第 10 讲 立体几何翻折与旋转问题
一．选择题（共 9 小题）
1．把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，对于下列结论：
① AC BD ；② ADC 是正三角形；③ AB 与 CD 成 60 角；④ AB 与平面 BCD 成 60 角．
则其中正确结论的个数是 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：取 BD 的中点 E ，则 AE BD ， CE BD ．
BD 面 AEC ．
BD AC ，故①正确．
设正方形边长为 a ，则 AD DC a ， 2
2AE a EC ．
AC a ．
ADC 为等边三角形，故②正确．
ABD 为 AB 与面 BCD 所成的角为 45 ，
以 E 为坐标原点， EC 、 ED 、 EA 分别为 x ， y ， z 轴建立直角坐标系，
则 (0A ，0， 2 )2 a ， (0B ， 2
2 a ， 0) ， (0D ， 2
2 a ， 0) ，
2( 2C a ，0， 0) ．
(0AB ， 2
2 a ， 2 )2 a ， 2( 2DC a ， 2
2 a ， 0) ．
cos AB ， 1
2DC ，
AB ， 60DC ，故③正确．
ABD 为 AB 与面 BCD 所成的角为 45 ，故④不正确．
故选： C ．
2．如图，已知四面体 ABCD 为正四面体， 1AB ， E ， F 分别是 AD ， BC 中点．若用一个与直线 EF 垂
直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面
积最大值为 ( )
A． 1
4 B． 2
4 C． 3
4 D．1
【解答】解：补成正方体如图：
由于 EF ，故截面为平行四边形 MNKL ，可得 1KL KN ；
又 / /KL BC ， / /KN AD ，且 AD BC ；
KN KL ，
( 2MNKL
NK KLS NK KL 四边形 2 1) 4
，
当且仅当 NK KL 时取等号．
故选： A ．
3．矩形 ABCD 中， 3AB ， 1BC ，将 ABC 与 ADC 沿 AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中
直线 AD 与直线 BC 成的角范围（包含初始状态）为 ( )
A．[0, ]6
B．[0, ]3
C．[0, ]2
D． 2[0, ]3
【解答】解：由题意，初始状态，直线 AD 与直线 BC 成的角为 0，
2DB 时， AD DB ， AD DC ，
AD 平面 DBC ， AD BC ，
直线 AD 与直线 BC 成的角为
2
，
在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角范围（包含初始状态）为[0 ， ]2
．
故选： C ．
4．已知矩形 ABCD ， 1AB ， 2BC ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过
程中 ( )
A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直
C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直
D．对任意位置，三对直线“ AC 与 BD ”，“ AB 与 CD ”，“ AD 与 BC ”均不垂直
【解答】解：如图，AE BD ，CF BD ，依题意， 1AB ， 2BC ， 6
3AE CF ， 3
3BE EF FD ，
A ，若存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直，则 BD AE ， BD 平面 AEC ，从而 BD EC ，
这与已知矛盾，排除 A ；
B ，
若存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直，则 CD 平面 ABC ，平面 ABC 平面 BCD
取 BC 中点 M ，连接 ME ，则 ME BD ， AEM 就是二面角 A BD C 的平面角，此角显然存在，即当
A 在底面上的射影位于 BC 的中点时，直线 AB 与直线 CD 垂直，故 B 正确；
C ，若存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直，则 BC 平面 ACD ，从而平面 ACD 平面 BCD ，即
A 在底面 BCD 上的射影应位于线段 CD 上，这是不可能的，排除 C
D ，由上所述，可排除 D
故选： B ．
5．在 Rt ABC 中，
2C ， 1AC ， 3BC ， D 是 AB 边上的动点，设 BD x ，把 BDC 沿 DC 翻折
为△ B DC ，若存在某个位置，使得异面直线 B C 与 AD 所成的角为
3
，则实数 x 的取值范围是 ( )
A． 3 30 2x B． 3 3 22 x C． 2 30 2x D． 2 2 22 x
【解答】解：把 BDC 沿 DC 翻折，形成了一个圆锥．过点 C 作 / /CE AB ，则 AB 与 B C 所成的角等于CE
与 B C 所成的角，设 AB 与 BC 所成的角的大小为 ，设 BCD ．
则 30 2 30 ， 2 30 60 ， 15 ， 135BDC ．
BCD 中，
sin sin
BC BD
BDC
， sin sin15 3 1
sin sin135 23
x
BDC
，
3 3
2x ，又 2x ．
3 3 22 x ．
故选： B ．
6．如图，在 Rt ABC 中， 1AC ， BC x ， D 是斜边 AB 的中点，将 BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过
程中存在某个位置，使得 CB AD ，则 x 的取值范围是 ( )
A． (0 ， 3] B． 2( 2
， 2] C． ( 3 ， 2 3] D． (2 ， 4]
【解答】解：由题意得，
2 1
2
xAD CD BD ， BC x ，取 BC 中点 E ，
翻折前，在图 1 中，连接 DE ， CD ，则 1 1
2 2DE AC ，
翻折后，在图 2 中，此时 CB AD ．
BC DE ， BC AD ， BC 平面 ADE ，
BC AE ， DE BC ，
又 BC AE ， E 为 BC 中点， 1AB AC ，
211 4AE x ，
2 1
2
xAD ，
在 ADE 中：①
2
21 1 112 2 4
x x ，②
2
21 1 112 2 4
x x ，③ 0x ；
由①②③可得 0 3x ．
如图 3，翻折后，当△ 1B CD 与 ACD 在一个平面上，
AD 与 1B C 交于 M ，且 1AD B C ， 1AD B D CD BD ， 1CBD BCD B CD ，
又 1 90CBD BCD B CD ，
1 30CBD BCD B CD ，
60A ， tan60BC AC ，此时 1 3 3x
综上， x 的取值范围为 (0 ， 3]，
故选： A ．
7．如图，在直二面角 A BD C 中， ABD 、 CBD 均是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，取 AD 中点 E ，
将 ABE 沿 BE 翻折到△ 1A BE ，在 ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是 ( )
A． BC 与平面 1A BE 内某直线平行 B． / /CD 平面 1A BE
C． BC 与平面 1A BE 内某直线垂直 D． 1BC A B
【解答】解：连结 CE ，当平面 1A BE 与平面 BCE 重合时， BC 平面 1A BE ，
平面 1A BE 内必存在与 BC 平行和垂直的直线，故 A ， C 可能成立；
在平面 BCD内过 B 作 CD 的平行线 BF ，使得 BF CD ，
连结 EF ，则当平面 1A BE 与平面 BEF 重合时， BF 平面 1A BE ，
故平面 1A BE 内存在与 BF 平行的直线，即平面 1A BE 内存在与 CD 平行的直线，
/ /CD 平面 1A BE ，故 B 可能成立．
若 1BC A B ，又 1 1A B A E ，则 1A B 为直线 1A E 和 BC 的公垂线，
1A B CE ，
设 1 1A B ，则经计算可得 3
2CE ，
与 1A B CE 矛盾，故 D 不可能成立．
故选： D ．
8．如图，在 ABC 中， 90ACB ， CAB ， M 为 AB 的中点．将 ACM 沿着 CM 翻折至△ A CM ，
使得 A M MB ，则 的取值不可能为 ( )
A．
9
B．
6
C．
5
D．
3
【解答】解：如图所示，把△ A CM 继续旋转，
一直旋转到平面 ABC 里面，这时 A 在 A 位置，
这时 2
9 9 9AMN A MN ， 4 5
9 9A MB ，
此时， A MB 是直线 A M 和 BM 所成的最小角，
5
9 2
不成立， 的取值不可能为
9
．
故选： A ．
9．在斜边长为 5 的等腰直角三角形 ABC 中，点 D 在斜边 AC （不含端点）上运动，将 CBD 沿
BD 翻折到△ 1C BD 位置，且使得三棱锥 1C ABD 体积最大，则 AD 长为 ( )
A．2 B． 5
2 C．3 D．4
【解答】解：如图， ABC 为等腰直角三角形，且斜边 5AC ，则 5 2
2AB BC ，
设 (0 5)AD x x ，则 1 5CD C D x ，
则 2 2 2
1 1 1 1
25 5 2 22 cos (5 ) 2 (5 )4 2 2 2BD BC C D BC C D x x
2 225 5 25(5 ) 5(5 ) ( )2 2 4x x x ．
要使三棱锥 1C ABD 体积最大，则平面 1C BD 平面 ABC ，
再设 1C 到平面 ABC 的距离为 h，则 1 1
1 1 sin2 2 4BD h BC C D ，
可得
2
5 2 2(5 )2 2
5 25( )2 4
x
h
x
．
1 1 5 2 2 5sin2 4 2 2 2 4ABDS AB AD x x
．
三棱锥 1C ABD 体积
2
2 2
5 2 2(5 )1 5 25 52 2
3 4 245 25 5 25( ) ( )2 4 2 4
x x xV x
x x
．
当 5
2x 时， 2 5x x 有最大值 25
4
， 25 25( )2 4x 有最小值 5
2
，此时V 有最大值为 125
48
．
AD 长为 5
2
．
故选： B ．
二．填空题（共 7 小题）
10．将边长为 2，锐角为 60的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD ，点 E ，F ，G 分另 AC ，BD ，
BC 的中点，则下列命题中正确的是 ②③④ ．（将正确的命题序号全填上）
① / /EF AB ；② EF 是异面直线 AC 与 BD 的公垂线；
③ / /CD 平面 EFG ；④ AC 垂直于截面 BDE ．
【解答】解：设 AD 的中点为 M ，连接 FM ，则 / /AB FM ，
FM 与 EF 相交，
EF 与 AB 为异面直线，故①错误；
由 ABC ADC 可得 BE DE ，
EF BD ，同理可得 EF AC ，
EF 是异面直线 AC 与 BD 的公垂线，故②正确；
由中位线定理可得 / /FG CD ， / /CD 平面 EFG ，故③正确；
AB BC ， BE AC ，同理可得： DE AC ，
AC 平面 BDE ．故④正确．
故答案为：②③④．
11．在 ABC 中，已知 2 3AB ， 2 6BC ， 45ABC ，D 是边 AC 上一点，将 ABD 沿 BD 折起，得
到三棱锥 A BCD ，若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD的射影 M 在线段 BC 上，设 BM x ，则 x 的取值范围
为 ( 6,2 3) ．
【解答】解： ABC 中由余弦定理得：已知 2 3AB ， 2 6BC ， 45ABC ，
2 2 2 2 3AC AB BC AB BC cocB ，所以 ABC 为等腰直角三角形，如下图 a 所示． ABD 沿 BD 折
起，
若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD的射影 M 在线段 BC 上时，如图b ，AM 面 BCD，MN ，AN 都于 BD 垂
直，
折叠前在图 a 中 AM BD 于 N 点，在图 a 中过 A 作 1AM BC 于 1M ，动点 D 与 C 无限接近时，折痕 BD 接
近 BC ，
这时 M 接近 1M ，在图b 中， AB 是 Rt AMB 的斜边，所以 BM AB ， 1BM BM AB ， 1Rt ABM 中，
1
1 62BM BC ，
( 6BM x ， 2 3) ；
故答案为： ( 6 ， 2 3) ．
12．如图，矩形 ABCD 中， 2AB AD ， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成△ 1A DE ．若 M 为
线段 1AC 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下列命题正确的是 ①②④ ．（写出所有正确的命题的编号）
①线段 BM 的长是定值；
②点 M 在某个球面上运动；
③存在某个位置，使 1DE AC ；
④存在某个位置，使 / /MB 平面 1A DE ．
【解答】解：①取 CD 中点 F ，连接 MF ， BF ，则 1/ /MF DA ， / /BF DE ，
平面 / /MBF 平面 1A DE ，
/ /MB 平面 1A DE ，故 D 正确
由 1A DE MFB ， 1
1
2MF A D 定值， FB DE 定值，
由余弦定理可得 2 2 2 2 cosMB MF FB MF FB MFB ，所以 MB是定值，故①正确．
② B 是定点，
M 是在以 B 为球心， MB为半径的球上，故②正确，
若③成立，则由 DE CE ，可得 DE 面 1A EC
1DE A E ，而这与 1 1DA A E 矛盾
故③错误．
④取 CD 中点 F ，连接 MF ， BF ，则平面 / /MBF 平面 1A DE ，可得④正确；
故正确的命题有：①②④，
故答案为：①②④．
13．如图，在 ABC 中， 90ACB ， CAB ，M 为 AB 的中点，将 ACM 沿着CM 翻折至△ A CM ，
使得 A M MB ，则 的取值可能为 ②③④ （填上正确的所有序号）
①
9
②
7
③
6
④
3
【解答】解：如图，设 A 在平面 BMC 上的射影为 A ，
则由题意知，点 A 在直线 CM 的垂线 A A 上，
要使 A M MB ，则 A M MB ，因此只需考虑其临界情况，
即当 A M MB 时，点 A 与点 A 关于直线 CM 对称，
4AMD A MD BMC ，
又 AM MC ， AMC 是以 MAC 为底角的等腰三角形，
2 4CAM MCA ，
8
．
因此当
8
时，有 A M MB ，
的取值可能为
7
，
6
，
3
．
故答案为：②③④．
14．如图，矩形 ABCD 中， 3AB ， 4BC ，沿对角线 BD 将 ABD 折起得到△ 1A BD ，且点 1A 在平面 BCD
上的射影 O落在 BC 边上，记二面角 1C A B D 的平面角的大小为 ，则 sin 的值等于 3
4
．
【解答】解： CD BC ，又 1CD AO ， 1A O BC O ，
CD 平面 1A BC ， 1CD A B ．
又 1 1A B A D ， 1A B 平面 1CA D ．
1CA D 是二面角 1C A B D 的平面角．
在 Rt △ 1ACD 中，
1
3sin 4
CD
A D
．
故答案为： 3
4
15．已知 ABC 中， 90C ， tan 2A ， M 为 AB 的中点，现将 ACM 沿 CM 折成三棱锥 P CBM ，
当二面角 P CM B 大小为 60时， AB
PB
3 ．
【解答】解：如图，取 BC 中点 E ，连接 AE ，设 AE CM O ，
再设 2AC ，由 90C ， tan 2A ，可得 2 2BC ，
在 Rt MEC 中，可得 tan 2CME ，在 Rt ECA 中，求得 2tan 2AEC ，
2cot 2AEM ，则 90CME AEM ，有 AE CM ．
PO CM ， EO CM ， POE 为二面角 P CM B 的平面角为 60，
2 22 ( 2) 6AE ， 61 sin 3OE CME ， 2 6
3PO ．
在 POE 中，由余弦定理可得 2 22 6 6 2 6 6 1( ) ( ) 2 23 3 3 3 2PE ．
2 2 2PE CE PC ，即 PE BC ．
则 2PB PC ．
在 Rt ACB 中，求得 2 3AB ，
3AB
PB
．
故答案为： 3 ．
16．已知直角梯形 ABCD ， AB AD ，CD AD ， 2 2 2AB AD CD ，沿 AC 折叠成三棱锥，当三棱锥
体积最大时，三棱锥外接球的体积为 4
3
；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为 ．
【解答】解：已知直角梯形 ABCD ， AB AD ， CD AD ， 2 2 2AB AD CD ，沿 AC 折叠成三棱锥，
如图： 2AB ， 1AD ， 1CD ，
2AC ， 2BC ，
BC AC ，
取 AC 的中点 E ， AB 的中点 O，连结 DE ， OE ，
当三棱锥体积最大时，
平面 DCA 平面 ACB ，
OB OA OC OD ，
1OB ，就是外接球的半径为 1，
此时三棱锥外接球的体积： 4
3
．
由题意， A ， B ， C ， D 均在外接球上， 2AC BC ， BC AC ，
AB 为直径，
1OB R ，
1OD ，
过 E 作 OE AC ，则 2
2OE ，
1OD ，
三棱锥的高为 2
2
，
三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为 1 1 2 22 23 2 2 6
．
故答案为： 4
3
； 2
6
．
三．解答题（共 15 小题）
17．如图，四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点C
到达点 P 的位置，且 PF BF ．
（1）证明：平面 PEF 平面 ABFD ；
（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：由题意，点 E 、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，
则 1
2AE AD ， 1
2BF BC ，
由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EF BC ．
由于 PF BF ， EF PF F ，则 BF 平面 PEF ．
又因为 BF 平面 ABFD ，所以：平面 PEF 平面 ABFD ．
（2）在平面 PEF 中，过 P 作 PH EF 于点 H ，连接 DH ，
由于 EF 为面 ABCD 和面 PEF 的交线， PH EF ，
则 PH 面 ABFD ，故 PH DH ．
在三棱锥 P DEF 中，可以利用等体积法求 PH ，
因为 / /DE BF 且 PF BF ，
所以 PF DE ，
又因为 PDF CDF ，
所以 90FPD FCD ，
所以 PF PD ，
由于 DE PD D ，则 PF 平面 PDE ，
故 1
3F PDE PDEV PF S ，
因为 / /BF DA且 BF 面 PEF ，
所以 DA 面 PEF ，
所以 DE EP ．
设正方形边长为 2a ，则 2PD a ， DE a
在 PDE 中， 3PE a ，
所以 23
2PDES a ，
故 33
6F PDEV a ，
又因为 21 22DEFS a a a ，
所以 2
3 3
2
F PDEVPH aa
，
所以在 PHD 中， 3sin 4
PHPDH PD
，
即 PDH 为 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为： 3
4
．
18．如图，在矩形 ABCD 中， 2, 2 3AB AD ， ABPCDFEE ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕
把 CDF 折起，点 C 到达点 P 的位置，使 1PE ．
（1）证明：平面 PEF 平面 ABFD ；
（2）求二面角 P DF E 的正弦值．
【解答】证明：（1） E 、 F 分别为 AD ， BC 的中点， / /EF AB 且 3DE ，
在矩形 ABCD 中， AD AB ， AD EF ，（1 分）
由翻折的不变性， 2, 3PD PF CF DE ， 7DF ，
又 1PE ，有 2 2 2PD PE DE ，
DE PE ，即 AD PE ，（3 分）
又 PE EF E ， PE ， EF 平面 PEF ， AD 平面 PEF ，（4 分）
AD 平面 ABFD ，平面 PEF 平面 ABFD ．（5 分）
解：（2）过点 P 作 PH EF 交 EF 于 H ，由平面垂直性质定理得 PH 平面 ABFD ，
过点 P 作 PO DF 交 DF 于 O，连结 OH ，则 OH DF ，
POH 为二面角 P DF E 的平面角．（8 分）
2 2 2PE PF EF ， 90EPF ，由等面积法求得 3 2 21,2 7PH PO ．
在直角 POH 中， 7sin 4
PHPOH PO
，
即二面角 P DF E 的正弦值为 7
4
．（12 分）
19．如图，四边形 ABCD 中， / /AD BC ， 90BAD ， 2AB BC ， 2 2AD ，E ，F 分别是线段 AD ，
CD 的中点．以 EF 为折痕把 DEF 折起，使点 D 到达点 P 的位置， G 为线段 PB 的中点．
（1）证明：平面 / /GAC 平面 PEF ；
（2）若平面 PEF 平面 ABCFE ，求直线 AG 与平面 PAC 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接CE ，由题意知，四边形
ABCE 为正方形，
连接 BE 交 AC 于 O ，连接 OG ，所以 O 为 BE 中
点，
又因为 G 为 PB 中点，所以 / /OG PE ，
因为 E ，F 分别为 AD ，CD 中点，所以 / /AC EF ，
因为 OG AC O ，PE EF E ，AC ，OG 平
面 ACG ， PE EF 平面 PEF ，
所以平面 / /GAC 平面 PEF ．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点
坐标如下：
(0A ， 2 ，0) ， ( 2C ，0，0) ， ( 2B ， 2 ，
0) ， 2( 2P ， 2
2
，1) ，
3 2( 4G ， 2
4
， 1)2
，
3 2( 4AG ， 3 2
4
，
1)2 , ( 2AC
, 2 , 0) , 2( 2AP ， 3 2
2
，1) ,
设平面 PAC 的法向量为 (n x , y , )z ,
2 2 0
2 3 2 02 2
AC n x y
AP n x y z
， 令
1y , (1n , 1 , 2) ,
所以 直线 AG 与平 面 PAC 所成 角的正 弦值 为
2
| | 52
10| | | | 10 22
AG n
AG n
．
20．已知 D ，E 分别为边 AB ， AC 上的一点， / /DE BC 且 | | (0 1)| |
AD
AB
，如图所示，将 ADE 沿 DE
折起为△ 1A DE ，使 A 点位于 1A 点的位置，连接 1A A ， 1A B ， 1AC ．
（1）当 1
2
时，记平面 1A BC 与平面 1A DE 的交线为l ，证明： 1l AA ；
（2）若 ABC 为直角三角形，
2ABC ，且将 ADE 沿 DE 折成直二面角，求当 为何值时，平面 1A BC
与平面 1A DE 所成的二面角为
3
．
【解答】解：（1）证明：当 1
2
时， D ， E 分别为边 AB ， AC 的中点， ADE 沿 DE 折起为△ 1A DE ，
所以 1| | | | | |A D AD BD ，
所以 1 90AA B ，所以 1 1AA A B ，
又 1| | | | | |A E AE EC ，同理可得 1 1AA AC ，
而 1 1 1A B A C A ，且都在平面 1A BC 内，
所以 1AA 平面 1A BC ，
又 BC 在平面 1A BC 内，
1AA BC ，
/ /DE BC ， BC 在平面 1A BC 内， DE 不在 1A BC 内，
/ /DE 平面 1A BC ，
又平面 1A BC 与平面 1A DE 的交线为l ，
/ /DE l ，
/ /BC l ，
1l AA ；
（2） 90ABC ， DE AB ，
以 D 为坐标原点， DE ， DA ， 1DA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设| | 1AB ，| | 2BC a ，则| |AD ，故 (0D ，0，0) ， (0A ， ，0) ， (0B ， 1 ，0) ， (2C a ， 1 ，
0) ， 1 1(2 ,0,0), (0,0, ), (2 ,0,0), (2 , 1, )E a A BC a AC a ，
设平面 1A BC 的一个法向量为 ( , , )m x y z ，则
1
2 0
2 ( 1) 0
m BC ax
m AC ax y z
，可取 (0, ,1)1m
，
设平面 1A DE 的一个法向量为 (0,1,0)n ，
平面 1A BC 与平面 1A DE 所成的二面角为
3
，
2
| || | 11cos 3 | || | 2( ) 11
m n
m n
，
22 2 1 0 ，解得 3 1
2
．
21．如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D ，E 分别是边 AB ，AC 上的点，满足 1AD ，DE AB ．将
ADE 沿 DE 折起到△ 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B 为直二面角，连接 1A B ， 1AC ．
（1）求二面角 1C A B D 的余弦值；
（2）线段 1A E 上是否存在点 P ，使得直线 CP 与平面 1A BC 所成的角为 60？若存在，求出 1A P 的长；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知， BD DE ， 1A D DE ，
二面角 1A DE B 为直二面角， 1 90A DB ，即 1A D BD ，
以 D 为原点， DB 、 DE 和 1DA 分别为 x 、 y 和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0D ，0， 0) ， (2B ，0， 0) ， 1(2C ， 3 3
2
， 0) ， 1(0A ，0，1) ， (0E ， 3 ， 0) ，
1 (2A B ，0， 1) ， 1
1(2AC ， 3 3
2
， 1) ，
设平面 1A BC 的法向量为 (m x ， y ， )z ，则 1
1
0
0
m A B
m AC
，即
2 0
1 3 3 02 2
x z
x y z
，
令 1x ，则 3
3y ， 2z ， (1m ， 3
3
， 2) ，
BD DE ， 1A D DE ，且 1A D 、 BD 面 1A BD ， 1A D BD D ， DE 面 1A BD ，
平面 1A BD 的法向量为 (0n ，1， 0) ，
3
13cos , | | | | 44 3 13
m nm n m n
，
二面角 1C A B D 为锐二面角，故二面角 1C A B D 的余弦值为 1
4
．
（2）设线段 1A E 上存在点 (P x ， y ， )z 满足题意，且 1 1 ( [0,1])A P A E ，
则 (x ， y ， 1) (0z ， 3 ， 1) ， 0x ， 3y ， 1z ，即点 (0P ， 3 ，1 ) ，
1( 2CP ， 3 33 2
，1 ) ，
由（1）知，平面 1A BC 的法向量为 (1m ， 3
3
， 2) ，
而 CP 与平面 1A BC 所成的角为 60
sin60 | cos CP ，
2
1 3 3 3( 3 ) 2(1 ) 32 3 2| | | | | 2| | | | 4 34 11 8 3
CP mm
CP m
，解得 4
3
或 8 [05
，1]，
故不存在点 P 满足题意．
22．已知直角三角形 ABC 中， 6AC ， 3BC ， 90ABC ，点 D ， E 分别是边 AC ， AB 上的动点（不
含 A 点），且满足 3
2
AD
AE
（图1) ．将 ADE 沿 DE 折起，使得平面 ADE 平面 BCDE ，连结 AB 、 AC
（图 2) ．
( )I 求证： AD 平面 BCDE ；
( )II 求四棱锥 A BCDE 体积的最大值．
【解答】证明： ( ) 6I AC ， 3BC ， 90ABC ，
2 2 3 3AB AC BC ．
3
2
AD AB
AE AC
，
ADE ABC ∽ ，
90ADE ABC ，即 AD DE ．
平面 ADE 平面 BCDE ，且平面 平面 DE ， AD 平面 ADE ，
AD 平面 BCDE ．
解： ( )II 设 DE x ，则 2AE x ， 3AD x ，
2 23 31 3 3 3 92 2 2ABC ADEBCDES S S x x 四边形 ．
2 331 1 19 3 93 3 2 2A BCDE BCDEV S AD x x x x 四边形 ， 3 3(0 )2x ．
令 3 3 3( ) 9 (0 )2f x x x x ，则 2( ) 9 3f x x ，令 ( ) 0f x 得 3x ，
当 0 3x 时， ( ) 0f x ，当 3 33 2x 时， ( ) 0f x ．
( )f x 在 (0, 3] 上单调递增，在 3 3( 3, ]2
上单调递减，
当 3DE ，即 2 3AE ， 3AD 时，四棱锥 A BCDE 体积最大．
此时 1 (9 3 3 3) 3 32A BCDEV ．
23．等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D ，、E 分别是边 AB 、AC 上的点，且满足 1
2
AD CE
DB EA
．将 ADE 沿
DE 折起到△ 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B 成直二面角，连接 1A B 、 1AC ．
（1）求证： 1A D 平面 BCED ；
（2）求 1A E 与平面 1A BC 所成角的正弦值．
（3）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60？若存在，求出 PB 的长；若不存
在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由题知在图 1 中，在 ADE 中， 1AD ， 2AE ，
则 2 2 2 2 cos 3DE AD AE AD AE A ，
即得： 3DE ，所以 2 2 2AE AD DE ，
即得 90ADE ，
则在图 2 中，有 1A D DE ， BD DE ，
二面角 1A DE B 的平面角 1 90A DB ，
即得 1A D BD ，
1A D BD ， 1A D DE ，且 BD ， DE 平面 BCDE ，
BD DE D ， 1A D 平面 BCED ．
（2）解：由（1）知： 1A D BD ， 1A D DE ， BD DE ，
所以以 D 为空间直角坐标系的原点，
以 DB 、 DE 、 1DA 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ．
则 (0D ，0， 0) ， 1(0A ，0，1) ， (0E ， 3 ， 0) ， (2B ，0， 0) ， 1 3 3( , ,0)2 2C ，
3 3 3( , ,0)2 2BC ， 1 ( 2BA ，0，1) ， 1 (0A E ， 3 ， 1) ，
令平面 1A BC 的法向量为 ( , , )n x y z ，
由
1
3 3 3 02 2
2 0
n BC x y
n BA x z
，得 (1n ， 1
3
， 2) ，
记 1A E 与平面 1A BC 所成角为 ，
则 1
0 1 2 3sin | cos , | | | 814 1 4 3
n A E
．
1A E 与平面 1A BC 所成角的正弦值为 3
8
．
（3）解：假设在线段 BC 上存在点 P ，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60．
令 BP BC ，
则 1 1
3 3 3( 2, ,1)2 2PA BA BP ，
而平面 1A BD 的一个法向量为 (0m ，1， 0) ，
则由 1
1
3| | 2| | | |
PA m
m PA
，解得 5
6
，
在线段 BC 上存在点 P ，使得直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60，此时 5
2PB ．
24．如图 1， ABC 是等腰直角三角形， 3 2AB AC ， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点， 2CD BE
将 ADE 沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE ，使得 2 3A B A C ．
（1）证明：平面 A BC 平面 BCD；
（2）求 A B 与平面 A CD 所成角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：取 BC 中点 O，连结OD， OE ，
A B AC ， O为 BC 中点， AO BC ，
1 32BO BC ， 2 2(2 3) 3 3AO ，
在 OCD 中， 2 2 2 2 cos 5OD CD OC CD OC OCD ． 5OD ，
在△ A OD 中， 2 2 23 5A O OD A D ， AO OD ，
BC OD O ， A O 平面 BCD，
A O 平面 A BC ，平面 A BC 平面 BCD．
（2）解：以O为原点，在平面 BCDF 内过O作 BC 的垂线为 x 轴，OB 为 y 轴，OA为 z 轴，建立空间直角
坐标系，
则 (0A ，0， 3) ， (0C ， 3 ， 0) ， (1D ， 2 ， 0) ， (0B ，3， 0) ，
(0CA ，3， 3) ， ( 1DA ，2， 3) ，
设 (n x ， y ， )z 是平面 A CD 的法向量，
则 3 3 0
2 3 0
n CA y z
n DA x y z
，令 1x ，得 (1n ， 1 ， 3) ，
(0A B ，3， 3) ，
设 A B 与平面 A CD 所成角为 ，
则 | | 6 15sin 5| | | | 5 2 3
n A B
n A B
，
215 10cos 1 ( )5 5
．
A B 与平面 A CD 所成角的余弦值为 10
5
．
25．如图 1， ABC 是等腰直角三角形 3 2AB AC ，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点， 2CD BE ．将
ADE 沿 DE 折 起 ， 得 到 如 图 2 所 示 的 四 棱 锥 A BCDE ， 使 得
2 3A B AC ．
（1）证明：平面 A BC 平面 BCD；
（2）求 A B 与平面 A CD 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：在图 1 中，易得 3OC ， 3 3AC ， 2 2AD ，
连结OD ， OE ，在 OCD 中，
由余弦定理可得 2 2 02 cos45 5OD OC CD OC CD ，由翻折不变性可知 2A D ，
2 2 2A O OD A D ，
A O OD ．
同理可证 A O OE ，
又 OD OE O ，
A O 平面 BCDE ．平面 A BC 平面 BCD；
（2）取 DE 中点 H ，则 OH OB ．
以 O为坐标原点， OH 、 OB 、OA分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系．
则 (0O ，0， 0) ， (0A ，0， 3) ， (0C ， 3 ， 0) ， (1D ， 2 ， 0) ， (0B ，3， 0)
(0,3, 3)CA ， ( 1,2, 3)DA ．
设平面 A CD 的法向量为 (n x ， y ， )z
3 3 0
2 3 0
n CA y z
N DA x y z
(1, 1, 3)n ，
又 (0,3, 3)A B ．
6 15cos , 55 2 3
n A B
．
A B 与平面 A CD 所成角的正弦值为 15
5
．
26．已知如图一 Rt ABC ， 4AC BC ， 90ACB ， D ， E 分别为 AC ， AB 的中点， F 在 BC 上，且
3BF FC ， G 为 DC 中点，将 ADE 沿 DE 折起， BEF 沿 EF 折起，使得 A ， B 重合于一点（如图二），
设为 P ，
（1）求证： EG 平面 PDF ；
（2）求二面角 C PF E 的大小．
【解答】（1）证明：如图一， D ， E 分别为 AC ， AB 的中点，所以 DE DC ， DE PD ，
又 2DE ， 2 2 2 5DF DC CF ，
由 33 34BF FC CB ，故 3PF ，
所以 2 2 2PD DF PF ，故 PD DF ，
又 DE DF D ， DE ， DF 平面 DEFC ，所以 PD 平面 DEFC ，
又 EG 平面 DEFC ，故 EG PD ，
如图，以直线 DE ， DC， DP 分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，
(2E ，0， 0) ， (0C ，2， 0) ， (0P ，0， 2) ， (1F ，2， 0) ， (0G ，1， 0) ，
( 2,1,0), (1,2,0)EG DF ， 2 2 0EG DF
，故 EG DF ，
又 PD DF D ， DP ， DF 平面 PDF ，故 EG 平面 PDF ；
（2）解：设平面 PCF 的法向量为 ( , , )m x y z ，
(1,0,0), ( 1, 2,2)CF FP ，
由 0
2 2 0
CF m x
FP m x y z
，得 (0,1,1)m ，
设平面 PEF 的法向量为 ( , , )n a b c ，
则 ( 1,2,0)EF ，
由 2 0
2 2 0
EF n a b
FP n a b c
，得 (2,1,2)n ，
由 1 2 2cos , 22 3
m n
，
结合图象知二面角为钝角，故二面角 C PF E 为135 ．
27．等边 ABC 的边长为 3，点 D ，E 分别为 AB ， AC 上的点，且满足 2AE BD
EC DA
（如图① )，将 ADE
沿 DE 折起到△ 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B 成直二面角，连接 1A B ， 1AC （如图② )．
（1）求证： 1A D 平面 BCED ；
（2）在线段 BC 上是否存在点 P（不包括端点），使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60？若存在，求出 1A P
的长，若不存在，请说明理由．
0
x
【解答】（1）证明：由题意可知 1 1A D ， 1 2A E ， 60DAE ，
11 4 2 1 2 32DE ，
2 2 2
1 1A D DE A E ， 1A D DE ，
二面角 1A DE B 成直二面角，即平面 1A DE 平面 BDE ，平面 1A DE 平面 BDE DE ，
1A D 平面 BCED ．
（2）由（1）可知 DE BD ，
以 D 为原点，以 DB ， DE ， 1DA 为坐标轴建立空间坐标系 D xyz ，如图所示，
则 (0D ，0， 0) ， (2B ，0， 0) ， 1(0A ，0，1) ， 1(2C ， 3 3
2
， 0) ，
则 3( 2BC ， 3 3
2
， 0) ， (2DB ，0， 0) ，令 (0 1)BP BC ，
则 3(2 2DP DB BP ， 3 3
2
， 0) ，即 3(2 2P ， 3 3
2
， 0) ，
1
3(2 2A P ， 3 3
2
， 1) ，
由（1）知 (0n ，1， 0) 为平面 1A BD 的一个法向量，
则 1
1
1 2 2
3 3
2cos ,
| || | 3 3 3(2 ) ( ) 12 2
n A Pn A P
n A P
，
令
2 2
3 3
32
23 3 3(2 ) ( ) 12 2
，解得 5
6
，即 1
3(4A P ， 5 3
4
， 1) ，
2 2
1
3 5 3 5( ) ( ) 14 4 2A P ．
线段 BC 上存在点 P 使得直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60，且 1
5
2A P ．
28．等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且满足 1
2
AD CE
DB EA
（如图1) ．将
ADE 沿 DE 折起到△ 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B 成直二面角，连结 1A B 、 1AC （如图 2) ．
（1）求证： 1A D 平面 BCED ；
（2）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60？若存在，求出 PB 的长；若不存
在，请说明理由．
【解答】解：（1）正 ABC 的边长为 3，且 1
2
AD CE
DB EA
1AD ， 2AE ，
ADE 中， 60DAE ，由余弦定理，得
2 21 2 2 1 2 cos60 3DE
2 2 24AD DE AE ， AD DE ．
折叠后，仍有 1A D DE
二面角 1A DE B 成直二面角，平面 1A DE 平面 BCDE
又平面 1A DE 平面 BCDE DE ， 1A D 平面 1A DE ， 1A D DE
1A D 平面 BCED ；
（2）假设在线段 BC 上存在点 P ，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60
如图，作 PH BD 于点 H ，连接 1A H 、 1A P
由（1）得 1A D 平面 BCED ，而 PH 平面 BCED
所以 1A D PH
1A D 、 BD 是平面 1A BD 内的相交直线，
PH 平面 1A BD
由此可得 1PA H 是直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角，即 1 60PA H
设 (0 3)PB x x ，则 cos60 2
xBH PB ， 3sin60 2PH PB x
在 Rt △ 1PA H 中， 1 60PA H ，所以 1 2
xA H ，
在 Rt △ 1DA H 中， 1 1A D ， 12 2DH x
由 2 2 2
1 1A D DH A H ，得 2 2 21 11 (2 ) ( )2 2x x
解之得 5
2x ，满足 0 3x 符合题意
所以在线段 BC 上存在点 P ，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60，此时 5
2PB ．
29．等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且满足 1
2
AD CE
DB EA
（如图1) ．将
ADE 沿 DE 折起到△ 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B 成直二面角，连结 1A B 、 1AC （如图 2) ．
（Ⅰ）求证： 1A D 平面 BCED ；
（Ⅱ）若点 P 在线段 BC 上， 5
2PB ，求直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角．
【解答】（Ⅰ）证明：因为等边 ABC 的边长为 3，且 1
2
AD CE
DB EA
，
所以 1AD ， 2AE ．
在 ADE 中， 60DAE ，
由余弦定理得 2 21 2 2 1 2 cos60 3DE ．
因为 2 2 2AD DE AE ，所以 AD DE ．
折叠后有 1A D DE ．因为二面角 1A DE B 是直二面角，
所以平面 1A DE 平面 BCED ．又平面 1A DE 平面 BCED DE ，
1A D 平面 1A DE ， 1A D DE ，所以 1A D 平面 BCED ．
（Ⅱ）解：假设在线段 BC 上存在点 P ，
使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60．如图，
作 PH BD 于点 H ，连结 1A H 、 1A P ．
由（Ⅰ）有 1A D 平面 BCED ，而 PH 平面 BCED ，
所以 1PH A D ．又 1A D BD D ，所以 PH 平面 1A BD ．
所以 1PA H 是直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角．
设 PB x ， (0 3)x ，则
2
xBH ， 3
2PH x ．
在 Rt △ 1PA H 中， 1 60PA H ，
所以 1
1
2A H x ，在 Rt △ 1A DH 中， 12 2DH x ．
由 2 2 2
1 1A D DH A H ，得 2 2 21 11 (2 ) ( )2 2x x ．
解得 5
2x ，满足 0 3x ，符合题意．
所以在线段 BC 上存在点，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60，此时 5
2PB ．
30．如图， ABC 中， 2AB ， 1BC ， 90ABC ，D ，E 分别为 AB ，AC 上的点， / /DE BC ，将 ADE
沿 DE 折到△ A DE 的位置，使平面 A DE 平面 BCED ．
（1）当 D 为 AB 的中点时，设平面 A BC 与平面 A DE 所成的二面角的平面角为 (0 )2
，直线 A C 与
平面 A DE 所成角为 ，求 tan( ) 的值；
（2）当 D 点在 AB 边上运动时，求四棱锥 A BCED 体积的最大值．
【解答】解：（1）作 CF DE 于 F ，连接 A F ，则 CF 平面 A DE ，
CA F ，
在矩形 BCFD 中， 1CF BD ， 1DF BC ，
在 Rt △ A DF 中， 2A F ， 2tan 2
CF
A F
，
作 / /A P DE ， / /DE BC ，
/ /A P BC ，
平面 A BC 平面 A DE A P ， A P A D ， A P A B ，
4BA D ，
21 2tan( ) 3 2 2
21 2
（2）设 A D x ， (0,2)x ，则
2
xDE ， 2BD x ，
四棱锥 A BCED 体积
3( 1)(2 )1 42
3 2 12
x x x xV x
，
24 3
12
xV ，
令 0V ，可得 2 3
3x ，且在 2 3(0, )3
递增，在 2 3( 3
， 2) 递减，
2 3
3x 时，四棱锥 A BCED 体积的最大值为 4 3
27
．
31．等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且满足 1
2
AD CE
DB EA
（如图
1) ．将 ADE 沿 DE 折起到△ 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B 成直二面角，连结 1A B 、 1AC （如
图 2) ．
（Ⅰ）求证： 1A D 平面 :BCED
（Ⅱ）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角的正弦值为 3
2
？若存在，求
出 PB 的长，若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：等边 ABC 的边长为 3，且 1
2
AD CE
DB EA
，
1AD ， 2AE ，
在 ADE 中， 60DAE ，
由余弦定理得 2 21 2 2 1 2 cos60 3DE ，
2 2 2AD DE AE ，
AD DE ，
拆叠后有 1A D DE ，
二面角 1A DE B 是直二面角，
平面 1A DE 平面 BCED ，
又平面 1A DE 平面 BCED DE ， 1A D 平面 1A DE ， 1A D DE ，
1A D 平面 BCED ．
（Ⅱ）解：假设在线段 BC 上存在点 P ，
使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角的正弦值为 3
2
，
如图，作 PH BD 于点 H ，连结 1A H ， 1A P ，
由（Ⅰ）有 1A D 平面 BCDE ，
PH 平面 BCED ， 1A D PH ，
又 1A D BD D ， PH 平面 1A BD ，
1PA H 是直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角，
直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角的正弦值为 3
2
，
1 60PA H ，
设 (0 3)PB x x ，则
2
xBH ， 3
2PH x ，
在 Rt △ 1PA H 中， 1 60PA H ， 1
1
2A H x ，
在 Rt △ 1A DH 中， 1
11, 2 2A D DH x ，
由 2 2 2
1 1A D DH A H ，
得 2 2 21 11 (2 ) ( )2 2x x ，解得 5
2x ，满足 0 3x ，符合题意，
在线段 BC 上存在点 P ，使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角的正弦值为 3
2
，
此时 5
2PB ．
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