5.1 认识分式(一)
学
习
目
标
1、理解并记住分式的定义.能够辨别分式与整式。
2、理解并记住分式有无意义的条件(重点).
3、能熟练地求出分式有无意义及分式为零的条件(难点)
填空
1.长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽___ cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为____.
2.把体积为200 的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中,水面高度为______cm;
10
7
s
a
200
33
v
s把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为______.
3.甲每小时做x个零件,乙每小时比甲多做6个,则乙每小时做 个零件;
乙完成80个零件需要 小时
(x+6)
80
x+6
探索新知
3cm
问题1:请将上面问题中得到的代数式分分类?
10
7
s
a
200
33
v
s
80
x+66x
整
式
单项式:
多项式:
10
7
200
33
6x
既不是单项式也不是多项式:
s
a
v
s
80
x+6
问题2:这三个代数式有什么共同特征?
s
a
v
s
80
x+6
1、形如分数的形式 A
B
2、分子、分母都是整式
3、分母中含有字母
知识点一: 分式的定义
一般地,用A,B表示两个整式,A÷B 可以表示成
的形式,且B 中含有字母,那么称 为分式.
A
BA
B
判定分式的关键
①分子、分母都是整式
②分母中含有字母
(一)分式定义
【例1】下列各式中,是整式的是 ,是分式的是 。① ④ ⑤ ② ⑥ ⑦
① 5x-7 ② 12
3
a
b ③
7
)( pnm
xy3④ ⑤-5 ⑥
1a m
③
4
5b c ⑦
判定分式的关键
①分子、分母都是整式
②分母中含有字母
巩固练习:下列代数式:① ② ③ ④ ⑤ ,其中是分式的是( )
A.① ⑤ B.①③④⑤ C.①④⑤ D.②③
2x
x C
分式有:① ④ ⑤ 1
a
5
x y
2x
x
分式的判断必须对原
来的形式做出判断
(二)分式有无意义的条件
我们知道,要使分数有意义,分数中的分母不能
为0.要使分式有意义,分式 中的分母应满足什么
条件呢?
A
B
当B=0时,分式 无意义.
当B≠0时,分式 有意义.
A
B
A
B
典型例题
【例2】已知分式 ,(1)当a=2,-1时分别求分式 的值.1
2
a
a
1
2
a
a
解: 2+1 32 = =2 2 4a
(1)当 时,原式
-1+11 = =02 -1a
当 时,原式 ( )
(2)当 a取何值时,分式有意义?当 a取何值时,分式无意义?
解:分式有意义需要:分母2a ≠0,即a ≠0
分式无意义需要:分母2a=0,即a=0
思考:当a=o时,分式的值是多少? 当a=0时,分式的分母
为零,分式无意义。
分式有意义:分母不为0;分式无意义:分母为0
巩固练习:1、当x 取什么值时,下列分式有意义(无意义)?
1 2 1
x
x
( ) 32 ( 1)( 2)
x
x x
( )解:
当分母2x-1=0时,分式无意义
∴x= 时, 无意义 1
2 2 1
x
x
(1)当分母2x-1≠0,分式有意义
∴x≠ 时, 有意义1
2 2 1
x
x
当分母(x+1)(x-2)=0时,分式无意义
∴x+1=0 x-2=0
∴x≠-1 x≠2 有意义3x
(x+1)(x-2)
(2)当分母(x+1)(x-2) ≠0时,分式有意义
∴x+1≠0 x-2≠0
∴x=-1 x=2 无意义3x
(x+1)(x-2)或
或
且
且
分式有意义:分母不为0;分式无意义:分母为0
2
23 4
x
x
( )
解: 2 2
2
2
4 0 4
22 2, 4
2= = 4
x
xx x x
x
x
另一种解法:
当 时,可得x
由平方根的定义得x= 2
所以 且 有意义
x 2或x -2, 无意义
注意下结论时:“或” “且”不要丢掉
更不要弄混
1、当x 取什么值时,下列分式有意义(无意义)?
当分母 时,分式有意义2 4 0x
即(x+2)(x-2) ≠0
∴x+2≠0且x-2≠0
2
2
4 0
+
2- 4
x
x
x
当分母 时,分式无意义
即(x 2)(x-2)=0
x+2=0或x-2=0
x= 2或x=2, 无意义
2
22 4
xx x
且x 2, 有意义
分式有意义:分母不为0;分式无意义:分母为0
2、下列分式中,x 取任意实数总有意义的是( )
无论x取何值分母都不为0
2
1xA x
、 2
2
1
( 2)
xB x
、 2
1-
1
xC x
、
2
xD x
、
2
2 2
2
0
1 0 1 1 1
1 0
x
x x
x
Q
f
c
(三)分式值为零的条件
【例3】使分式 的值为0,这时x= .2 1
1
x
x
1
小结:分式值为零有两层意思
1、分子为零
2.分母不为零(保证分式有意义)
0除以任何不为的数都得零,因此分式值
为零需分子为零,分母不为零
解:要使分式 值为0,
2 1
1
x
x
2 1 0
1 0
x
x
则需
2 21 0 1
1
1 0 1
1
x x
x
x x
x
Q
Q
0 0A A BB
若分式 值为零,则 且
巩固练习:1、当x取什么值时,下列分式值为零?
2 31 5
x
x
() 22 2 4
x
x
( )
(2)要使分式值为0,则需 2 0
2 4 0
x
x
①
②
2 0 2 2x x x Q
2 4 0 2 4 2x x x Q
22 02 4
xx x
当 ,
2 3 0
5 0
3
2
5
3
2
x
x
x
x
x
(1)要使分式值为零,
则需
解:
0 0A A BB
若分式 值为零,则 且
2
(3) 1
a a
a
解(2)要使分式值为0,则需
2 0
1 0
a a
a
①
②
2
1 2
0 ( 1) 0
0 1 0
0, 1
a a a a
a a
a a
Q
或
1 0 1a a Q
2
0 01
a aa a
当 时
巩固练习:1、当x取什么值时,下列分式值为零?
0 0A A BB
若分式 值为零,则 且
12 0 ,2
x x yx y
、如果分式 的值为 ,那么 应满足的条件是( )
A.x≠1,y≠2 B.x≠1,y=2 C.x=1,y=2 D.x=1,y≠2
分析:由分子x-1=0 得,x=1
由分母2x-y≠0 即2×1-y≠0
所以y≠2
D
拓展提高
2 24 3 9
xx x
【例 】(1)当 为何值时,分式 的值为负数?
2
22 2 03 9
3 9 0
3
x
x
x
x
Q f
p
p
分式 的值为负数且x
32 4
xx x
( )当 为何值时,分式 的值为正数?
3
4
3 0 3 0
4 0 4 0
3 4
x
x
x x
x x
x
Q
f p
f p
p p
分式 值为正数
或
归纳小结:1、分式值为正数,分子、分母同号
2、分式值为负数,分子、分母异号
解:
课堂小结
一个概念 分式的概念
①分子分母都是整式
②分母中含有字母
三个条件
分式无意义的条件 分母等于零
分式有意义的条件 分母不等于零
分式的值为零的条件 分子等于零
且分母不等于零
当堂检测
1.下列各式中不是分式的是( )
2A x
x y
、 2
1B
、 1C - x y
、
2x xD x
、
12. ( 1)( 2)
x xx x
要使分式 有意义,则 应满足的条件是( )
A.x ≠1 B .x ≠2且x ≠1 C.x ≠2 D.X ≠1或x ≠2
有意义
2
2
1
2 1
a
a a
3.分式 的值等于0,则a的值为
4.若代数式 有意义,则实数x的取值范围是 2
1
3)
x
x
(
B
B
a=-1
2
1 0
( 3) 0
x
x
根据题意可得
1 3x x 且
(x-1)(x-2) ≠0
2
2
1 0 1
a 2 1 0
1
a a
a
a
由 得
把 =1代入分母a
所以
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