高三数学总复习专题突破训练：函数综合题03

2010 届高三数学总复习专题突破训练：函数综合题 1、（2009 澄海）已知二次函数 cxbxaxxf  2)( ，不等式 xxf 2)(  的解集为 )3,1( ． (Ⅰ)若方程 06)(  axf 有两个相等的实根，求 )(xf 的解析式； (Ⅱ)若 )(xf 的最大值为正数，求实数 a 的取值范围． 2、（2009 广东揭阳）设定义在 R 上的函数 f (x)＝a0x4+a1x3+a2x2＋a3x (a i∈R，i＝0，1，2， 3 )，当x＝－ 2 2 时，f (x)取得极大值 2 3 ，并且函数 y＝f (x)的图象关于 y 轴对称。 （1）求 f (x)的表达式； （2）试在函数 f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横 坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ 2 2 3 (x∈R)． 3 、（ 2009 广 东 揭 阳 ） 已 知 二 次 函 数 ( )y f x 的 图 像 经 过 坐 标 原 点 ， 其 导 函 数 为 ' ( ) 6 2f x x  ，数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nn S n N  均在函数 ( )y f x 的图像 上。 （Ⅰ）、求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）、设 1 3 n n n b a a   ， nT 是数列{ }nb 的前 n 项和，求 使得 20n mT  对所有 n N  都成立的最小正整数 m。 4、（2009 广东东莞）已知函数   2 1log 0, 2af x x a a      ， （1）若        2 2 2 1 2 2008 1 2 20088,f x x x f x f x f x    求 的值. （2）当      1,0 1 0,x x f x    时，g 求 a 的取值范围. (3)若  ( ) 1 ,g x f x  当动点  ,p x y 在  y g x 的图象上运动时，点 ,3 2 x yM      在函 数  y H x 的图象上运动，求  y H x 的解析式. 5、（2009 广东东莞）已知函数 .2 1)1()())((  xfxfRxxfy 满足 （Ⅰ）求 *))(1()1()2 1( Nnn nfnff 和 的值； （Ⅱ）若数列 )1()1()2()1()0(}{ fn nfnfnffaa nn  满足 ，求列数 }{ na 的通项公式； （Ⅲ）若数列{bn}满足 1433221,4 1  nnnnn bbbbbbbbSba  ，则实数 k 为何值 时，不等式 nn bkS 2 恒成立. 6、（2009 广州海珠）已知     2,ln 23  xaxxxgxxxf (Ⅰ)求函数  xf 的单调区间; (Ⅱ)求函数  xf 在  02,  ttt 上的最小值; (Ⅲ)对一切的   ,0x ,     22 '  xgxf 恒成立,求实数 a 的取值范围. 7 、（ 2009 广 东 湛 江 ） 已 知 函 数 2( ) 1 f x ax bx   ( ,a b 为 实 数 ) ， x R ， ( ) ( 0)( ) ( ) ( 0) f x xF x f x x     . (1)若 ( 1) 0,f   且函数 ( )f x 的值域为[0, )  ，求 )(xf 的表达式； (2)在(1)的条件下，当 [ 2, 2]x  时， ( ) ( )g x f x kx  是单调函数，求实数 k 的取值 范围； (3)设 0m n  ， 0,m n  0a  且 ( )f x 为偶函数，判断 ( )F m ＋ ( )F n 能否大于零. 8、（2009 广州（一）已知二次函数 2 2 1( ) , : 8直线f x ax bx c l y t t      ,其中 (0 2≤ ≤ ，t t 为常数）； 2 : 2.l x  若直线 l1、l2 与函数 f (x)的图象以及 l1，y 轴与函数 f (x)的图象所围成的 封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）根据图象求 a、b、c 的值； （Ⅱ）求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式； （Ⅲ）若 ,ln6)( mxxg  问是否存在实数 m， 使得 y=f (x)的图象与 y=g (x)的图象有且 只有两个不同的交点？ 若存在，求出 m 的值； 若不存在，说明理由． 9 、（ 2009 广 东 深 圳 ） 若 定 义 在 R 上 的 函 数  f x 对 任 意 的 Rxx 21 , ， 都 有 1)()()( 2121  xfxfxxf 成立，且当 0x 时， 1)( xf 。 （1）求证： 1)( xf 为奇函数； （2）求证： )(xf 是 R 上的增函数； （3）若 5)4( f ，解不等式 3)23( 2  mmf ． 10、（2009 广东揭阳）已知向量 2( 3,1), ( , )a x b x y     ，（其中实数 y 和 x 不同时为零）， 当| | 2x  时，有 a b  ，当| | 2x  时， //a b   ． (1) 求函数式 ( )y f x ； （2）求函数 ( )f x 的单调递减区间； （3）若对 ( , 2]x    [2, ) ，都有 2 3 0mx x m   ，求实数 m 的取值范围． 11、（2009 广东揭阳）已知函数 2( ) ( 1) , ( ) ( 1)f x x g x k x    ，函数 ( ) ( )f x g x 其中一 个零点为 5，数列{ }na 满足 1 2 ka  ，且 1( ) ( ) ( ) 0n n n na a g a f a    ． （1）求数列{ }na 通项公式； （2）试证明 1 1 n i i a n    ； （3）设 13 ( ) ( )n n nb f a g a   ，试探究数列{ }nb 是否存在最大项和最小项？若存在求 出最大项和最小项，若不存在，说明理由． 12、（2009 广东潮州）已知 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y 是 2 1( ) log2 1 xf x x    的图象上任意两点， 设点 1( , )2M b ， 且 )(2 1 OBOAOM  ，若 1 1 ( ) n n i iS f n     ，其中 n N  ，且 2n  。 （1）求b 的值； （2）求 nS ； （3）数列{ }na 中 1 2 3a  ，当 2n  时， 1 1 ( 1)( 1)n n n a S S     ，设数列{ }na 的前 n 项和为 nT ， 求  的取值范围使 1( 1)n nT S   对一切 n N  都成立。 13、（2009 广东潮州）抛物线 ( )y g x 经过点 (0, 0)O 、 ( , 0)A m 与点 ( 1, 1)P m m  ， 其中 0 nm ， ab  ，设函数 )()()( xgnxxf  在 ax  和 bx  处取到极值。 （1）用 ,m x 表示 ( )y g x ； （2） 比较 nmba ,,, 的大小（要求按从小到大排列）； （3）若 22 nm ，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线 )(xfy  均相切，求 )(xfy  。 14 、（ 2009 珠 海期 末） 已知 , 是 方程 )(0144 2 Rttxx  的 两个 实数 根, 函 数 1 2)( 2   x txxf 的定义域为 ],[  . (1)判断 )(xf 在 ],[  上的单调性,并证明你的结论; (2)设 )(min)(max)( xfxftg  ,求函数 )(tg 的最小值. 15、（2009 珠海期末）已知函数 ),()( 2 Rbabaxxxf  ,不等式 |3042||)(| 2  xxxf 对 Rx  恒成立,数列 }{ na 满足: 2 1 1 a , ),2(15)(2 * 1 Nnnafa nn   , 数列 }{ nb 满足: )(2 1 *Nnab n n  ; (1)求 ba, 的值; (2)设数列 }{ nb 的前 n 和为 nS ,前 n 的积为 nT ,求 n n n TS 12  的值. 答案： 1、解：（Ⅰ）∵不等式 xxf 2)(  的解集为 )3,1( ∴ 1x 和 3x 是方程 )0(0)2(2  acxbax 的两根 -----------1 分 ∴         3 42 a c a b -----------2 分 ∴ acab 3,24  -----------3 分 又方程 06)(  axf 有两个相等的实根 ∴ 0)6(42  acab -----------4 分 ∴ 094)12(4 2  aaa ∴ 0)1)(15(  aa ∴ 5 1a 或 1a （舍） -----------5 分 ∴ 5 3,5 6,5 1  cba -----------6 分 ∴ 5 3 5 6 5 1)( 2  xxxf -----------7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 axaaxxf 3)12(2)( 2  aa a a axa 3)12()12( 2  a aa 142  -----------9 分 ∵ 0a ， ∴ )(xf 的最大值为 a aa 142  -----------11 分 ∵ )(xf 的最大值为正数 ∴      014 0 2 a aa a ∴      014 0 2 aa a 解得 32 a 或 032  a -----------13 分 ∴所求实数 a 的取值范围是 )0,32()32,(   -----------14 分 2、解：∵f (x)＝4a0x3＋3a1x2＋2a2x+a3 为偶函数，∴ f (x) = f (x), ∴ 4a0x3 +3a1x2 2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3, ∴ 4a0x3 + 2a2x =0 对一切 x  R 恒成立， ∴ a0＝a2＝0，∴f (x)＝a1x3＋a3x 又当 x＝－ 2 2 时，f (x)取得极大值 2 3 ∴ f(－ 2 2 )＝ 2 3 ， f  (－ 2 2 )＝0， 解得 a1＝2 3 ， a3＝－1， ∴f (x)＝2 3 x3－x，f (x)＝2x2－1 4 分 ⑵解：设所求两点的横坐标为 x1、x2 (x1 < x2)，则(2x12－1)(2x22－1)＝－1 又∵x1，x2∈[－1，1]，∴2x12－1∈[－1，1]，2x22－1∈[－1，1] ∴2x12－1，2x22－1 中有一个为 1，一个为－1， ∴ x1=0 x2=1 或 x1 = 1 x2=0 ，∴所求的两点为(0，0)与(1，－1 3)或(0，0)与(－1，1 3)。 ⑶证明：易知 sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。 当 0< x < 2 2 时，f  (x) < 0；当 2 2 < x < 1 时，f  (x)>0。 ∴f (x)在[0， 2 2 ]为减函数，在[ 2 2 ，1]上为增函数， 又 f (0)＝0，f ( 2 2 )＝－ 2 3 ，f (1)＝－1 3 ，而 f (x)在[－1，1]上为奇函数， ∴f (x)在[－1，1]上最大值为 2 3 ，最小值为－ 2 3 ，即 | f (x) | ≤ 2 3 , ∴| f (sin x) | ≤ 2 3 ，| f (cos x)| ≤ 2 3 ， ∴| f (sin x)－f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋| f (cos x) | ≤ 2 2 3 3、解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点 ( , )( )nn S n N  均在函数 ( )y f x 的图像上，所以 nS ＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ )1(2)13 2  nn（ ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （ n N  ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知 1 3   nn n aab ＝   3 (6 5) 6( 1) 5n n   ＝ )16 1 56 1(2 1  nn ， 故 Tn＝   n i ib 1 ＝ 2 1      )16 1 56 1(...)13 1 7 1()7 11( nn ＝ 2 1 （1－ 16 1 n ） 因此，要使 2 1 （1－ 16 1 n ）< 20 m （ n N  ）成立的 m,必须且仅须满足 2 1 ≤ 20 m ，即 m≥10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 4、解：（1）    1 2 2008 2 1 2 2008log 8,af x x x x x x         2 2 2 2 2 2 1 2 2008 2 1 2 2 2 2008log log loga a af x f x f x x x x        ＝    1 2 2008 1 2 20082 2 2log 2log 16x x x x x x a a   ………………………..5 分 （2）      1 21 log x ag x f x    ； 设    1, 1,0 0,1u x x u    时， ；   2 10,1 log 0, 0 2 1, 0 2 u au a a       当 时， ； 即所求 a 的取值范围为 10, 2      ……………….9 分 (3)      1 21 log x ag x f x    ; 设   33, , , 2 2 xu x uM u v y vyv        则 ；………………………11 分         3 1 2 3 1 2 , 2 log , 1 log ..................................132 u a u a p x y y g x v v         在 上运动， 分 即所求函数的解析式为    3 1 2 1 log2 x aH x  ……………………14 分 5、解：（Ⅰ）令 4 1)2 1(2 1)2 11()2 1(2 1  fffx ，，则 令 2 1)1()1(2 1)11()1(1  n nfnfnfnfnx ，即，则 …………4 分 （Ⅱ）∵ )1()1()2()1()0( fn nfnfnffan   ① ∴ )0()1()2()1()1( fnfn nfn nffan   ② 由（Ⅰ），知 2 1)1()1(  n nfnf ∴①+②，得 .4 1.2 1)1(2  nana n ………………8 分 （Ⅲ）∵ 1 1,4 1,4 1  nbbana nnnn ∴ 1433221  nnn bbbbbbbbS  )2 1 1 1()5 1 4 1()4 1 3 1()3 1 2 1( 2 1 1 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1   nn nn   )2(22 1 2 1  n n n )2)(1( 2)1( 1 1 22 2   nn nkkn nn knbkS nn ………………………………12 分 由条件，可知当 02)1(2  nkkn 恒成立时即可满足条件 设 2)1()( 2  nkknnf 当 k＞0 时，又二次函数的性质知 02)1(2  nkkn 不可能成立 当 k=0 时，f（n）=－n－2＜0 恒成立； 当 k＜0 时，由于对称轴直线 2 1 2 1 2 1 2 )1(  kk kn ∴f（n）在 ),1[  上为单调递减函数 ∴只要 f（1）＜0，即可满足 02)1(2  nkkn 恒成立 ∴由 0,2 3,02)1()1(  kkkkf 又得 ，∴k＜0 综上知，k≤0，不等式 nn bkS 2 恒成立………………………………14 分 6、(Ⅰ)   ,10,0,1ln)( '' exxfxxf  解得令   ;1,0      exf 的单调递减区间是 ……2 分   ,1,0' exxf  解得令   .,e 1       的单调递减区间是xf ……4 分 (Ⅱ)(ⅰ)0