2021新高考数学知识点习题讲义(10讲)-名校精选
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资料简介
第 6 讲 体积公式与体积变换 一.填空题(共 2 小题) 1.在正三棱锥 A BCD 中, E 、 F 是 AB 、 BC 的中点, EF DE ,若 BC a ,则正三棱锥 A BCD 的体 积为 32 24 a . 【解答】解: / /EF AC , EF DE AC DE  AC BD (正三棱锥性质) AC  平面 ABD 所以正三棱锥 A BCD 是正方体的一个角, 2 2AB a 正三棱锥 A BCD 的体积 31 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 24V a a a a      故答案为: 32 24 a 2.已知两平行平面 、  间的距离为 2 3 ,点 A 、 B  ,点 C 、 D  ,且 4AB  , 3CD  ,若异面直 线 AB 与 CD 所成角为 60 ,则四面体 ABCD 的体积为 6 . 【解答】解:在  内过 C 作 / /CE AB ,使得 CE AB , 则四边形 CEBA 是平行四边形, 两平行平面 、  间的距离为 2 3 , B 到平面 CDE 的距离 2 3h  . 1 1 1 3 4 sin 60 2 3 63 3 2D ABC D BCE B CDE CDEV V V S h              . 故答案为:6. 二.解答题(共 15 小题) 3.如图,四棱锥 P ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD , 1 2AB BC AD  , 90BAD ABC     . (1)证明:直线 / /BC 平面 PAD ; (2)若 PCD 面积为 2 7 ,求四棱锥 P ABCD 的体积. 【解答】(1)证明:四棱锥 P ABCD 中, 90BAD ABC     . / /BC AD , AD  平面 PAD ,BC  平面 PAD , 直线 / /BC 平面 PAD ; (2)解:四棱锥 P ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD , 1 2AB BC AD  , 90BAD ABC     .设 2AD x , 则 AB BC x  , 2CD x , O 是 AD 的中点, 连接 PO , OC , CD 的中点为: E ,连接 OE , 则 2 2OE x , 3PO x , 2 2 7 2 xPE PO OE   , PCD 面积为 2 7 ,可得: 1 2 72 PE CD  , 即: 1 7 2 2 72 2 x x   ,解得 2x  , 2 3PO  . 则 1 1 1 1( ) (2 4) 2 2 3 4 33 2 3 2P ABCDV BC AD AB PO             . 4.如图,在三棱锥 P ABC 中, PA AB , PA BC , AB BC , 2PA AB BC   , D 为线段 AC 的中 点, E 为线段 PC 上一点. (1)求证: PA BD ; (2)求证:平面 BDE  平面 PAC ; (3)当 / /PA 平面 BDE 时,求三棱锥 E BCD 的体积. 【解答】解:(1)证明:由 PA AB , PA BC , AB  平面 ABC , BC  平面 ABC ,且 AB BC B , 可得 PA  平面 ABC , 由 BD  平面 ABC , 可得 PA BD ; (2)证明:由 AB BC , D 为线段 AC 的中点, 可得 BD AC , 由 PA  平面 ABC , PA  平面 PAC , 可得平面 PAC  平面 ABC , 又平面 PAC  平面 ABC AC , BD  平面 ABC ,且 BD AC , 即有 BD  平面 PAC , BD  平面 BDE , 可得平面 BDE  平面 PAC ; (3) / /PA 平面 BDE , PA  平面 PAC , 且平面 PAC  平面 BDE DE , 可得 / /PA DE , 又 D 为 AC 的中点, 可得 E 为 PC 的中点,且 1 12DE PA  , 由 PA  平面 ABC , 可得 DE  平面 ABC , 可得 1 1 1 2 2 12 2 2BDC ABCS S       , 则三棱锥 E BCD 的体积为 1 1 11 13 3 3BDCDE S     . 5.如图四面体 ABCD 中, ABC 是正三角形, AD CD . (1)证明: AC BD ; (2)已知 ACD 是直角三角形,AB BD ,若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点,且 AE EC ,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比. 【解答】证明:(1)取 AC 中点 O ,连结 DO 、BO , ABC 是正三角形, AD CD , DO AC  , BO AC , DO BO O  , AC  平面 BDO , BD  平面 BDO , AC BD  . 解:(2)法一:连结 OE ,由(1)知 AC  平面 OBD , OE  平面 OBD , OE AC  , 设 2AD CD  ,则 1OC OA  , EC EA , AE CE , 2AC  , 2 2 2EC EA AC   , 2EC EA CD    , E 是 线 段 AC 垂 直 平 分 线 上 的 点 , 2EC EA CD    , 由余弦定理得: 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 BC BD CD BC BE CECBD BC BD BC BE         , 即 24 4 2 4 2 2 2 2 2 2 BE BE        ,解得 1BE  或 2BE  , 2BE BD  , 1BE  , BE ED  , 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到 平面 BCD 的高 h , BE ED , DCE BCES S   , 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1. 法 二 : 设 2AD CD  , 则 2AC AB BC BD    , 1AO CO DO   , 4 1 3BO    , 2 2 2BO DO BD   , BO DO  , 以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OD 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 ( 1C  ,0,0) , (0D ,0,1) , (0B , 3 ,0) , (1A ,0, 0) , 设 (E a , b , )c , DE DB  , (0 1)„ „ ,则 (a , b , 1) (0c   , 3 , 1) ,解得 (0E , 3 ,1 ) ,  (1, 3 ,1 )CE    , ( 1, 3 ,1 )AE     , AE EC , 2 21 3 (1 ) 0AE CE          , 由 [0  ,1],解得 1 2   , DE BD  , 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到 平面 BCD 的高 h , DE BD , DCE BCES S   , 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1. 6.如图,在四棱锥 P ABCD 中, / /AB CD ,且 90BAP CDP     (1)证明:平面 PAB  平面 PAD . (2)若 PA PD AB DC   , 90APD   ,四棱锥 P 一 ABCD 的体积为 9,求四棱锥 P ABCD 的侧面积 【解答】证明:(1) 90BAP CDP     , PA AB  , PD DC , / /AB CD , PD AB  , AB  平面 PAD , AB  平面 PAB , 平面 PAD  平面 PAB . 解:(2)设 PA PD AB DC a    , 2AD BC a   , 过 P 作 PE AD , E 为垂足, AB  平面 PAD , AB PE  , AB AD A  , PE  平面 ABCD , 1 2 2 93 2P ABCDV a a a      , 解得 3a  , 四棱锥 P ABCD 的侧面积: PAD PAB PDC PBCS S S S S       2 2 21 1 1 1 32 22 2 2 2 2a a a a a       2(3 3) 27 9 3 2 2 a   . 7.如图,已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形, 6PA  ,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D ,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E ,连接 PE 并延长交 AB 于点 G . (Ⅰ)证明: G 是 AB 的中点; (Ⅱ)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F (说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积. 【解答】解:(Ⅰ)证明: P ABC 为正三棱锥,且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影, PD  平面 ABC ,则 PD AB , 又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影, DE  面 PAB ,则 DE AB , PD DE D  , AB  平面 PDE ,连接 PE 并延长交 AB 于点 G , 则 AB PG , 又 PA PB , G 是 AB 的中点; (Ⅱ)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F , F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影. 正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形, PB PA  , PB PC , 又 / /EF PB ,所以 EF PA , EF PC ,因此 EF  平面 PAC , 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连结 CG ,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 D 是正三角形 ABC 的中心. 由(Ⅰ)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 2 3CD CG . 由题设可得 PC  平面 PAB , DE  平面 PAB ,所以 / /DE PC ,因此 2 3PE PG , 1 3DE PC . 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 6PA  ,可得 2DE  , 3 2PG  , 2 2PE  . 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 2EF PF  . 所以四面体 PDEF 的体积 1 1 1 42 2 23 3 2 3PEFV DE S         . 8.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E 、F 分别在 AD ,CD 上,AE CF ,EF 交 BD 于 点 H ,将 DEF 沿 EF 折到△ D EF 的位置. (Ⅰ)证明: AC HD ; (Ⅱ)若 5AB  , 6AC  , 5 4AE  , 2 2OD  ,求五棱锥 D ABCFE  体积. 【解答】(Ⅰ)证明:菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ,点 E 、F 分别在 AD ,CD 上,AE CF , / /EF AC ,且 EF BD 将 DEF 沿 EF 折到△ D EF 的位置, 则 D H EF  , / /EF AC , AC HD   ; (Ⅱ)若 5AB  , 6AC  ,则 3AO  , 0 4B OD  , 5 4AE  , 5AD AB  , 5 155 4 4DE    , / /EF AC ,  15 34 5 4 DE EH DH AD AO OD     , 9 4EH  , 92 2EF EH  , 3DH  , 4 3 1OH    , 3HD DH   , 2 2OD  , 满足 2 2 2HD OD OH    , 则 OHD 为直角三角形,且 OD OH  , 又 OD AC  , AC OH O , 即 OD 底面 ABCD , 即 OD是五棱锥 D ABCFE  的高. 底面五边形的面积 9( 6) 11 ( ) 1 21 6926 4 122 2 2 2 4 4 EF AC OHS AC OB            , 则五棱锥 D ABCFE  体积 1 1 69 23 22 23 3 4 2V S OD      . 9.如图,三棱锥 A BCD 中, AB  平面 BCD, CD BD . (Ⅰ)求证: CD  平面 ABD ; (Ⅱ)若 1AB BD CD   , M 为 AD 中点,求三棱锥 A MBC 的体积. 【解答】(Ⅰ)证明: AB  平面 BCD, CD  平面 BCD, AB CD  , CD BD , AB BD B , CD  平面 ABD ; (Ⅱ)解: AB  平面 BCD, BD  平面 BCD, AB BD  . 1AB BD  , 1 2ABDS  , M 为 AD 中点, 1 1 2 4ABM ABDS S    , CD  平面 ABD , 1 1 3 12A MBC C ABM ABMV V S CD      . 10.如图, ABC 和 BCD 所在平面互相垂直,且 2AB BC BD   , 120ABC DBC     ,E 、F 、G 分别为 AC 、 DC 、 AD 的中点,连接 CG 、 EF 、 BG . (1)求证: EF  平面 BCG ; (2)求三棱锥 D BCG 的体积. 【解答】(1)证明: 2AB BC BD   . 120ABC DBC     , ABC DBC   ,则 AC DC , G 为 AD 的中点, CG AD  ,同理 BG AD , 又 CG BG G  , AD  平面 BGC , / /EF AD , EF  平面 BCG ; (2)解:在平面 ABC 内,作 AO CB ,交 CB 的延长线于O , ABC 和 BCD 所在平面互相垂直, AO  平面 BCD, G 为 AD 的中点, G 到平面 BCD的距离 h 是 AO 长度的一半. 在 AOB 中, sin60 3AO AB   , 1 1 1 3 1sin1203 3 2 2 2D BCG G BCD DCBV V S h BD BC            . 11.如图,四棱锥 P ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形, PO  底面 , 2, ,3ABCD AB BAD M   为 BC 上一点,且 1 2BM  . (1)证明: BC  平面 POM ; (2)若 MP AP ,求四棱锥 P ABCD 的体积. 【解答】(1)证明:如图所示, ABD 为正三角形, 1 12OB BD   . 在 OBM 中,由余弦定理可得: 2 2 21 1 31 ( ) 2 1 cos2 2 3 4OM        , 2 2 2 1OM BM OB    , OM BC  . PO  平面 ABCD , PO BC  . 由 PO OM O , BC  平面 POM . (2)解:由(1)可得: OP OM , OP OA , 2 2 23( )2MP OP   , 2 2 2( 3)AP OP  . 在 ABM 中,由余弦定理可得: 2 2 21 1 2 212 ( ) 2 2 cos2 2 3 4AM        . MP AP , 2 2 2 2 2 2 23 21( 3) ( )2 4AP MP OP OP AM        , 3 2OP  . 2 2 3sin 2 2 33 2ABCDS AB     . 1 1 3 2 3 13 3 2P ABCD ABCDV OP S       . 12.如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA  平面 ABCD , E 为 PD 的中点. (1)证明: / /PB 平面 AEC ; (2)设 1AP  , 3AD  ,三棱锥 P ABD 的体积 3 3V  ,求 A 到平面 PBC 的距离. 【解答】(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O ,连接 EO . 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所以 / /EO PB . 又因为 EO  平面 AEC , PB  平面 AEC ,所以 / /PB 平面 AEC . (2)解: 1 3 6 6V PA AB AD AB   .由 3 3V  ,可得 2AB  . 作 AH PB 交 PB 于 H .由题设知 AB BC , PA BC ,且 4PA AB  ,所以 BC  平面 PAB , 又 AH  平面 PAB ,所以 BC AH ,又 PB BC B ,做 AH  平面 PBC . PB  平面 PBC , AH PB  ,在 Rt PAB 中,由勾股定理可得 5PB  , 所以 2 5 5 PA PBAH PB   ,所以 A 到平面 PBC 的距离为 2 5 5 . 13.如图,三棱柱 1ABC A 1 1BC 中, CA CB , 1AB AA , 1 60BAA   . (1)证明: 1AB AC ; (2)若 2AB CB  , 1 6AC  ,求三棱锥C A 1BC 的体积. 【解答】(1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 CO , 1OA , 1A B . CA CB , CO AB  , 又 1AB AA , 1 60oBAA  . △ 1A AB 为等边三角形. 1AO AB  , 又 CO  平面 1COA , 1AO  平面 1COA , 1CO AO O . AB  平面 1COA . 又 1AC  平面 1COA , 因此 1AB AC ; (2)解:在等边 ABC 中 32 32CO    , 在等边△ 1A AB 中 1 32 32AO    ; 在△ 1AOC 中 2 2 2 1 13 3 6OC AO AC     . △ 1AOC 是直角三角形,且 1 90oAOC  ,故 1OC AO . 又 OC 、 AB  平面 ABC , OC AB O , 1AO 平面 ABC . 故 1AO 是三棱锥 1A ABC 的高. 又 1 2 2sin60 32 o ABCS     . 三棱锥 1A ABC 的体积 1 1 1 3 3 13 3ABCV S AO     . 三棱锥 1C ABC 的体积为 1. 14.如图,在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, O 为 AB 的中点, CA CB , 1AB AA , 1 60BAA   . (Ⅰ)证明: AB  平面 1AOC ; (Ⅱ)若 2AB CB  , 1OA OC ,求三棱锥 1A ABC 的体积. 【解答】解:(Ⅰ)证明:在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, O 为 AB 的中点, CA CB , 1AB AA , CO AB  , 1AO AB , 1CO AO O  , AB  平面 1AOC . (Ⅱ)解: 2AB CB  , 1 60BAA   , 1OA OC , 又 AB  平面 1AOC . 1AO 平面 ABC , 三棱锥 1A ABC 的体积: 1 2 2 2 2 1 1 1 12 1 2 2 1 13 3 2A ABC ABCV AO S            . 15.如图,直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中, / /AB CD , AD AB , 2AB  , 2AD  , 1 3AA  , E 为 CD 上一点, 1DE  , 3EC  (1)证明: BE  平面 1 1BB C C ; (2)求三棱锥 1 1 1B EAC 的体积. 【解答】证明:(1)过 B 作 CD的垂线交 CD于 F , 则 2, 1, 2BF AD EF AB DE FC      在 , 3, , 6Rt BFE BE Rt BFC BC   中 中 . 在 BCE 中, 2 2 29BE BC EC   , BE BC  , 1BB  平面 ABCD , 1BE BB  , 1BC BB B  , BE  平面 1 1BB C C , (2)点 E 到平面 11 1A C 的距离为 1 3AA  , 三棱锥 1 1 1B EAC 的体积: 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 3B EA C A A B C A B CV V AA S      1 1 13 [ (2 4) 2 4 2] 23 2 2           . 16.如图,在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,底面 ABCD 为梯形, / /AB CD , 60BAD  , 1CD  , 2AD  , 4AB  ,点 G 在线段 AB 上, 3AG GB , 1 1AA  . (1)证明: 1 / /D G 平面 1 1BB C C ; (2)求点 C 到平面 1DC G 的距离. 【解答】(1)证明:在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,有 1 1/ /DD CC , 1DD  平面 1 1BB C C , 1CC  平面 1 1BB C C ,则 1 / /DD 平面 1 1BB C C ; / /DC GB ,由已知可得 1DC GB  ,四边形 GBCD 为平行四边形,得 / /DG BC , DG  平面 1 1BB C C , BC  平面 1 1BB C C ,则 / /DG 平面 1 1BB C C . 又 1DD DG D ,平面 1 / /DD G 平面 1 1BB C C . 而 1D G  平面 1DD G , 1 / /D G 平面 1 1BB C C ; (2)解:在底面梯形 ABCD 中, 60BAD  , 2AD  , 得 D 到 AB 的距离为 2 sin60 3   ,又 1DC  ,  1 31 32 2DCGS     ,又 1 1 1CC AA  , 则 1 1 3 313 2 6C DGCV      . 在 Rt △ 1C CD 中,由 1 1DC CC  ,得 1 2C D  . 在 ADG 中,由 2AD  , 3AG  , 60DAG   ,得 2 2 12 3 2 2 3 72DG        . 在底面梯形 ABCD 中,分别过 D , C 作 AB 的垂线 DE , CF , 求得 1AE EF FG   , 3DE CF  ,则 2CG  , 在 Rt △ 1C CG 中,可得 2 2 1 2 1 5C G    . 在△ 1C DG 中,由 1 2C D  , 1 5C G  , 7DG  ,得 2 2 2 1 1C D C G DG  , 1 1C D C G  ,得 1 1 102 52 2C DGS     ,设点 C 到平面 1DC G 的距离为 h . 则由 1 1C DGC C DC GV V  ,得 3 1 10 6 3 2 h  ,得 30 10h  . 即点 C 到平面 1DC G 的距离为 30 10 . 17.如图所示,在直四棱柱 ABCD A B C D    中,底面 ABCD 为直角梯形, / /AB CD , AD AB .连 接 BD , AC ,已知 2AB  , 4CD  , 3AD  , E 为线段 DD 上的一点,且满足 E 为线段 DD 上的 一点,且满足 2 3ED DD . (1)证明: / /BD 平面 EAC ; (2)若该四棱柱高为 9 2 , AC BD O , M 为OD的中点,求三棱锥的 M ACE 体积. 【解答】(1)证明:连接 BD ,设 BD AC O ,连接 EO , 底面 ABCD 为直角梯形,故 / /AB CD , ~ABO CDO  , 又 1 2AB CD , 2DO BO  , 2 3DO DB , 在 DBD 中, 2 3DO DB , 2 3ED DD , / /EO BD  , 又 EO  平面 EAC , BD  平面 EAC , / /BD  平面 EAC . (2)解: M 为OD 的中点, M 到面 EAC 的距离为 D到面 EAC 的距离的一半,  1 1 2 2M ACE D ACE A CEDV V V     , 1 1 3 4 32 2 2CEDS D E CD        ,  1 1 3 3 33 3A CED CEDV S AD         ,  1 3 2 2M ACE A CEDV V    .

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