高考数学学习方法：坐标系与参数方程高考大题问题的类型与解法

坐标系与参数方程高考大题问题的类型与解法 坐标系与参数方程问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学 高考试卷，都必有一个坐标系与参数方程问题的 10 分大题。从题型上看是选做的两个大题 中的一题，难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到 7 到 12 分。纵观近几年高考试卷， 归结起来坐标系与参数方程问题主要包括：①已知直线上一定点，直线与曲线相交于不同两 点，求定点到两个交点的距离的和（或积或差）的值；②已知直线与曲线相交于不同两点， 求满足某个条件的直线（或曲线）的方程（或求直线斜率的值或取值范围）；③已知直线和 曲线的方程，曲线上一个动点，求与动点相关（或动点到定直线）的距离（或最值）；④ 已知直线和曲线的方程，直线与曲线满足某个条件，求点的坐标等几种类型。各种类型问题 结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答该问题时，到底应 该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回 答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、在平面直角坐标系 XOY 中，曲线 C 的参数方程为 x= ，（m 为参数），以坐标原 y=2m，点 O 为极点，X 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为： sin - cos +1=0（2020 成都市 高三二诊）。 （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程； （2）已知点 P（2，1），设直线 l 与曲线 C 相较于 M，N 两点，求 + 的值。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③ 直线参数方程的定义与性质；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可 得到曲线 C 的普通方程，直线 l 的直角坐标方程；（2）根据直线普通方程化参数方程的基 本方法把直线 l 化为参数方程，联立曲线 C 的普通方程得到关于 t 的一元二次方程，利用根 2m ρ θ ρ θ 1 | |PM 1 | |PN 与系数的关系定理求出， + ， . 的值，从而求出 + 的值。 【详细解答】（1） 曲线 C 的参数方程为 x= ，（m 为参数）， 曲线 C 的普通 y=2m，方程为： =4x， 直线 l 的极坐 标方程为： sin - cos +1=0， 直线 l 的直角坐标方程是：x-y-1=0； （2） 当 x=2 时，y=2-1=1， 点 P（2，1）在直线 l 上， 直线 l 的参数方程为： x=2+ t，y=1+ t（t 为参数），联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的普通方程得： -2 t-14=0，设 ， 是方程 -2 t-14=0 的两个根， + =2 ， . =-14， + = =| |= 。 2、在平面直角坐标系 XOY 中，直线 l 的参数方程为 x=- + t，(t 为参数)，以坐标 y= + t，原点 O 为极点，X 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为： +6 cos ）=a，其中 a>0。 （1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）在平面直角坐标系 XOY 中，设直线 l 与曲线 C 相较于 A，B 两点，若点 P（- ， ）恰为线段 AB 的三等分点，求 a 的值（2020 成都市高三三诊）。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③ 直线参数方程的定义与性质；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可 1t 2t 1t 2t  ∴  ∴  ∴ ⇒ 1t 2t  1t 2t 1t 2t ∴ 1 | |PM 1 | |PN 2m 2y ρ θ ρ θ 2 2 2 2 2t 2 2t 2 2 1 | |PM 1 | |PN | | | | | |.| | PM PN PM PN + 2 2 14− 2 7 8 3 2 2 4 3 2 2 2ρ ρ θ 8 3 4 3 得到曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）根据直线普通方程化参数方程的基 本方法把直线 l 化为参数方程，联立曲线 C 的普通方程得到关于 t 的一元二次方程，由根与 系数的关系求出 + ， . 的值，结合问题条件求出 ， 的值，从而求出 a 的值。 【详细解答】（1） 直线 l 的参数方程为 x= - + t，（t 为参数）， 直线 l 的普 y= + t，普通方程为： x-y+4=0， 曲 线 C 的极坐标方程为： +6 cos ）=a， 曲线 C 的直角坐标方程为： + +6x -a=0，（2）联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程得： + t- -a=0， 设 ， 是方程 + t- -a=0 的两个根， + =- ， . =- -a， 点 P （- ， ）恰为线段 AB 的三等分点， =-2 ， = + = ， a=4。 3、在直角坐标系 XOY 中，过点 P（1，1）的直线 l 的参数方程为： x=1+tcos ，（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， y=1+tsin ， 曲线 C 的极坐标方程为 =4cos （2020 成都市高三零诊）。 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相较于 A，B 两点，求 - 的最小值。 【解析】 【考点】①直线参数方程的定义与性质；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③一 元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】运用极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，就可得到曲线 C 的直角坐标 方程是；（2）联立直线 l 参数方程与曲线 C 的直角坐标方程得到关于 t 的一元二次方程， 1t 2t 1t 2t 1t 2t  ∴  ∴ 1t 2t  1t 2t 1t 2t  ∴ 1t 2t ⇒ ∴ 8 3 2 2 4 3 2 2 2ρ ρ θ 2x 2y 2t 5 2 3 64 9 2t 5 2 3 64 9 5 2 3 64 9 8 3 4 3 2 2t 32 9 2 a 50 9 α α ρ θ 1 | |PA 1 | |PB 利用根与系数的关系定理求出 + ， . 的值，从而求出 - 的值。 【详细解答】（1） 曲线 C 的极坐标方程为 =4cos ， =4 cos ， + =4x， 曲线 C 的直角坐标方程是： + =4；（2）联立直线 l 的参数方程和曲 线 C 的直角坐标方程 x=1+tcos （t 为参数），得： +2t（sin -cos ）-2=0， + =-2（sin -cos ）, y=1+tsin ， . =-2， - = = + =4， = = ，当且仅当 2 = ，即 = 时， - = = 为最小值， - 的最小值是 。 4、在直角坐标系 XOY 中，直线 l 的参数方程为： x=1+ t(t 为参数)，在以坐标原点 O y=1+ t，为极点，X 轴正半轴为极 轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 （1+2 cos ）=3（2019 成都市高三零 诊）。 （1）写出直线的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 M（1,1），若直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 A，B，求|MA|+|MB|的值。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方 法；③直线参数方程的定义与性质；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 1t 2t 1t 2t  ∴ ⇒ ∴  1t 2t 1t 2t ∴ ∴ 1 | |PA 1 | |PB ρ θ 2ρ ρ θ 2x 2y 2( 2)x − 2y α 2t α α α α α 1 | |PA 1 | |PB | | | | | |.| | PB PA PA PB − 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 . | . | t t t t t t + − 2( 2)x − 2y 22 (sin cos ) 2 2 α α− + 3 sin 2α− α 2 π α 4 π 1 | |PA 1 | |PB 3 1− 2 1 | |PA 1 | |PB 2 1 2 3 2 2ρ 2 θ 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法， 结合问题条件就可得到直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）当 x=1 时，y= +1- =1，可知点 M（1,1）在直线 l 上，联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐 标方程得到关于 t 的一元二次方程，根据根与系数的关系定理求出 + ， . 的值, 从而求出|MA|+|MB|的值。 【详细解答】（1）直 线 l 的参数方程为： x=1+ t(t 为参)， == ， y=1+ t ， y-1= (x-1) ， 直线 l 的普通方程是： y= x+1- ； 曲线 C 的极坐标方程为： （1+2 cos ）=3， +2 cos =3 + +2 =3， 曲线 C 的直角坐标方程是： + =1； （2） 当 x=1 时，y= +1- =1， 点 M（1,1）在直线 l 上，联立直线 l 的参数方程 和曲线 C 的直角坐标方程 x=1+ t(t 为参数)，得：3 +2（3+ ）t+2=0， + =- y=1+ t，（3+ ）， . = , |MA|+|MB|=| + | + =1，= （3+ ）。 5、在直角坐标系 XOY 中，曲线 C 的参数方程为 x=2+2cos ( 为参数)，以坐标原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系， y=2sin ，直线 l 的极坐标方程为： sin( + )= （2019 成都市高三三诊）。 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 3 3 1t 2t 1t 2t  ∴ 1 1 y x − − 3 ⇒ 3 ∴ 3 3  ∴ ⇒ 2x 2y 2x ∴ 2x 2 3 y  3 3 ∴ 2t 3  1t 2t 2 3 3 1t 2t 2 3 ∴ 1t 2t 2x 2 3 y 2 3 3 1 2 3 2 2ρ 2 θ 2ρ 2ρ 2 θ 1 2 3 2 α α α ρ θ 4 π 2 2 （2）设点 M（0，1），若直线 l 与曲线 C 相较于 A，B 两点，求|MA|+|MB|的值。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方 法；③直线参数方程的定义与性质；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法， 结合问题条件求出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）当 x=0 时， y=1-0=1， 点 M（0,1）在直线 l 上，求出直线 l 的参数方程，联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的 普通方程得到关于 t 的一元二次方程，得出 + ， . 的值 ，求出|MA|+|MB|的值。 【详细解答】（1） 曲线 C 参数方程为：x=2+2cos ( 为参数)， =4cos ， y=2sin ， =4sin ， + =4， 曲线 C 的普通方程是： + =4； 直线 l 的极坐 标方程为： sin( + ) = ， （sin +cos ）=1， x+y-1=0， 直线 l 的 直角坐标方程是：x+ y-1=0。（2） 当 x=0 时，y=1-0=1， 点 M（0,1）在直线 l 上， 直线 l 的参数方程为： x=- t(t 为参数），联立直线 l 的参数方程和曲线 C Y=1+ t， Y=1+ t， 的普通方程 x=- t(t 为参数），得： - t+1=0， ， + = ， . =1， + =4， |MA|+|MB|=| + |= 。 6、在直角坐标系 XOY 中，直线 l 的参数方程为 ：x=2+ t(t 为参数)，在以坐标原 ⇒ 1t 2t 1t 2t  ∴ 2( 2)x − 2 2y 2 2( 2)x − 2y ∴ 2( 2)x − 2y  ∴ ⇒ ∴  ∴  2t 2  1t 2t 2 1t 2t 2( 2)x − 2y ∴ 1t 2t 2 α α α α α ρ θ 4 π 2 2 ρ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ⇒ 点为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， y=2+ t，曲线 C 的极坐标方程 为 sin +4sin = 。 （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点 M 在直角坐标系中的坐标为（2,2），若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，求|MA|.|MB|的值（2018 成都市高三一诊） 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方 法； ③直线参数方程的定义与性质；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法， 结合问题条件就可得到直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）当 x=2 时，y=2 +2-2 =2，可知点 M（2,2）在直线 l 上，联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐 标方程得到关于 t 的一元二次方程，根据根与系数关系定理求出 + ， . 的值， 从 而求出 |MA|.|MB|的值。 y=2+ t ， 【详细解答】（1） 直线 l 的参数方程为： x=2+ t(t 为参数)， = = ， y-2= (x-2) ， 直线 l 的普通方程是： y= x+2-2 ； 曲线 C 的极坐标方程为： sin +4sin = ， sin +4 sin = ， +4y = + ， 曲线 C 的直角坐标方程是： =4y。（2） 当 x=2 时，y=2 +2-2 =2， 点 M（2,2）在直线 l 上，联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程 3 3 1t 2t 1t 2t  ∴ 2 2 y x − − 3 2 1 2 t t 3 ⇒ 3 ∴ 3 3  ∴ ⇒ 2y 2x 2y ∴ 2x  3 3 ∴ 3 2 ρ 2 θ θ ρ 3 2 1 2 ρ 2 θ θ ρ 2ρ 2 θ ρ θ 2ρ x=2+ t(t 为参数)， 得： -8（ -1）t-16=0， + =8（ -1）， . =-16， y=2+ t， |MA|.|MB|=| . |=16。 =4y， 『思考问题 1』 （1）【典例 1】的结构特征是：第一小题是已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方 程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题是已知一个定点和直线 与曲线相较于不同两点，求定点到两个交点之间距离的和（或积或差）的值； （2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画 直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题的解答方法是：①确定已知点在直线上； ②由直线的参数方程与曲线方程联立，消去未知数 x 和 y 得到关于参数 t 的一元二次方 程；③根据韦达定理得到 + 和 . 的值；④运用定点到两个交点的距离和=| + |， 距离积=| . |，距离差=| - |= 求出结果。 ［练习 1］解答下列问题： 1、在平面直角坐标系 XOY 中，已知直线 l 的参数方程为 x= t(t 为参数)，在以坐标 原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系 y= t-1 ，长度单位相同 的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程是 =2 sin( + )（2019 成都市高三一诊）。 （1）求直线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 P（0，-1），若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A，B，求|PA|+|PB|的值。 2、在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程是 =4cos ，直线 l 的极坐标方程是 sin( + )=1，点 Q（ ， ）在直线 l 上，以极点为坐标原点，极轴为 X 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系 XOY，且两坐标系取相同的单位长度（2018 成都市高三三诊）。 （1）求曲线 C 及直线 l 的直角坐标方程； 2t 3  1t 2t 3 1t 2t ∴ 1t 2t 2x 1 2 3 2 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 2 1 2 1 2( ) 4t t t t+ − 1 2 3 2 ρ 2 4 π θ ρ θ 2 ρ θ 4 π ρ 2 π （2）若直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 A，B，求|QA|+|QB|的值。 3、在平面直角坐标系 XOY 中，曲线 C 的参数方程为 x=2cos ，（ 为参数），在， y=sin ，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin（ - ）= （2017 成都市高三零诊）。 （1）求曲线 C 在直角坐标系中的普通方程和直线 l 的倾斜角； （2）设点 P（0,1），若直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 A，B，求|PA|+|PB|的值。 【典例 2】解答下列问题： x=4cos （ 为参数），x=t+ (t 为 1、已知曲线 ， 的参数方程分别为 ：y=4sin ， ： y= t- ， 参数）（2020 全国高考新课标 II）。 （1）将 ， 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②求圆极坐标方程的基本方法；③正弦定理 及运用；④余弦定理及运用。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线 ， 的普通方程； （2）联立曲线 ， 的普通方程求出点 P 的直角坐标，从而得到点 P 的极坐标，如图设 M（ ， ）是所求圆上任意一点，利用求圆极坐标方程的基本方 法，结合问题条件就可求出圆的极坐标方程。 【解详细答】（1） 曲线 参数方程为：x=4cos （ 为参数）， x+y=4(cos ∴ α α α ρ θ 4 π 2 2 2 θ θ 1 t 1C 2C 1C 2 θ 2C 1 t 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1C 2C ρ θ 1C 2 θ θ 2 θ y=4sin ，+ sin )=4，曲线 的普通方 程是：x+y-4=0， 曲线 的参数方程为为：x=t+ (t为参数)， t= ， = ， y= t- ， 曲线 的普通方程是： - =4； （2）如图，设 M（ ， ）是所求圆上任意 一点，联立曲线 ， 的普通方程得：P（ ， P M ）， 点 P 的极坐标为：P（ ， ）， O （tan = ）， cos = ， |AP| =|OA| +|OP| -2|OP||OA|. cos , 2|OA| co s =|OP|， | AP|=|OA|= , 在 OAM 中， =， |OM|= = = cos ，所求圆的极坐标方程为： = cos 。 2、在平面直角坐标系 XOY 中，曲线 C 参数方程为 x=2-t- (t 为参数且 t 1)，C 与 （1）求|AB|； y=2-3t+ ，坐标轴交于 A，B 两点。 （2）以坐标原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标 方程（2020 全国高考新课标 III）。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②两点之间的距离公式及运用；③求直线极 坐标方程的基本方法。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法求出曲线 C 的普通方程，从而 求出点 A，B 的直角坐标，根据两点之间的距离公式通过运算就可求出|AB|；（2）如图，  ∴ ∴  ∴ ∴  ∴ 2 θ 2 θ 1C 2C 1 t 2 x y+ ⇒ 1 t 2 x y+ 1 t 2C 2x 2y ρ θ 1C 2C 5 2 3 2 ⇒ 34 2 0 θ 0 θ 3 5 0 θ 5 34 34 2 2 2 0 θ ⇒ 0 θ 17 10 ∆ | | sin 2 OM θ | | sin AM θ | | sin 2 sin AM θ θ 34sin cos 10sin θ θ θ 17 5 θ ρ 17 5 θ 2t ≠ 2t A 设 P（ ， ）是所求直线上的任意一点，利用求直线极坐标方程的基本方法，结合问 题条件就可求出直线 AB 的极坐标方程。 【解详细答】（1） 曲线 C 参数方程为 x=2-t- ( t 为参数且 t 1)， t=1- ， y=2-3t+ ， =1- + ，曲 线 C 的普通方程为： +2xy+ +4x-12y=0，令 x=0，得 y=0 或 y=12， B（0，12）， 令 y=0，得 x=0 或 x=-4， A（-4，0）， |AB|= =4 ； （2））如图，设 P（ ， ）是所求直线上 y B 任意一点， 在 OAP 中，sin OAP= ， P cos OAP= ， APO= - OAP， A O x sin APO= sin（ - OAP）= sin - cos ， = ， |OP|= ， |OP|（ sin - cos ）=4 ，直线 AB 的极 坐标方程是： sin -3 cos +12=0。 3、在极坐标系中，O 为极点，点 M（ ， ）（ >0）在曲线 C: =4 sin 上，直 线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为 P（2019 全国高考新课标 II） （1）当 = 时，求 及 l 的极坐标方程；。 （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程。 【解析】  ∴ ∴  ∴ ∴ ρ θ 2t ≠ 4 x y+ 2t ⇒ 2t 2 x y+ 2( ) 16 x y+ 2x 2y ⇒ ⇒ 2 2(0 4) (12 0)+ + − 10 ρ θ ∆ ∠ 3 10 10 ∠ 10 10 ∠ θ ∠ ∠ θ ∠ 10 10 θ 3 10 10 θ | | sin OP OAP∠ | | sin OA APO∠ ⇒ | | sin OA sin OAP APO ∠ ∠ 10 10 θ 3 10 10 θ × 3 10 10 ρ θ ρ θ 0 ρ 0 θ 0 ρ ρ θ 0 θ 3 π 0 ρ 【考点】①极坐标方程的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③求直线极坐标方程 的基本方法；④点的轨迹方 ）是程的定义与求法。 【解题思路】（1）设点 B（ ，直线 l 上除点 P 外的任意一点，结合问题条件得到 OAP= ，从而求出 OBP= + ,OP= OA=2,在 OPB 中运用正弦定理就可求出直线 l 的极 坐标方程；（2）设点 P（ ， ），根据在 Rt OAP 中，|OP|=|OA|cos =4cos ，从 而得到点 P 轨迹的极坐标方程为： =4cos ， [ ， ]。 【解详细答】（1）如图，设点 B（ ， ）是直线 l 上除点 M P 外的任意一点， 点 M（ ， ）（ >0）在曲线 C: P B =4 sin 上， = ， OAP= ， BOP= - ,|OP| O A = OA|=2, 在 Rt OPB 中，|OP|=|OB|cos( - )= cos( - )=2， 直线 l 的极坐 标方程为： sin + cos -2=0；（2）设点 P（ ， ）， 在 Rt OAP 中， |OP|=|OA|cos =4cos ， =4cos ， 点 P 在线段 OM 上，AP OM， [ ， ]，点 P 轨迹的极坐标方程是： =4cos ， [ ， ]。 4、在直角坐标系 XOY 中，曲线 C 的参数方程为 x=2cos ，（ 为参数），直线 l 的参 数方程为 x=1+tcos （t 为参数）， y=4sin y=2+tsin （2018 全国高考新课标 II 卷）。 （1）求 C 和 l 的普通方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率。 【解析】  ∴  ∴  ∴  ∴ θ ρ ∠ 6 π ∠ 6 π θ 1 2 ∆ ρ θ ∆ θ θ ρ θ θ ∈ 4 π 2 π ρ θ 0 ρ 0 θ 0 ρ ρ θ 0 θ 3 π ∠ 6 π ∠ 3 π θ 1 2 ∆ 3 π θ ρ 3 π θ 3 2 ρ θ 1 2 ρ θ ρ θ ∆ θ θ ρ θ ⊥ θ ∈ 4 π 2 π ρ θ θ ∈ 4 π 2 π θ θ α θ α 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③ 线段中点的定义与性质。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法，就可得到曲线 C 和直线 l 的 普通方程；（2）联立直线 l 参数方程和曲线 C 的普通方程，得到关于 t 的一元二次方程， 运用设而不求，整体代入的数学思想得到 + ， . 关于 的式子，根据线段的中 点的性质得到关于 方程，求解方程求出 tan 的值，从而求出直线 l 的斜率。 【详细解答】（1） 曲线 C 的参数方程为： x=2cos ，（ 为参数）， = cos ， y=4sin =sin ， 曲线 C 的普通方程是： + =1； 直线 l 参数方程为：x=1+tcos （t 为参数）， y= 2+tsin ，①当 cos 0 时， = =tan ， y-2= tan (x-1)， 直线 l 的普通方程是：xtan -y+2- tan =0；②当 cos =0 时，直线 l 的普通方程是：x=1， 当 cos 0 时，直 线 l 的普通方程是：xtan -y+2- tan =0；当 cos =0 时，直线 l 的直角坐标方程是： x=1；（2）联立直线 l 参数方程和曲线 C 普通方程 x=1+tcos ，得：4 y=2+tsin ，+ =16， + =1， （1+3 cos ） +（8 cos + 4 sin ）t-8=0， + =- ， . =- ， 直线 l 与曲线 C 相交所得线段的中点为（1，2），①当 cos 0 时， + =0， 2cos +sin =0， tan =-2， 直线 l 的斜率 k=-2；②当 cos =0 时，直线 l 的斜率  ∴ ∴  ∴ ⇒ ∴ ∴ ⇒   ∴ ⇒ ∴ 1t 2t 1t 2t α α α θ θ 2 4 x 2 θ θ 2y 16 2 θ 2 4 x 2y 16 α α α ≠ y-2 1x − sin cos t t α α α α α α α α ≠ α α α α 2(1 cos )t α+ α 2(2 sin )t α+ 2 4 x 2y 16 2 α 2t α α 1t 2t 2 4(2cos sin ) 1 3cos α α α + + 1t 2t 2 8 1 3cos α+ α ≠ 1t 2t α α α α k 不存在， 当 cos 0 时，直线 l 的斜率 k=-2；当 cos =0 时，直线 l 的斜率 k 不 存在。 5、在平面直角坐标系 XOY 中， O 的参数方程为 x=cos ，（ 为参数），过点（0， y=sin ，- ）且倾斜角 ）的直 线 l 与 O 交于 A，B 两点（2018 全国高考新课标 III 卷）。 （1）求 的取值范围； （2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②直线与圆相交的定义于性质；③直线倾斜 角的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤求点轨迹方程基本求法。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件得到 O 的普 通方程，根据直线与圆相交的性质得到关于倾斜角为 式子，从而求出倾斜角 的取值 范围； （2）①当 = 时，由直线 l 过点（0，- ），直线 l 的方程是：X=0，由 x=0，得： =1， A（0，1），B（0，-1）， P（0，0）；②当 时，联立直 线 l 的普通方程和圆的普通方程得到关于 x 的一元二次方程，根据设而不求，整体代入 的数学思想得到 + ， . 关于 的式子，从而求出 + ，得到点 P 关于 的坐 标，就可得到点 P 轨迹的参数方程。 【详细解答】（1） O 的参数方程为 x=cos ，（ 为参数）， = cos ， y=sin ， = sin ， + = cos + sin =1， O 的普通方程为： + =1， 直线 l 过点（0， - ），倾斜角为 ，①当 时，直线 l 的方程为：x tan -y- =0， 直线 l ∴ ⇒ ⇒ ∴  ∴ ⇒ ∴   α ≠ α Θ θ θ θ 2 α Θ α Θ α α α 2 π 2 2y α ≠ 2 π 1x 2x 1x 2x α 1y 2y α Θ θ θ 2x 2 θ θ 2y 2 θ 2x 2y 2 θ 2 θ Θ 2x 2y 2 α α ≠ 2 π α 2 与 O交于A，B两点， = 1， tan >1或tan