高二数学必修一、二解答题训练

专题训练（必修 1—2） 1、已知函数 ( )f x 为 R 上的偶函数，且当 0x  时， 2( ) 2 2f x x x   ， （1）求 ( )f x ( )x R 的解析式； （2）求 ( )f x 的单调区间以及  0,3x 时的最值. 2、设函数 1( ) 27 3 1 xf x M x     的定义域为集合 ，函数 1 2 ( ) log (3 2)g x x  的定义域为 N ， (1) (2) ( )RM N M N M N C M N  求： 求集合 、 求 ， , 3、已知函数 2 1( ) log .1 xf x x   (1)求 的定义域; (2)讨论 的奇偶性; (3)定义法证明函数 ( )f x 的单调性. )(xf )(xf 4、某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出。当每辆车的月租金 每增加 50 元时，未出租的车会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的每辆车 每月每辆需要维护费 50 元。 （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少？ 5、函数 2( ) 1 ax bf x x   是定义在 ( 1,1) 上的奇函数，且 1 2( )2 5f  。 （1）确定函数 ( )f x 的解析式；（2）用定义证明函数 ( )f x 在 ( 1,1) 上是增函数； （3）（理科）解不等式： ( 1) ( ) 0f t f t   。 6、如图，长方体 1111 DCBAABCD  中， 1 ADAB ， 21 AA ，点 P 为 1DD 的中点。 （1）求证：直线 1BD ∥平面 PAC ； （2）求证：直线 1PB  平面 PAC 。 7、在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA  底面 ABCD，且 PA=AB=a. （1）求证：BD  平面 PAC； （2）求二面角 P—BD—A 的正切值. （3）求三棱锥 P—BCD 的体积 8、如图，四边形 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，E、F 分别为 BC 和 PC 的中点. （1）求证：EF∥平面 PBD； （2）如果 AB=PD，求 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值. B C DA P P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 8、求圆心 C 在直线 2y x 上，且经过原点及点 M（3，1）的圆 C 的方程. 9、如图，已知三角形的顶点为 (2,4)A ， (0, 2)B  ， ( 2,3)C  ，求： (1)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积． 10、已知点 A(1,-1),B(5,1),直线l 经过点 A,且斜率为 4 3 ， （1）求直线l 的方程。（2）求以 B 为圆心，并且与直线l 相切的圆的标准方程。 11、求过点 ( 3,3)M  且被圆 2 2 4 21 0x y y    所截得的弦长为8 的直线方程。 1、已知函数 )(xf 为 R 上的偶函数，且当 0x 时， 22)( 2  xxxf ， （1）求 )( xf )( Rx  的解析式； （2）求 )( xf 的单调区间以及在 0,3 上的最值. 1、解： 时，当为偶函数， 0)(  xxf 222)(2)()()( 22  xxxxxfxf      0,22 0,22)( 2 2 xxx xxxxf      0,3)1( 0,3)1()( 2 2 xx xxxf ，其图象如图所示：       ，，，单调递增区间为：，，，的单调递减区间为： 101101)(xf min max1 1 ( ) 3 3 ( ) 1.x f x x f x     当 或 时， ；当 时， 。 2、设函数 ，的定义域为集合 Mx x xf x327 1 1)( 0    NMCNMNMNM Nxxg R  )()2()1( 223log)( 2 1 ，，求、求集合求： ，的定义域为）（函数  解：（1）对于 )(xf ，由 3001 3 0 1 0327 0 01              xx x x x x x x 或得  3001|  xxxM 或 对于 )(xg ，由 4230,2)23(log02)23(log 2 1 2 1  xxx ，得 —1 —3 1    23 2|,23 2 xxNx （2）  3001|  xxxNM 或 ，    23 2| xxNM   301|  xxxxMC R 或或    323 201|)( xxxxxNMC R 或或或 3、函数 21)( x baxxf   是定义在 )1,1( 上的奇函数，且 5 2)2 1( f 。 （1）确定函数 )(xf 的解析式；（2）用定义证明函数 )(xf 在 )1,1( 上是增函数； （3）解不等式： 0)()1(  tftf 。 （1）解： )(xf 是定义在（—1，1）上的奇函数， 0)0(  bf ， 又 21 )(15 2 4 11 2)2 1( x xxfa a f     ，， ； （2）证明：任取 11 21  xx ，则 )1)(1( )()( )1)(1(11 )()( 2 2 2 1 122112 2 2 2 1 2 211 2 122 2 1 1 2 2 2 12 xx xxxxxx xx xxxxxx x x x xxfxf         11,0)1)(1(,0,11 21 2 2 2 11221  xxxxxxxx 又 0)()(,01 1221  xfxfxx 函数 )(xf 在 )1,1( 上是增函数； （3）解： )2 1,0( ,2 10 ,111 )1,1()( )()()1( )(,0)()1( 即不等式解集为： 解得 上是增函数，在又 是奇函数，      t tt xf tftftf xftftf   某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出。当每辆车的月租金每 增加 50 元时，未出租的车会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的每辆车每 月每辆需要维护费 50 元。 （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少？ 解：（1）当月租金为 3600 时，未出租的车有： 1250 30003600  （辆）， 所以租出的车有 88 辆； （2）设月租金定为 x ，则月收益为 21000162505050 3000)150)(50 3000100( 2  xxxxxy 307050)4050(50 1 2  x 307050)(4050 max  xfx 时，当 答：略 对于函数 )(xf ，若存在实数 0x 使得 00 )( xxf  ，则称 0x 为函数 )(xf 的不动点。已知函数 )0(1)1()( 2  abxbaxxf （1）当 2,1  ba 时，求函数 )(xf 的不动点； （2）对于任意实数 b，函数 )(xf 恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； （3）（理科）在（2）的条件下，若函数 )(xf 的图象上 A，B 两点的横坐标是函数 )(xf 的不动点， 且 A，B 两点关于直线 12 1 2  akxy 对称，求 b 的最小值。 .4 2 2 212 4 2 22 1 12 1 12 1012 1 22 12 1 212 1 22 3 1001616 0440)1(4 01)(2 31)(3)1( min 2 2 2200 21 0 21 2 22 2 2           baaa aaa ab aaa b a bxyAB aa b akxya bxxx ABxxBA aaa baabbbab bbxaxxf xfxxx 时，，即当且仅当 ， ，又上，中点在又 中点的纵坐标， 中点的横坐标为：，则，两点横坐标分别为，）设（ ；，’ 恒成立，对任意的实数，即 恒有两个相异的实根， ，等价于方程：恒有两个相异的不动点）（ ；，的不动点为：，解得由   如图，长方体 1111 DCBAABCD  中， 1 ADAB ， 21 AA ，点 P 为 1DD 的中点。 （1）求证：直线 1BD ∥平面 PAC ； （2）求证：直线 1PB  平面 PAC 。 解：（1）设 AC 和 BD 交于点 O，连 PO， 由 P，O 分别是 1DD ，BD 的中点，故 PO// 1BD ， 所以直线 1BD ∥平面 PAC --（4 分） （2）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C 是直角三角形。 1PB  PC， 同理 1PB  PA，所以直线 1PB  平面 PAC 。 4、在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA  底面 ABCD，且 PA=AB=a. （1）求证：BD  平面 PAC； （2）求二面角 P—BD—A 的正切值. （3）求三棱锥 P—BCD 的体积 解：（1）∵PA  底面 ABCD,∴ PA  BD. B C DA P P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 又 ∵底面 ABCD 是正方形，∴ BD AC 且 PA AC A  ∴ BD AC 平面P （2）设 AC 与 BD 交于点 O，∵ PO PAC平面 且由（1）得 BD  PO 又∵ BD AO ∴ POA 即为二面角 P-BD-A 的平面角。 在 Rt PAO 中，PA=a,AO= 2 2 a ,∴tan POA = PA AO = 2 2 a a = 2 (3). 1 3 BCDV PA S  2 31 1 1 3 2 6a a a    5、求圆心 C 在直线 2y x 上，且经过原点及点 M（3，1）的圆 C 的方程. 解：设圆心 C 的坐标为（ ,2a a ），则| | | |OC OM ，即 2 2 2 2(2 ) ( 3) (2 1)a a a a     ，解得 1a  . 所 以 圆 心 (1,2)C ， 半 径 5r  . 故 圆 C 的 标 准 方 程 为 ： 2 2( 1) ( 2) 5x y    . 6、如图，已知三角形的顶点为 (2,4)A ， (0, 2)B  ， ( 2,3)C  ，求： （Ⅰ）AB 边上的中线 CM 所在直线的方程； （Ⅱ）求△ABC 的面积． （Ⅰ）解：AB中点M的坐标是 (1,1)M ， 中线 CM 所在直线的方程是 1 1 3 1 2 1 y x    ，即 2 3 5 0x y   （Ⅱ）解法一： 2 2(0 2) ( 2 4) 2 10AB       ， 直线 AB 的方程是3 2 0x y   ， 点 C 到直线 AB 的距离是 2 2 | 3 ( 2) 3 2 | 11 103 1 d       所以△ABC 的面积是 1 112S AB d   ． 解法二：设 AC 与 y 轴的交点为 D，则 D 恰为 AC 的中点，其坐标是 7(0, )2D ， 11 2BD  ， 11ABC ABD BDS S S  △ △ △C 7、已知圆 C： 2 2 4x y  ，直线 :l x y b  . (1)b 为何值时直线l 和圆相切，并求出切点坐标；（2）b 为何值时直线l 和圆相交，并求出弦长. 解： 2 2 4 x y b x y      得 2 22 2 ( 4) 0x bx b    判别式 24 32b   . （1） 当 2 2b   时， 0 ，直线 l 和圆相切.因为切点一定在直线 y x 上，所以切点坐标为 ( 2, 2) 或 ( 2, 2)  （2） 当 2 8b  ，即 2 2 2 2b   时 0 ，直线l 和圆相交. 因为圆心到直线的距离为 2 b ，所以割线长为 2 2 22 2 ( ) 16 2 2 b b   已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y    ，直线 1l 过定点 A(1，0)． （Ⅰ）若 1l 与圆相切，求 1l 的方程； （Ⅱ）（理科）若 1l 与圆相交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 M，又 1l 与 2 : 2 2 0l x y   的交 点为 N，求证: AM AN 为定值． （Ⅰ）解：①若直线 1l 的斜率不存在，即直线是 1x  ，符合题意．……………2 分 ②若直线 1l 斜率存在，设直线 1l 为 ( 1)y k x  ，即 0kx y k   ． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线 1l 的距离等于半径 2， 即： 2 3 4 2 1 k k k     ………………………………………………………………4 分 解之得 3 4k  ． 所求直线方程是 1x  ，3 4 3 0x y   ． …………………………………………… 6 分 （Ⅱ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0,可设直线方程为 0kx y k   由 2 2 0 0 x y kx y k        得 2 2 3( , )2 1 2 1 k kN k k    ． ……………………………8 分 又直线 CM 与 1l 垂直， 由 14 ( 3) y kx k y xk       得 2 2 2 2 4 3 4 2( , )1 1 k k k kM k k      ． …………………10 分 ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 2 2 2 3( 1) ( ) ( 1) ( )1 1 2 1 2 1 k k k k k kAM AN k k k k               2 2 2 2 | 2 1| 3 11 61 | 2 1| k kkk k       为定值．…………………14 分 解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0,可设直线方程为 0kx y k   由 2 2 0 0 x y kx y k        得 2 2 3( , )2 1 2 1 k kN k k    ． ……………………………8 分 再由 2 2( 3) ( 4) 4 y kx k x y        得 2 2 2 2(1 ) (2 8 6) 8 21 0k x k k x k k        ． ∴ 1 2 2 2 2 8 6 1 k kx x k     得 2 2 2 2 4 3 4 2( , )1 1 k k k kM k k      ． ………………10 分 以下同解法一． 解法三：用几何法，如图所示，△AMC∽△ABN，则 AM AC AB AN  ， 可得 32 5 6 5 AM AN AC AB      ，是定值． 24．证：（1）在△PBC 中，E、F 为 BC 和 PC 的中点，所以 EF∥BP.因此 EF PB EF PBD EF PBD PB PBD      平面 平面 平面 ∥ ∥ . （2）因为 EF∥BP，PD⊥平面 ABCD， 所以∠PBD 即为直线 EF 与平面 ABCD 所成的角. 又 ABCD 为正方形，BD= 2 AB， 所以在 Rt△PBD 中， 2tan 2 PBPBD BD    . 所以 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 2 . 25. 解：（1）因为 26 56y x  *(1 5, )x x N   单增，当 5x  时， 74y  （万元）； 210 20y x  *(5 12, )x x N   单减，当 6x  时， 90y  （万元）.所以 y 在 6 月份取最大值， 且 max 90y  万元. （2）当 *1 5,x x N   时， ( 1)30 262 13 43 x xx w xx       . 当 *5 12,x x N   时， ( 5)( 6)110 90( 5) ( 20) 6402 10 200 x xx w xx x            . 所以 w  13 43 64010 200 x x x    * * (1 5, ) (5 12, ) x x N x x N       . 当1 5x  时， w  22； 当5 12x  时， 64200 10( ) 40w x x     ，当且仅当 8x  时取等号. 从而 8x  时， w 达到最大.故公司在第 9 月份就应采取措施.