍然闭起眼睛任选袋子和硬币），你能 否让自己摸到金币的概率增高？ 4855036517721088 x 第一个问题的解答比较简单，可以由学生直接回答。此处其实涉及到一个概率和的问题：一个事件分成两 个情况，两种情况不同时发生且必有一个会发生，则 P（总）=P（情况 1）+P（情况 2）。本题我们可以认 为，摸到红袋子的概率 50%，此后摸到金币为 100%，摸到绿袋子的概率为 50%，此后摸到金币为 0%。所 以 P= P（情况 1）+P（情况 2）=50%×100%+50%×0%=50%。 第二个问题，稍微复杂，但是利用前一问题的结论，可以有一些想法：我们在维持红袋子的概率的同时， 可否提升绿袋子中摸到金币的概率？于是得到操作方法：将红袋子中的 9 枚硬币放入绿袋子。这样 P（情 况 1）+P（情况 2）=50%×100%+50%× 19 9 = 19 14 。 进一步的思考：其一：硬币总数增加，是否通过调整后的摸到金币概率也增加？结论是肯定的，但是增加 后的概率不可能超过 75%；其二：如何使得摸到金币的概率最小？结论是将 10 枚硬币全部放入同一个袋 子，此时 P= P（情况 1）+P（情况 2）=50%×0%+50%×0%=25%。 问题 5：掷骰问题  小明选定一个 1 到 6 之间的数码，付给老李一元，然后掷 3 颗骰子。如果其中有一个数码和小明 选的数码相同，老李给小明 1 元；如果有 2 个数码与小明选的数码相同，老李给小明 2 元；如果 有 3 个数码与小明选的相同，老李给小明 3 元；如果一个数码都不相同，老李不用返还钱币。  试通过概率计算判定这个游戏是不是公平的，若不是，对谁比较有利。 本题作为一个课后思考题，不要求学生当堂解答。其解答过程，一方面可以使用问题 4 的方法，进行分类 讨论，但是比较繁琐；另一方面可以考虑有 6 个小明，每人给老李 1 元后分别赌 1 到 6 的数码，不管掷出 骰子结果如何，老李都只需要返还 3 元，所以这个游戏对老李有利。方法二虽然简单，但它背后涉及了数 学期望的想法，所以不容易想到。课后可以就这个问题和同学们讨论。 小结：  概率问题千变万化，仔细审题，耐心求解，才能挖掘出隐藏在问题背后的真相。