2020年高考数学学霸纠错笔记:数列
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2020年高考数学学霸纠错笔记:数列

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资料简介
忽略了 n 的取值 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式 . 【错解】由 ,可得 两式相除可得 . 【错因分析】 仅适用于 且 时的情况,故不能就此断定 就是 数列 的通项公式. 【试题解析】当 时, ;当 时,由 ,可得 两式相除可 得 ,故 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法 (1)形如 an+1=anf(n),常用累乘法,即利用恒等式 an=a1·a2 a1·a3 a2·…· an an-1求通项公式. (2)形如 an+1=an+f(n),常用累加法.即利用恒等式 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)求通项 公式. (3)形如 an+1=ban+d(其中 b,d 为常数,b≠0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造 an+1+x=b(an +x)(其中 x= d b-1),则{an+x}是公比为 b 的等比数列,利用它即可求出 an. (4)形如 an+1= pan qan+r(p,q,r 是常数)的数列,将其变形为 1 an+1=r p· 1 an+q p. 若 p=r,则{ 1 an }是等差数列,且公差为q p,可用公式求通项; 若 p≠r,则采用(3)的办法来求. (5)形如 an+2=pan+1+qan(p,q 是常数,且 p+q=1)的数列,构造等比数列.将其变形为 an+2-an+ 1=(- q)·(an+1-an),则{an-an-1}(n≥2,n∈N*)是等比数列,且公比为-q,可以求得 an-an-1=f(n), 然后用累加法求得通项. (6)形如 a1+2a2+3a3+…+nan=f(n)的式子, 由 a1+2a2+3a3+…+nan=f(n),① 得 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=f(n-1),② { }na 3 1 2 3 = ( )na a a a n n∈ *NL { }na na 3 1 2 3 =na a a a nL 3 1 2 3 1=( 1) ,na a a a n− −L 3 3= ( 1)n na n − 3 1 2 3 1=( 1)na a a a n− −L n∈ *N 2n > 3 3= ( 1)n na n − { }na 1n = 1 1a = 2n ≥ 3 1 2 3 =na a a a nL 3 1 2 3 1=( 1) ,na a a a n− −L 3 3= ( 1)n na n − 3 3 1, 1 ., 1,( 1) n n a n n nn = =  > ∈ − *N再由①-②可得 an. (7)形如 an+1+an=f(n)的数列,可将原递推关系改写成 an+2+an+1=f(n+1),两式相减即得 an+2-an=f(n +1)-f(n),然后按奇偶分类讨论即可. (8)形如 an·an+1=f(n)的数列,可将原递推关系改写成 an+2·an+1=f(n+1),两式作商可得 ,然后分奇、偶讨论即可. (9)an+1-an=qan+1an(q≠0)型,将方程的两边同时除以 an+1an,可构造一个等差数列. 具体步骤:对 an+1-an=qan+1an(q≠0)两边同时除以 an+1an,得到 1 an- 1 an+1=q,即 1 an+1- 1 an=-q, 令 bn= 1 an,则{bn}是首项为 1 a1,公差为-q 的等差数列. (10)an=pa rn-1(n≥2,p>0)型,一般利用取对数构造等比数列. 具体步骤:对 an=pa rn-1两边同取常用对数,得到 lg an=rlg an-1+lg p,令 bn=lg an,则{bn}可归为 an+ 1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型. 1.已知数列 的前 项和为 ,数列 满足 ,则 _____________. 【答案】 【 解 析 】 当 时 , , 因 为 , 两 式 相 减 得 , 所以当 时, ,又 不符合上式,所以 , 因为 ,所以 . 【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式,其中正确理解由数列的前 n 项和 Sn,求通项公式的 2 ( 1) ( ) n n a f n a f n + += { }na n 2 1nS n= + { }nb 2 1n n b a = + nb = 2 , 13 1 , 2 n nn  =  ≥ 1n = 1 1= =2a S 2 2 11, ( 1) 1( 2)n nS n S n n−= + = − + ≥ 1 2 1( 2)n n na S S n n−= − = −  2n ≥ 2 1na n= − 1=2a 2 1 2 1 2n na n n ==  − , ,  2 1n n b a = + 2 , 13 1 , 2 n n b nn  ==   ≥方法: 和步骤是解答本题的关键.由已知中 的前 项和 , 结合 ,分别讨论 时与 时的通项公式,并由 时, 的值不满足 时的通项公式,故要将数列 的通项公式写成分段函数的形式. 忽略数列中为 0 的项 设等差数列 的前 n 项和为 ,公差为 d,且满足 , ,则当 最大时, __________. 【错解】由 ,得 ,即 ,由 可知 ,解不等 式组 即 得 .又 ,故当 时 最大. 【 错 因 分 析 】 由于 ,所以 ,当 或 时 最大,错解中忽略了数列中为 0 的 项. 【试题解析】 【正解 1】由 ,得 ,即 ,由 可知 ,解不等式组 即 得 .故当 或 时 最大. 【正解 2】由 ,可得 ,所以 ,由 并结合 对应的二次函数的图象知,当 或 时 最大. 【正解 3】由 ,得 ,即 , ,由 可知 ,故当 或 时 最大. 数列是特殊的函数关系,因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1.等差数列的前 n 项和与函数的关系 等差数列的前 n 项和公式为 可变形为 Sn= d 2n2+(a1- d 2)n,令 A= d 2,B=a1- d 2,则 Sn 1 1 1 2n n n S na S S n− = −  ≥ = , , { }na n 2 3 2nS n n= − + 1 1 1 2n n n S na S S n− = −  ≥ = , , 2n ≥ 1n = 1n = 1a 2n ≥ { }na { }na nS 1 0a > 11 18S S= nS n = 11 18S S= 1 1 11 10 18 1711 + 182 2a d a d × ×= + 1= 14a d− 1 0a > 0d < 1 1 1 ( 1) 0,0 n n a a n d a a nd+ = + − ≥  = + 0d < 14n = 15n = nS 1 ( 1) 2n n nS na d −= +=An2+Bn. 当 A≠0,即 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次函数,(n,Sn)在二次函数 y=Ax2+Bx 的图象上,为抛物线 y= Ax2+Bx 上一群孤立的点.利用此性质可解决前 n 项和 Sn 的最值问题. 2.等差数列前 n 项和的最值 (1)若等差数列的首项 a1>0,公差 d0,d ( )p qS S p q= ≠ p q+ ⇒ 2 p qn += nS p q+ ⇒ 1 2 p qn + −= 1 2 p q+ + nS { }na 1 2a = 10 15S = 2 4 8 2nnB a a a a= + + + + n = nB { }na 1 2a = 10 15S = 10 1 10 910 152S a d ×∴ = + = 20 45 15d+ = 45 5d = − 1 9d∴ = − ( )1 1 192 19 9 9na n n= − − = − + 1 19 09 9na n= − + = 19n = 19 0a = 19n > 0na < 19, 0nn a< > 2 4 8 2, , , na a a a 4n ≤ 2 0na > 5n ≥ 2 0na < 4n = nB 4 n n n n nS 2An Bn= + 2 Bn A = − 2 Bn A = − n nS 0na ≥ 1 0na + ≤ nS n忽视奇数项或偶数项的符号 在等比数列 中, ,求 的值. 【错解】因为 为等比数列,所以 ,由 可得 ,故 .【错因分析】错解中忽略了在等比数列中,奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件. 【试题解析】因为 为等比数列,所以 ,由 可得 ,故 .又在等比数列中,所有的奇数项的符号相同,所以 ,所以 . 1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况. 2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊情 形而导致解题失误. 4.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 未必成等比数列(例如:当公比 q=-1 且 n 为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 不成 等比数列;当 q≠-1 或 q=-1 且 n 为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列),但等式(S2n-Sn)2= Sn·(S3n-S2n)总成立. 3.设数列 的前 n 项和为 .已知 ,且 . (1)证明: ; (2)求 . 【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】(1)由条件,对任意 ,有 , 因而对任意 , ,有 ,. 两式相减,得 ,即 , 又 ,所以 . { }na 2 4 6 8 25a a a a = 1 9a a { }na 1 9 2 8 4 6a a a a a a= = 2 4 6 8 25a a a a = 2 1 9( ) 25a a = 1 9 5a a = ± { }na 1 9 2 8 4 6a a a a a a= = 2 4 6 8 25a a a a = 2 1 9( ) 25a a = 1 9a a = 5± 1 9 0a a > 1 9 5a a = { }na nS 1 2=1, =2a a 1 * 2 ,=3 3nn na S S n+ + +− ∈N 2 3n na a+ = na 1 12 12 3 , 2 3 n n n na n + − −  =   × , 是偶数 是奇数 *n∈N +2 +1=3 +3n n na S S− *n∈N 2n +1 1=3 3n n na S S− − + +2 +1 +1=3n n n na a a a− − 2 3 , 2n na a n+ = ≥ 1 2=1, =2a a ( )3 1 2 1 1 2 13 3 3 3=3a S S a a a a= − + = − + +故对一切 , . (2)由(1)知, ,所以 ,于是数列 是首项 ,公比为 3 的等比数列;数列 是首项 ,公比为 3 的等比数列. 所以 . ∴ . 应用等比数列性质时的注意点 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则 am·an =ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而 不求思想的运用. 忽视 q=1 致错 在数列 中,若 ,求 的前 n 项和 . 【错解】 . 【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于 1 的讨论;此外,还需讨论相关数列是否 为等比数列. 【试题解析】当 时, ,所以 ; 当 时, ,所以 ; 当 时, . *n∈N 2 3n na a+ = 0na ≠ 2 3n n a a + = { }2 1na − 1 1a = { }2na 1 2a = 1 1 2 1 23 , 2 3n n n na a− − − = = × 1 12 12 3 , 2 3 n n n na n + − −  =   × , 是偶数 是奇数 { }na 2 ( 0)n n na m m m= − ≠ { }na nS 1 2 3n nS a a a a= + + + + 2 4 2 2( ) ( )n na a a a a a= + + + − + + +  2 2 2 (1 ) (1 ) 1 1 n na a a a a a − −= −− − 1m = 0na = 0nS = 1m = − 2 1m = (1 ) 1 ( 1) 1 2 n n n m mS n nm − − −= − = +− 1m ≠ ± 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 1 n n n m m m mS m m − −= −− −综上, . 1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为 1 进行讨论. 2.在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号;结论中形如 an,an+1 的式子应进行合并. 3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项则后剩多少项. 4.各项均为正数的数列 的首项 ,前 项和为 ,且 . (1)求 的通项公式; (2)若数列 满足 ,求 的前 项和 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)因为 ,① 所以当 时, ,② 得: ,即 , 因为 的各项均为正数, 所以 ,且 , 所以 . 由①知, ,即 , 又因为 , 所以 , 2 2 2 0, 1 1 ( 1) , 12 (1 ) (1 ) , 11 1 n n n n m S n m m m m m mm m   =  − −= + = −   − −− ≠ ± − − { }na 1 1a λ= n nS 2 1 1n n nS S aλ+ ++ = { }na { }nb n n nb aλ= { }nb n nT n na λ= ( ) 2 2 , 12 1 , 0, 111 n nn n n T n λ λ λ λ λλλ  + ==  − − > ≠− − 2 1 1n n nS S aλ+ ++ = 2n ≥ 2 1n n nS S aλ−+ = −① ② 2 2 1 1n n n na a a aλ λ+ ++ = − ( )( )1 1 1n n n n n na a a a a aλ+ + ++ = + − { }na 1 0n na a+ + > 0λ > 1 1 n na a λ+ − = 2 2 1 2S S aλ+ = 2 1 2 22a a aλ+ = 1 1a λ= 2 2a λ=所以 . 故 , 所以数列 是首项为 ,公差为 的等差数列. 所以 . (2)由(1)得 , 所以 , 所以 ,③ ,④ ,得 , 当 且 时, ,解得 ; 当 时,由③得 ; 综上,数列 的前 项和 . 【名师点睛】(1)本题主要考查数列前 n 项和公式,考查等差数列的通项的求法,考查错位相减求和, 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)数列 ,其中 是等差数列, 是等比数列,则采用错位相减法. 1.数列求和,一般应从通项入手,若通项未知,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关 或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. 2.解决非等差、非等比数列的求和,主要有两种思路 (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减 来完成; (2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 2 1 1a a λ− = ( )* 1 1 n na a nλ+ − = ∈N { }na 1 λ 1 λ ( )1 11n na nλ λ λ= + − = n na λ= 1n nb n λ −= ⋅ ( )2 2 11 2 3 1 n n nT n nλ λ λ λ− −= + + + + − + ( )2 3 12 3 1 n n nT n nλ λ λ λ λ λ−= + + + + − + −③ ④ ( ) 2 11 1 n n nT nλ λ λ λ λ−− = + + + + − 0λ > 1λ ≠ ( ) 11 1 n n nT n λλ λλ −− = −− ( )2 1 11 n n n nT λ λ λλ −= − −− 1λ = ( ) ( ) 211 2 3 1 2 2n n n n nT n n + += + + + + − + = = { }nb n ( ) 2 2 , 12 1 , 0, 111 n nn n n T n λ λ λ λ λλλ  + ==  − − > ≠− − { }·n nb c { }nb { }nc1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项,通常也叫做首项,排在第 二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项.所以,数列的一般形式可 以写成 简记为 . 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 有穷数列 项数有限的数列,如数列 1,2,3,4,5,7,8,9,10按项的个 数 无穷数列 项数无限的数列,如数列 1,2,3,4,… 递增数列 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项,如数列 1,3,5,7,9,… 递减数列 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项,如数列 10,9,8,7,6,5,… 常数列 各项都相等的数列,如数列 2,2,2,2,… 按项的变 化趋势 摆动数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,如 1,2,1,2 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数,如-1,1,-1,1,-1,1,…按项的有 界性 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它,如 2,4,6,8,10,… 3.数列的表示方法 (1)列举法:将数列中的每一项按照项的序号逐一写出,一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况. (2)解析法:主要有两种表示方法, ①通项公式:如果数列 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式,即 . ②递推公式:如果已知数列 的第一项(或前几项),且任一项 与它的前一项 (或前几项)间 的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. (3)图象法:数列是特殊的函数,可以用图象直观地表示.数列用图象表示时,可以以序号为横坐标, 相应的项为纵坐标描点画图.由此可知,数列的图象是无限个或有限个孤立的点. 4.数列的前 n 项和与通项的关系 数列的前 n 项和通常用 表示,记作 ,则通项 . 若当 时求出的 也适合 时的情形,则用一个式子表示 ,否则分段表示. 5.等差数列与一次函数的关系 1 2 3, , , , , ,na a a aL L { }na { }na ( )na f n= { }na na 1na − nS 1 2n nS a a a= + + + 1 1, 2n n n Sa S S n− =  − ≥ 2n ≥ na 1n = na由等差数列的通项公式 ,可得 . 令 , ,则 ,其中 , 为常数. (1)当 时, 在一次函数 的图象上,数列 的图象是直线 上均匀 分布的一群孤立的点,且当 时数列 为递增数列,当 时数列 为递减数列. (2)当 时, ,等差数列为常数列,数列 的图象是平行于 x 轴的直线(或 x 轴)上均 匀分布的一群孤立的点. 6.等差数列的前 n 项和 首 项 为 , 末 项 为 , 项 数 为 n 的 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 : . 令 , ,可得 ,则 当 ,即 时, 是关于 n 的二次函数,点 是函数 的图象上一系列孤立 的点; 当 ,即 时, 是关于 n 的一次函数 ,即 或常函数 ,即 , 点 是直线 图象上一系列孤立的点. 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前 n 项和的相关问题. 7.用前 n 项和公式法判定等差数列 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法:若数列 的前 n 项和 ,那么当且仅当 时,数列 是以 为首项, 为公差的等差数列; 当 时,数列 不是等差数列. 8.等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为 的等差数列 具有如下性质: (1)通项公式的推广: , . (2)若 ,则 . 特别地,①若 ,则 ; ②若 ,则 . ③有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,都等于首末两项的和,即 1 ( 1)na a n d= + − 1( )na dn a d= + − p d= 1q a d= − na pn q= + p q 0p ≠ ( , )nn a y px q= + { }na y px q= + 0d > { }na 0d < { }na 0p = na q= { }na 1a na { }na 1 1 ( ) ( 1)= =2 2 n n n a a n nS na d + −+ 2 dp = 1 2 dq a= − 2 nS pn qn= + ① 0p ≠ 0d ≠ nS ( , )nn S 2=y px qx+ ② 0p = 0d = nS ( 0q ≠ 1 0)a ≠ ( 0q = 1 0)a = ( , )nn S y qx= { }na 2 nS an bn c= + + 0c = { }na a b+ 2a 0c ≠ { }na d { }na ( )n ma a n m d= + − ,m n∈ *N m n p q+ = + qpnm aaaa +=+ ( , )m n, p,q∈ *N 2m n p+ = 2m n pa a a+ = ( , )m n, p∈ *N m n t p q r+ + = + + m n t p q ra a a a a a+ + = + + ( , )m n, p,q,t,r ∈ *N (3)下标成等差数列的项 组成以 md 为公差的等差数列. (4)数列 是常数 是公差为 td 的等差数列. (5)若数列 为等差数列,则数列 是常数 仍为等差数列. (6)若 ,则 . 9.与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式易得等差数列的前 n 项和具有如下性质: 设等差数列 (公差为 d)和 的前 n 项和分别为 , (1)数列 是等差数列,首项为 ,公差为 . (2) 构成公差为 的等差数列. (3)若数列 共有 项,则 , . (4)若数列 共有 项,则 , . (5) , . 10.等比数列的性质 若数列 是公比为 的等比数列,前 n 项和为 ,则有如下性质: (1)若 ,则 ;若 ,则 . 推广: 若 ,则 . (2)若 成等差数列,则 成等比数列. (3)数列 仍是公比为 的等比数列; 数列 是公比为 的等比数列; 数列 是公比为 的等比数列; 1 2 1 1 .n n i n ia a a a a a− + −+ = + = = + =L L 2, , ,k k m k ma a a+ + L { }( ,nta tλ λ+ ) { }nb { }n nta bλ± ( ,t λ ) ,p qa q a p= = 0p qa + = { }na { }nb ,n nS T { }nS n 1a 1 2 d 2 3 2 ( 1), , , , ,k k k k k mk m kS S S S S S S −− − −L L 2k d { }na 2n S S nd− =奇偶 1 n n S a S a + =奇 偶 { }na 2 1n − S S− =奇 偶 na ( ,1 n S n S naS n = =− 奇 奇 偶 ( 1) )nS n a= −偶 2 1 2 1 n n n n S a T b − − = 2 1 2 1 2 1 2 1 m m n n S am T n b − − −= ⋅− { }na q nS m n p q+ = + m n p qa a a a= 2m n r+ = 2 ( , )m n ra a a m n, p,q,r= ∈ *N 1 2 1 1 ;n n i n ia a a a a a− + −= = =① L L ② m n t p q r+ + = + + m n t p q ra a a a a a= , ,m n p , ,m n pa a a { }( 0)na ≠λ λ q 1{ } na 1 q { }| |na | |q若数列 是公比为 的等比数列,则数列 是公比为 的等比数列. (4) 成等比数列,公比为 . (5)连续相邻 项的和(或积)构成公比为 或 的等比数列. (6)当 时, ;当 时, . (7) . (8)若项数为 ,则 ,若项数为 ,则 . (9)当 时,连续 项的和(如 )仍组成等比数列(公比为 , ).注意:这里连续 m 项的和均非零. 11.求和常用方法 方法 1→错位相减法求和的注意点 在运用错位相减法求数列前 n 项和时要注意四点: ①乘数(式)的选择; ②对公比 q 的讨论(是否为 1); ③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律; ④相消项中构成数列的项数. 方法 2→裂项相消法求和的注意点 在应用裂项相消法求和时应注意: (1)把通项裂项后,是否恰好等于相应的两项之差; (2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,是否还有其他项. 方法 3→求和方法——分组求和法的解题步骤 利用分组求和法解题的步骤: ①根据通项公式的特征准确拆分,将其分解为可以直接求和的一些数列的和; ②分组求和,分别求出各个数列的和; ③得出结论,对拆分后每个数列的和进行组合,解决原数列的求和问题. 1.已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15,且 ,则 A.16 B.8 { }nb q' { }n na b qq' 2 3, , , ,k k m k m k ma a a a+ + + L mq k (kq 2 )kq 1q = n m S n S m = 1q ≠ ± 1 1 n n m m S q S q −= − m n n m m n n mS S q S S q S+ = + = + 2n S qS =偶 奇 2 1n + 1S a qS − =奇 偶 1q ≠ − m 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S− −  mq 2m ≥ { }na 5 3 13 4a a a= + 3a =C.4 D.2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 ,则 , 解得 , ,故选 C. 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 2.记 为等差数列 的前 n 项和.已知 ,则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题知, ,解得 ,∴ , ,故选 A. 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用 等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做 了判断. 3.已知数列 满足 ,则 A.10 B.20 C.100 D.200 【答案】C 【解析】因为 ,所以数列 是以 为首相, 为公差的等差数列, ,所以 ,则 . 【名师点睛】本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式,属于一般题. 4.等比数列 的各项均为正数,且 ,则 A. B. C. D. 【答案】B q 2 3 1 1 1 1 4 2 1 1 1 15 3 4 a a q a q a q a q a q a  + + + =  = + 1 1, 2 a q =  = 2 3 1 4a a q∴ = = nS { }na 4 50 5S a= =, 2 5na n= − 3 10na n= − 22 8nS n n= − 21 22nS n n= − 4 1 5 1 4 4 3 02 4 5 dS a a a d  = + × × =  = + = 1 3 2 a d = −  = 2 5na n= − 2 4nS n n= − }{ na 1 11, 1n na a a+= − = 10a = 1 11, 1n na a a+= − = { }na 1 1 ( )1 1 1na n n= + − × = 10 10a = 10 100a = { }na 54 4a a = 2 1 2 82 2log log loga a a+ +…+ = 7 8 9 10【解析】根据题意,等比数列 的各项均为正数,且 , 则有 , 则 , 故选 B. 5.已知数列 的前 项和为 ,且 , ,则 A.200 B.210 C.400 D.410 【答案】B 【解析】由题 , ,又因为 , 所以当 时,可解的 , 当 时, ,与 相减得 , 当 为奇数时,数列 是以 为首相, 为公差的等差数列, , 当 为偶数时,数列 是以 为首相, 为公差的等差数列, , 所以当 为正整数时, , 则 , 故选 B. 【名师点睛】本题考查的知识点主要是数列通项公式的求法及应用,等差数列的前 项和公式的应用, 主要考查学生的运算能力和转化能力,属于一般题. 6.在数列{ }中,已知 , ,则 等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将等式 两边取倒数得到 , 是公差为 的等差 { }na 54 4a a = 1 8 2 7 3 6 4 5 4a a a a a a a a= = = = 4 2 1 2 2 2 8 2 1 2 3 4 5 6 7 8 2log log log log ( ) log 4a a a a a a a a a a a+ + + = = 8= }{ na n nS 1 1a = 12 n n nS a a+= 20S = 1 1a = 12 n n nS a a+= 1 1a S= 1n = 2 2a = 2n ≥ 1 12 n n nS a a− −= 12 n n nS a a+= 11 2n na a −+ − = n }{ na 1 2 2 1na n= − n }{ na 2 2 2na n= n na n= 20 1 2 3 20 210S = + + + + = n na 1 2a = 1 1 2 2 n n n aa a − − = + ( )2n ≥ na 2 1n + 2 n 3 n 3 1n + 1 1 2 2 n n n aa a − − = + 1 1 1 1 2n na a − = + 1 1 1 1 1= ,2n n na a a−  −     1 2数列, = ,根据等差数列的通项公式的求法得到 ,故 = . 故答案为 B. 【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法,数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系, 求 表达式,一般是写出 再作差得通项,但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用;还有构 造新数列的方法,取倒数,取对数的方法等. 7.已知数列 是递增数列,且对 ,都有 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵{an}是递增数列,∴an+1>an 恒成立, ∵an=n2+λn,∴(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn 恒成立,∴λ>﹣2n﹣1 对于 n∈N*恒成立. 而﹣2n﹣1 在 n=1 时取得最大值﹣3,∴λ>﹣3. 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式,解决恒成立问题.研究数列单调性的方法有: 比较相邻两项间的关系,将 an+1 和 an 作差与 0 比较,即可得到数列的单调性;研究数列通项即数列表达 式的单调性. 8.已知数列 满足 ( ),将数列 中的整数项按原来的顺序组成新数列 , 则 的末位数字为 A. B. C. D. 【答案】C 【 解 析 】 由 ( ) , 可 得 此 数 列 为 : , 的 整 数 项 为 ,∴数列 的各项依次为: ,末位数字分 1 1 a 1 2 ( )1 1 112 2 2n nna = + − × = na 2 n nS na na 1nS − { }na *n∈N 2 na n nλ= + λ 7 ,2  − +∞   ( )1,− +∞ ( )2,− +∞ ( )3,− +∞ { }na 5 1na n= − *n∈N { }na { }nb 2018b 8 2 3 7 5 1na n= − *n∈N 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, na 4, 9, 49, 64, 144, 169, { }nb 2,3,7,8,12,13,17,18别是 ,∵ ,故 的末位数字为 3,故选 C. 9.【2019 年高考浙江卷】设 a,b∈R,数列{an}满足 a1=a,an+1=an2+b, ,则 A. 当 B. 当 C. 当 D. 当 【答案】A 【解析】①当 b=0 时,取 a=0,则 . ②当 时,令 ,即 . 则该方程 ,即必存在 ,使得 , 则一定存在 ,使得 对任意 成立, 解方程 ,得 , 当 时,即 时,总存在 ,使得 , 故 C、D 两项均不正确. ③当 时, , 则 , . (ⅰ)当 时, , 则 , , , 则 , 2,3,7,8,2,3,7,8 2018 4 504 2= × + 2018b n ∗∈N 10 1 , 102b a= > 10 1 , 104b a= > 102, 10b a= − > 104, 10b a= − > 0,na n ∗= ∈N 0x 2 0 0 0x x b− + = 1 0 = =a a x 2 1n n na a b a+ = + = n ∗∈N 2 0a a b− + = 1 1 4 2 ba ± −= 1 1 4 102 b+ − ≤ 90b − 1 1 4 2 ba + −= 1 2 10 10a a a= =…= ≤ 0b > 2 2 1a a b b= + ≥ 2 2 3 2a a b b b= + ≥ + ( )22 2 4 3a a b b b b= + + + 1 2b = 22 4 5 1 1 1 17 11, 12 2 2 16 2a a    + + = > > +      ≥ 2 6 1 1 111 22 2 4a  > + + = >   2 7 1 92 2 2a > + = 2 8 9 1 83 102 2 4a  > + = >   2 9 8 1 102a a= + > , 故 A 项正确. (ⅱ)当 时,令 ,则 , 所以 ,以此类推, 所以 , 故 B 项不正确. 故本题正确答案为 A. 【名师点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步 讨论 的可能取值,利用“排除法”求解. 10.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展 做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每 一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频 率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为 ,所以 , 又 ,则 ,故选 D. 【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的 判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若 ( )或 ( ),数列 是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列 中, 且 ( ),则数列 是等比数列. 11.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 ,则 S4=___________. 2 10 9 1 102a a= + > 1 4b = 1= =0a a 2 2 3 1 1 1 1,4 4 4 2a a  = = + 0,q≠1. ∵ , 则 , ∴ 当且仅当 q3=2,即 时取等号. ∴S9−S6 的最小值为 20. 15.在数列 中,且 , ,则 的通项公式为__________. 【答案】 【解析】在数列 中, , , , , , 上式相加: . . 16.已知等差数列 ,若 , ,且 ,则公差 __________. 1 4 nS { }na 0na > 6 32 5S S− = 9 6S S− 2 3 6 3 6 5 4 3 2 1 12 (1 )( 1) 5S S a a a a a a a q q q− = + + − − − = + + − = 2 1 3 5(1 ) 1a q q q + + = − 3 2 3 2 6 6 9 8 7 1 39 6 3 5 ( 1) 2( 1) 1= (1 ) =51 1 q qa a a a q q q qqS S q − + − ++ + = + + = ×− −− 3 3 1=5 ( 1 2) 5 (2 2) 20,1q q × − + + ≥ × + =− 3 2q = { }na 1 1a = 1 2 1n na a n+ − = − { }na 2 2 2na n n= − + { }na 1 1a = 1 2 1n na a n+ − = − 2 1 2 1 1 1a a− = × − = 3 2 2 2 1 3a a− = × − = ⋅⋅⋅ ( )1 2 1 1 2 3n na a n n−− = × − − = − ( )1 1 2 3 12n na a n + −− = × − ( )2 21 1 2 2na n n n∴ = − + = − + { }na 2 4 2 3 6na a a a a+ + + = 1 3 2 1 3 5na a a a a−+ + + = 2 200nS = d =【答案】 或 【解析】若 ①, ②, ②-①得 . (1)若 ,显然 ,则 又 ,所以 ,解得 , 满足题意. (2)若 ,则 又 , ,得 , . 故答案为 0 或 6. 17.已知 是各项均为正数的等比数列, . (1)求 的通项公式; (2)设 ,求数列 的前 n 项和. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)设 的公比为q,由题设得 ,即 . 解得 (舍去)或q=4. 因此 的通项公式为 . (2)由(1)得 ,因此数列 的前n项和为 . 【名师点睛】本题考查数列的相关性质,主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法,考查等 差数列求和公式的使用,考查化归与转化思想,考查计算能力,是简单题. 18.已知等差数列 中, ,数列 满足 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ,求数列 的通项公式. 0 6 2 4 2 3 6na a a a a+ + + = 1 3 2 1 3 5na a a a a−+ + + = 3nd a d= 0d = 0na > 2 3 6 1 1a a a na⋅ = = , 2 200nS = 12 200na = 10n = 0d ≠ 3n a= , 5 6 200n a a∴ ⋅ + =( ) , 2 1 2200n nS n a a= = ⋅ +( ) 5 6 1 2 2 10 5na a a a n n∴ + = + ∴ = =, , , 3 10 3 85 5 200a S a a∴ = = + =, ( ) 8 35a = 6d∴ = { }na 1 3 22, 2 16a a a= = + { }na 2logn nb a= { }nb 2 12 n na −= 2n { }na 22 4 16q q= + 2 2 8 0q q− − = 2q = − { }na 1 2 12 4 2n n na − −= × = 2(2 1)log 2 2 1nb n n= − = − { }nb 21 3 2 1n n+ + + − = { }na 1 5 422, 15a +a = a = { }nb 24log 3,n nb a n ∗= − ∈N { }nb 1 2( 1)n nT nb n b b= + − + + { }nT【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)设等差数列 的公差为 , 由已知可得 ,解得 , , 又 , . (2)令数列 的前 项和为 . , . 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合,熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和 公式即可,属于常考题型. 19.设 , ,数列 满足: 且 . (1)求证:数列 是等比数列; (2)求数列 的通项公式. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】(1)由题意知: , 又 ,∴ , ∴ 是以 4 为首项, 2 为公比的等比数列. (2)由(1)可得 ,故 . , 12n nb −= nT = 12 2n n+ − − { }na d 1 1 1 4 22 3 15 a a d a d + + =  + = 1 3 4 a d =  = 4 1na n∴ = − 24log 3 4( 1)n nb a n= − = − 12n nb −∴ = { }nb n nS 1 2 1( 1) 2 nn nT nb n b b b−= + − + + + ( ) ( )1 1 2 1 2 nb b b b b b= + + + + + + + =  ( ) ( )2 1 2 (2 1) 2 1 2 1n nS S S+ + + = − + − + + −  ( ) ( )2 12 1 2 2 2 2 2 21 2 n nn n n n+ − = + +…+ − = − = − −− 1 2a = 2 4a = { }nb 1 2 2n nb b+ = + 1n n na a b+ − = { }2nb + { }na 1 *2 2 ( )n na n n+= − ∈N 1 2 2 2 2 22 2 n n n n b b b b + + + += =+ + 1 2 1 4 2 2b a a= − = − = 1 2 4b + = { }2nb + 12 4 2n nb −+ = ⋅ 12 2n nb += − 1n n na a b+ − =∴ , , , …… . 累加得: , , 即 . 而 ,∴ . 20.设 是等差数列, 是等比数列,公比大于 0,已知 . (1)求 和 的通项公式; (2)设数列 满足 求 . 【答案】(1) , ;(2) 【解析】(1)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 .依题意,得 解 得 故 . 所以, 的通项公式为 , 的通项公式为 . (2) 2 1 1a a b− = 3 2 2a a b− = 4 3 3a a b− = 1 1n n na a b− −− = 1 1 2 3 1n na a b b b b −− = + + + + ( ) ( ) ( ) ( )2 3 42 2 2 2 2 2 2 2 2n na = + − + − + − + + − ( ) ( ) 2 12 1 2 =2+ 2 11 2 n n −− − −− 12 2n n+= − ( )12 2 2n na n n+= − ≥ 1 1 1 2 2 2 1a += = − × 1 *2 2 ( )n na n n+= − ∈N { }na { }nb 1 1 2 3 3 23, , 4 3a b b a b a= = = = + { }na { }nb { }nc 2 1 n n n c b n =   , 为奇数, , 为偶数. * 1 1 2 2 2 2 ( )n na c a c a c n+ + + ∈N 3na n= 3n nb = 2 2(2 1)3 6 9 ( )2 nn n n + ∗− + + ∈N { }na d { }nb q 2 3 3 2 , 3 15 4 , q d q d = +  = + 3, 3, d q =  = 13 3( 1) 3 , 3 3 3n n n na n n b −= + − = = × = { }na 3na n= { }nb 3n nb = 1 1 2 2 2 2n na c a c a c+ + + ( ) ( )1 3 5 2 1 2 1 4 2 6 3 2n n na a a a a b a b a b a b−= + + + + + + + + +  . 记 则 ②−①得, . 所以, . 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识,考查数列 求和的基本方法和运算求解能力,属于中档题目. 1 2 3( 1)3 6 (6 3 12 3 18 3 6 3 )2 nn nn n − = × + × + × + × + × + + ×    ( )2 1 23 6 1 3 2 3 3nn n= + × + × + + × 1 21 3 2 3 3n nT n= × + × + + × , ① 2 3 13 1 3 2 3 3n nT n += × + × + + × , ② ( ) 1 2 3 1 13 1 3 (2 1)3 32 3 3 3 3 313 3 2 n n n nn n nT n n + + + − − += − − − × = − + × =− − + − 1 2 2 1 1 2 2 2 2 (2 1)3 33 6 3 3 2 n n n n na c a c a c n T n +− ++ + + = + = + × ( )2 2(2 1)3 6 9 2 nn n n + ∗− + += ∈N n

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