人教版八年级数学下册第19章一次函数

第十九章 一次函数 19.1.1 变量与函数 第1课时 行星在宇宙中的位置随时间而变化 气温随海拔而变化 大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究 这些运动变化并寻找规律呢? 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 在日常学习和生活中，我们常要研究一些数量关系： 小明到商店买练习薄，每本单价2元，购买的总数 x（本）与总金额 y（元）的关系式，可以表示为 . 其中y随x的变化而变化 y=2x 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里 程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表: 说说你是如何得到的： 路程 = 速度×时间 试用含t的 式子表示 s s = 60t 问题一 60 120 180 240 300 问题二 每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张， 日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房 收入各多少元？ 早场票房收入 ： 10×150 = 1500 （元） 日场票房收入 ：10×205 = 2050 （元） 晚场票房收入 ：10×310 = 3100 （元） 若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元， 怎样用含 x 的式子表示 y ？ y = 10x 请说明道理：票房收入 = 售价×售票张数 问题三 圆的半径r分别为10cm、20cm、30cm时， 圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化 而变化吗？ 圆的面积=π×半径的平方 10c m2 ? 10cm 20cm ? r s S= πr2 在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量， 观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如 果弹簧原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm， 怎样用含重物质量x（单位：kg）的式子表示受力后的 弹簧长度 L(单位：cm)? 挂重2千克时弹簧长=10+0.5×2=11(cm) 挂重3千克时弹簧长=10+0.5×3=11.5(cm) 挂重x千克时弹簧长=10+0.5×x (cm) L=10+0.5x 分析：挂重1千克时弹簧长=10+0.5×1=10.5(cm) 问题四 剖析 S = 60t y = 10x L=10+0.5x 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。 请指出上面各个变化过程中的常量、变量。 S= πr2 探究： 指出下列关系式中的变量与常量： (1) y = 5x －6 (2) y= x 6 (3) y= 4x2＋5x－7 (4) S = πr2 解：（1）5和-6是常量，x和y是变量。 （2）6是常量，x、y是变量。 （3）4、5、-7是常量，x、y是变量。 （4）π是常量，s、r是变量。 填空： n 1、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个 ）与单价 a（元）的关系式为 . n 其中的变量是 ，常量是 . n 2、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4 元，则总金额 y（元）与学生数n（个）的关系式 是 .其中的变量是 ，常量是 . n、a 50 y=4n y、n 4 an 50 3．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存 有50元，从现在起每个月节存12元．设x个月后小张的存 款数为y,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间 的函数关系式 ，其中常量是 ，变量是 ，自变量是 ， 是 的函数。 y=50+12x 50，12 x，y x y x 2、若矩形的宽为x cm，面 积为36 ，则这个矩 形的长y随x的变化而变化，其中常量是_____，变 量是______. 3、分别指出下列各式中的常量与变量. (1)圆的面积公式 ； (2)正方形的周 长 ； (3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米 的数量 x(kg)与金额 y的关系为y=2.5x. 36 x, y 2S r 常量：π；变量：S、r 4l a 常量：4；变量：l、a 常量：2.5；变量：y、x 2cm 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的 量为______，数值始终不变的量是_____. 会把数学与实际联系起来，列出关系式。 变量 常量 第十九章 一次函数 19.1.1 变量与函数 第2课时 x 图1 2、如图2，正方体的棱长为a,表面积S= ， 体积V= . a 图2 C= 4x 6a2 a3 1、如图1，正方形的周长与边长为x的关系式为 __________ 变量是: 常量是: ;C、v 4 n 学习目标：  1．进一步体会运动变化过程中的数量变化；从典型实例中 抽象概括出函数的概念，了解函数的概念． 2. 了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际 问题中的函数关系；  3. 能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围； n 学习重点： 1.概括并理解函数概念中的单值对应关系． 2.用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自 变量取值范围． 两变量之间的关系 思考 下列式子S=60t，y=10x,S=πr2，C=5-x中存在几 个变量？在同一个式子中的变量之间有什么联系？ 归纳 每个问题中的 变量互相联系，当其 中一个变量取定一个值时，另一个变量就有 _____确定的值 。 答：两个变量 两个 唯一 与其对应 思考 （1）在心电图中，对于横坐标表示时间x的 每一个确定的值，纵坐标表示心脏部位的生 物电流y都有唯一确定的值与其对应吗？ （2）在我国人口数统计表中，对于每一个确 定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？ 答：有 答：是 归纳 一些用 或 表达的问题中，也能看到 两个变量之间的联系. 图 表格 自变量和函数的概念 1、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 确 定的值与其对应，那么我们就说 是自变 量,____是 的函数. 2、在计算器中操作y=2x+5后填表： x 1 2 -4 0 101 -5.2 y 显示的计算结果是输入数值的函数吗？为什么？ 唯一 x y 函数值 7 9 -3 5 207 -5.4 答：是.理由：因为对于x的每一个确定的值，y都 有唯一确定的值与其对应。 x 如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时 的 . 函数概念理解 n （1）在一个变化过程中 n （2）有两个变量x与y n （3）对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的 值与其对应 n 思考： 1 . S=60t; 2. y=10x ; 3. 2rs  上面每个问题中，哪个量是自变量？哪个量是自变量 的函数？ 下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时 间，纵坐标y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个 变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的对应值吗？ 思考（1） 思考（2） 一.函数关系是用数学式子（形如S=60t; y=10x ） 给出的 (叫解析式法) 二. 前面像体检心电图函数关系是用图象给出的 （叫图象法） 三 .前面我国人口数统计表函数关系是用表格 给出的 （叫列表法） 函数的三种表示方法 对于x的每一个 值，y总有唯一 的值与它对应， y才是x的函数. 下列各式，x是自变量，请判断y是不是x的函数？若是， 求出自变量x的取值范围。 3.y＝± 1 x4.y= 1.y＝2x 2.y＝ x 3x 解:1. y是x的函数, 2.y是x的函数, ∵ x -3 ≥0，∴x ≥3. 3.y不是x的函数. 4.y是x的函数. x≠0. x为全体实数. 要考虑实 际意义哦！ 例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么 油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的 增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。 （1）写出表示y与x的函数关系的式子; （2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x (2) 由x≥0及0.1x ≤ 50 得 0 ≤ x ≤ 500 ∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500 (3)把x = 200代入 y =50 －0.1x，得 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L。 这样的式子叫做函数解析式. y=50-0.1×200=30   例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用 油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量， 于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅 内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一 次油温，共测量了4次，测得的数据如下：   他测量出把油烧沸腾所需要的时间是160 s，这样就 可以确定该食用油的沸点温度．他是怎样计算的呢？ 时间t/s 0 10 20 30 油温w/℃ 10 25 40 55 列表法、解析法 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的 函数？试写出函数的解析式. （2）每分向一水池注水0.1m3，注水量y（单位： m3）随注水时间x（单位：min）的变化而变化。 （1）改变正方形的边长x，正方形的面积s随之 改变。 解：边长x是自变量 ，面积S是x的函数 函数解析式为 S=x2 解：时间x是自变量, 水量y是x的函数 函数解析式为 y=0.1x （3）某村的耕地面积是106㎡，这个村人均占 有耕地面积y（单位：㎡）随这个村人数n的变 化而变化。 （4）水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L， 水池中的水量V(单位：L)随时间t （单位：h） 的变化而变化。 函数解析式为 y= 函数解析式为 V=10-0.05 t n 106 自变量的取值范围 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑 函数关系式有意义，而且还要注意问题的实 际意义。 函数的概念 第十九章 一次函数 19.1.2 函数的图像 第1课时 分别指出下列各关系式中的变量与常量： （1）三角形的一边长5cm,它的面积s（cm )与 这边上的高h(cm)的关系式是s= h; （2）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，那 么另一个锐角的度数β与α间的关系式是    β＝90-α; （3）如果某种报纸的单价为8元，x表示购买这种 报纸的份数，那么购买报纸的总价y(元)与x 间的关系是y=8x. 5 2 2   圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示 圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系： S＝____．  利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、 2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表： 2.25ππ 4π 6.76π 10.24π 新课引入 在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对 来表示.即坐标平面内的 ___ 与有 序数对是一一________ 的. 有序数对 点 对应 探究新知 问题：写出正方形的面积S与边长x的函数解析式，并 确定自变量x的取值范围. S=x2（x＞0） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 在直角坐标系中，描出这些点，然后连接这些点. 表示x与S的对应关系 的点有无数个.但是实 际上我们只能描出其 中有限个点，同 时想 象出其他点的位置. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对 对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这 些点组成的图形，就是这个函数的图象. 上图的曲线即函数S=x2 （x＞0）的图象. 通过图象，我们可以数形结合地研究函数. 下图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. (1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段 时间比北京气温低？ (1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12 巩固新知 例 如图(1)，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上， 小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家. 图(2)反映了这个过程中，小明离他家的距离 y与时间 x 之间的对应关系. y/km O 8 25 28 58 68 x/min 0.6 0.8 （1） （2） 根据图象回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？ (3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少 时间？ 食堂离小明家0.6km，小明走到食堂用了8min. 小明吃早餐用了17min. 食堂离图使馆0.2km，小明从食堂到图书馆用了3min. (4)小明读报用了多少时间？ (5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速 度是多少？ 分析：小明离家的距离y是时间x的函数，从图象中有 两段是平行于x轴的线段可知，小明离家后又两段时间内 先后停留在食堂与图书馆. 小明读报用了30min. 图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家的平均速 度0.08km/min. 在下列式子中，对于x每一确定的值，y有唯一的对 应值，即y是x的函数，你能画出这些函数的图象吗？ （1）y=x+0.5; 6(2) ( 0).y xx   （1）解：1.列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x+0.5 … … 2.描点. 3.连线. O -1 1 x y y=x+0.5 直线由左向右上升，即 当x由小变大时，y=x+5 随之增大. -2.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5-1.5 1-1 （2）解：1.列表. xy 6 x 1 2 3 4 6 … … 2.描点. 3.连线. 曲线 从左向右下 降，即当x由小变大时,随 之减小. 6y x  6 3 2 1.5 1 （1）函数图象会使函数关系更为清晰，怎样画出函数 的图象呢？ （2）如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题？ （3）画函数图象的三个步骤分别是什么？ （4）如何从图象中了解函数的变化情况？ 第十九章 一次函数 19.1.2 函数的图像 第2课时 1、下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个 变量看成是另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请 写出它们的关系式。 （1）每一个同学购一本代数书，书的单价为2元，则 x 个同学共付 y 元。 （2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数 y（个） 与单价 x （元）的关系。 （3）一个铜球在0 ℃的体积为1000cm3，加热后温度每增 加1℃，体积增加0.051cm3，t ℃时球的体积为 V cm3 。 解: y 是 x 的函数.其关系式为y = 2x (x ≥0) 解: y 是 x 的函数.其关系式为y = x 50 (x>0) 解: v是 t 的函数,其关系式为V = 0.051t+1000 2、下图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. (1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？ 在哪段时间比北京气温低？ 答：7时 和 12时。 0时-7时和12时-24时；7时—12时。 • 学习目标：  1．了解函数的三种表示法及其优缺点；  2．能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间    的函数关系；  3．能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行 初步讨论． • 学习重点： 综合运用三种表示法表示函数关系，研究运动变化 过程． 问题1：有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长 0.5 cm，设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm， 根据上述信息完成下表： 受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？ m/kg 0 1 2 3 3.5 … l/cm … 是 11.7511.51110.510 问题2：有一辆出租车，前3公里内的起步价为8元，每 超过1公里收2元，有一位乘客坐了t（t＞3）公里，他付 费y元.用含x的式子表示y，y是x的函数吗？ 是 y=2x+2 问题3：下图是某地某一天的气温变化图. （1）指出其中的两个变量是 ， . （2）其中 是 的函数，自变量是 . 气温T 时间t 气温T 时间t T/ 时间t 问题4：从上面的三个问题中，可以发现表示函数 有哪三种方法，这三种表示函数的方法各有什么优缺 点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法 呢？ 问题1：表示函数有哪三种方法？ 列表法、解析式法和图象法. 问题2：这三种表示的方法各有什么优点？ 列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量 之间的关系； 解析式法比较准确、全面地表示出函数中两个变量 之间的关系； 图象法比较形象、直观地表示出函数中两个变量之 间的关系. 问题3：这三种表示的方法各有什么不足之处呢？ 问题4：请从全面性、直观性、准确性及形象性四个方 面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点，填写下表： 表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性 列表法 解析式法 图象法 从所填表中可以清楚看到三种表示方法各有优缺点. 在遇到实际问题时，就要要根据具体情况选择适当的方 法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用. √ × × × × × × √ √√ √√ 活动 函数的三种表示方法之间的转化 问题：一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表 记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间， y表示水温高度. t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是 否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？ (2)水位高度y是否为时间t的函数? 如果是，试写出一个符 合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数 能表示水位变化的规律吗？ (3)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高 度将为多少米. y=0.3x+3 O 1 x y 1 2 3 4 5 4 3 2 5 是 水位越来越高 是 1. 用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度） 是边数n的函数. 解：因为n表示的是多边形的边数，所以n是大于等 于3的自然数，列表如下： n 3 4 5 6 … m … 所以m=（n-2）·180°（n≥3，且n为自然数）. 180 360 540 720 2. 用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长 a的函数. 解：因为等边三角形的周长l是边长a的3倍，所以周长l 与边长a的函数关系可表示为：l=3a（a＞0）. a … 1 2 3 4 … l … 3 6 9 12 … 描点、连线： 用描点法画函数l=3a的图象. O 2 x y 1 2 3 4 5 8 6 4 10 12 3.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低 0.6℃，已 知山脚下温度是23℃，则温度y（ ℃ ）与上升高度 x(m)之 间的函数关系式 ，若某种植物适宜 生长的度为17 ℃