2020年高考数学学霸纠错笔记:导数及其应用
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2020年高考数学学霸纠错笔记:导数及其应用

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资料简介
不能正确识别图象与平均变化率的关系 A,B 两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量 与时间 t(天)的关系如 图所示,则一定有 A.两机关单位节能效果一样好 B.A 机关单位比 B 机关单位节能效果好 C.A 机关单位的用电量在 上的平均变化率比 B 机关单位的用电量在 上的平均变化率大 D.A 机关单位与 B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选 C. 因为在(0,t0)上, 的图象比 的图象陡峭,所以在(0,t0)上用电量的平均变化率,A 机关单位 比 B 机关单位大. 【错因分析】识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快 慢等要弄清. 【试题解析】由题可知,A 机关单位所对应的图象比较陡峭,B 机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量 在 上的平均变化率都小于 0,故一定有 A 机关单位比 B 机关单位节能效果好.故选 B. 【参考答案】B 1.平均变化率 函数 从 到 的平均变化率为 ,若 , ,则平 均变化率可表示为 . 2.瞬时速度 ( ) ( )1 2W t W t, 0[0 ]t, 0[0 ]t, ( )1W t ( )2W t 0[0 ]t, ( )y f x= 1x 2x 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x − − 2 1x x x∆ = − 2( )y f x∆ = − 1( )f x y x ∆ ∆一般地,如果物体的运动规律可以用函数 来描述,那么,物体在时刻 的瞬时速度 v 就是物体在 到 这段时间内,当 无限趋近于 0 时, 无限趋近的常数. 1.巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢 又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从 A 处到 B 处会感 觉比较轻松,而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡 峭程度吗? 【答案】见解析. 【解析】山路从 A 到 B 高度的平均变化率为 hAB= , 山路从 B 到 C 高度的平均变化率为 hBC= , ∴hBC>hAB, ∴山路从 B 到 C 比从 A 到 B 要陡峭的多. 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点 P(2,8)作曲线 的切线,则切线方程为 A. B. C. 或 D. 或 【错解】设 ,由定义得 f ′(2)=12, ∴所求切线方程为 ,即 . 【错因分析】曲线过点 P 的切线与在点 P 处的切线不同.求曲线过点 P 的切线时,应注意检验点 P 是否在 曲线上,若点 P 在曲线上,应分 P 为切点和 P 不是切点讨论. 【试题解析】①易知 P 点在曲线 上,当 P 点为切点时,由上面解法知切线方程为 . ( )s s t= t t t t+ ∆ t∆ s t ∆ ∆ 10 0 1 50 0 5 − =− 15 10 1 70 50 4 − =− 3y x= 12 16 0x y− − = 3 2 0x y− + = 12 16 0x y− + = 3 2 0x y− − = 12 16 0x y− − = 3 2 0x y− + = ( ) 3f x x= ( )8 12 2y x− = − 12 16 0x y− − = 3y x= 12 16 0x y− − =②当 P 点不是切点时,设切点为 A(x0,y0),由定义可求得切线的斜率为 . ∵A 在曲线上,∴ ,∴ ,∴ , ∴ ,解得 或 x0=2(舍去), ∴ ,k=3,此时切线方程为 y+1=3(x+1),即 . 故经过点 P 的曲线的切线有两条,方程为 或 . 【参考答案】D 1.导数的几何意义 函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线的斜率 . 2.曲线的切线的求法 若已知曲线过点 ,求曲线过点 P 的切线,则需分点 P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解: (1)当点 是切点时,切线方程为 ; (2)当点 不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标 P′(x1,f (x1)); 第二步:写出过 的切线方程为 ; 第三步:将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出 x1; 第四步:将 x1 的值代入方程 ,可得过点 的切线方程. 2.已知函数 ,则 A. B.1 C. D. 【答案】B 【解析】 , 2 03k x= 3 0 0y x= 3 20 0 0 8 32 x xx − =− 3 2 0 03 4 0x x− + = ( )( )2 0 01 2 0x x+ − = 0 1x = − 0 1y = − 3 2 0x y− + = 12 16 0x y− − = 3 2 0x y− + = ( )y f x= 0x x= 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))x f x k 0 0( ),P x y 0 0( ),P x y ( )0 0 0( )y y f x x x′− = − 0 0( ),P x y ( )1 1( )P x f x′ , ( ) ( )( )1 1 1y f x f x x x− = ′ − ( ) ( )( )1 1 1y f x f x x x− = ′ − 0 0( ),P x y 0( ) (2018 ln ), ( ) 2019f x x x f ' x= + = 0x = 2e ln 2018 e ( ) (2018 ln ),f x x x= + ( ) 2018 ln 1 2019 lnf ' x x x∴ = + + = +又因为 , 所以 , 解得 ,故选 B. 【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式,意在考查对基础知识的掌握与应 用,属于基础题. 在求曲线 的切线方程时,要注意区分是求某点处的切线方程,还是求过某点(不在曲线 上) 的切线方程,前者的切线方程为 ,其中切点 ,后者一般先设出切 点坐标,再求解. 不能准确把握导数公式和运算法则 求下列函数的导数: (1) ; (2) . 【错解】(1) ; (2) . 【错因分析】(1)求导是对自变量求导,要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x,a 是常量;(2) 商的求导法则是:分母平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以 分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】(1) ; (2) . 【参考答案】(1) ;(2) . 0( ) 2019f ' x = 02019 ln 2019x+ = 0 1x = ( )y f x= ( )f x ( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x− = ′ − ( )( )0 0,x f x 2 2( ) 2f x a ax x= + − sin( ) ln x xf x x = 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x′ ′= + − = + 2sin ( sin ) sin cos( ) ( ) sin cos1ln (ln ) x x x x x x xf x x x x xx x x ′ +′ ′= = = = +′ 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x′ ′= + − = − 2 2 sin ( sin ) ln sin (ln ) sin ln cos ln sin( ) ( )ln (ln ) ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x ′ ′⋅ − ⋅ + −′ ′= = = ( ) 2 2f x a x′ = − 2 sin ln cos ln sin( ) ln x x x x x xf x x + −′ =1.导数计算的原则 先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导. 2.导数计算的方法 ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; ③对数形式:先化为和、差的形式,再求导; ④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; 3.已知 ,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意有 ,故 ,所以选 D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数,考查复合函数的导数计算,考查函数除法的导数计 算,属于中档题. 区分复合函数的构成特征 求下列函数的导数: (1) ; (2) . 【错解】(1) ; (2) . 【 错 因 分 析 】 这 是 复 合 函 数 的 导 数 , 若 , 则 . 如 ( 1 ) 中 , , ,遇到这种类型的函数求导,可先整理再求 ( ) ln 2 xf x x = 1( )2f ' = 2 ln2− − 2 ln2− + 2 ln2− 2 ln2+ ( ) ( ) 1 21 12 2 2 ln2 2 x x xxf x x −⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ′ = 1 2 ln2 2 ln22 1f +  = ′ = + ( )22 1y x= + 2 2cosy x= ( )22 1y x′ = + 2sin 2 xy = − ( ) ( ),y f u u h x= = x u xy y u′ = ′ ⋅ ′ 2 2, 1y u u x= = + ( ) ( )2 22 2 2 1 2 4 1xy u x x x x x′ = ⋅ = + ⋅ = +导,或用复合函数求导公式求导. 【试题解析】解法一:(1)∵ ,∴ . (2)∵ ,∴ . 解法二:(1) . (2) . 【参考答案】(1) ;(2) . 1.求复合函数的导数的关键环节: ①中间变量的选择应是基本函数结构; ②正确分析出复合过程; ③一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; ④善于把一部分表达式作为一个整体; ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2.求复合函数的导数的方法步骤: ①分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量; ②求每一层基本初等函数的导数; ③每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数. 4.曲线 在点 处的切线方程是__________. 【答案】 【解析】 ,所以斜率为 ,切线方程为 审题不细致误 设函数 . ( )22 4 21 2 1y x x x= + = + + 34 4y x x′ = + 2 2 1 coscos 2 xy x += = 1 sin2y x′ = − ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 4 1y x x x x′ = + ⋅ + ′ = + 12cos cos 2cos sin sin2 2 2 2( ) ( ) (2 2)x x x x xy x′ = ⋅ ′ = ⋅ − ⋅ ′ = − ( )24 1y x x′ = + 1 sin2y x′ = − πsin 3y x = +   30, 2       2 3 0x y− + = πcos 3y x′  = +   π 1cos 0 3 2  + =   3 1 , 2 3 0.2 2y x x y− = − + = ( ) 2lnaf x ax xx = − −(1)若 ,求函数 的单调区间; (2)若 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【错解】(1)∵ ,∴ ,∴ . ∴ , 令 ,得 或 ,令 ,得 , ∴函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . (2)∵ 在定义域上为增函数,∴ 恒成立, ∵ ,∴ 恒成立, ∴ ,∴ ,即实数 a 的取值范围是 . 【错因分析】错解有多处错误:一是忽视了定义域的限制作用,研究函数一定要注意函数的定义域;二是 将单调区间取并集,函数的单调区间不要随意取并集;三是对不等式恒成立处理不当,对于自变量取值有 限制条件的恒成立问题要和自变量在 R 上取值的恒成立问题加以区分. 【试题解析】(1)由已知得x>0,故函数 的定义域为(0,+∞). ∵ , ∴ , ∴ . ∴ , 令 ,得 或 ,令 ,得 , ∴函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . (2)若 在定义域上是增函数,则 对 x>0 恒成立, ∵ , ( )2 0f ′ = ( )f x ( )f x ( ) 2 2af x a x x ′ = + − ( )2 1 04 af a′ = + − = 4 5a = ( ) ( )2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x ′ = + − = − + ( ) 0f x′ > 2x > 1 2x < ( ) 0f x′ < 1 22 x< < ( )f x 1 22( ) ( )−∞ + ∞, , 1( )2 2, ( )f x ( ) 0f x′ ≥ ( ) 2 2 2 2 2a ax x af x a x x x − +′ = + − = 2 2 0ax x a− + ≥ 2 0 4 4 0 a a > ∆ = − ≤ 1a ≥ [1, )+∞ ( )f x ( ) 2 2af x a x x ′ = + − ( )2 1 04 af a′ = + − = 4 5a = ( ) ( )2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x ′ = + − = − + ( ) 0f x′ > 2x > 1 2x < ( ) 0f x′ < 1 22 x< < ( )f x ( )10 2 )2( + ∞, , , 1( )2 2, ( )f x ( ) 0f x′ ≥ ( ) 2 2 2 2 2a ax x af x a x x x − +′ = + − =∴需 x>0 时 恒成立,即 对 x>0 恒成立. ∵ ,当且仅当 x=1 时取等号, ∴ ,即实数 a 的取值范围是 . 【参考答案】(1)函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;(2) . 用导数求函数 的单调区间的“三个方法”: 1.当不等式 (或 )可解时, ①确定函数 的定义域; ②求导数 ; ③解不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.当方程 可解时, ①确定函数 的定义域; ②求导数 ,令 ,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 的间断点(即 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间; ④确定 在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 3.当不等式 (或 )及方程 均不可解时, ①确定函数 的定义域; ②求导数并化简,根据 的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定 的符号; ③得单调区间. 2 2 0ax x a− + ≥ 2 2 1 xa x ≥ + 2 2 2 111 x x x x = ≤+ + 1a ≥ [1, )+∞ ( )f x ( )10 2 )2( + ∞, , , 1( )2 2, [1, )+∞ ( )f x ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )y f x′ = ′ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ = ( )y f x= ( )y f x′ = ′ ( ) 0f x′ = ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x′ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ = ( )y f x= ( )f x′ ( )f x′5.已知函数 ,其中 . (1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行,求 与 满足的关系; (2)当 时,讨论 的单调性; (3)当 时,对任意的 ,总有 成立,求实数 的取值范围. 【答案】(1) ;(2)①当 时, 在 上单调递增;②当 时, 在 和 上单调递增;在 上单调递减;当 时,函数 在 和 上单调递增;在 上单调递减;(3) . 【解析】(1)由题意,得 . 由函数 在点 处的切线与 平行,得 . 即 . (2)当 时, , 由 知 . ① 当 时, , 在 恒成立, ∴函数 在 上单调递增. ②当 时,由 ,解得 或 ; 由 ,解得 . 函数 在 和 上单调递增;在 上单调递减. ③当 时, ,解得 或 ; 由 ,解得 . 函数 在 和 上单调递增;在 上单调递减. (3)当 时, , ( ) 3 2 2f x x ax b x= + − ,a b∈R ( )y f x= ( )( )1, 1f 3 0y − = a b 0b = ( )f x 0, 1a b= = ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )exf x x k< + k 23 2 0a b+ − = 0a = ( )f x R 0a > ( )f x 2, 3 a −∞ −   ( )0,+∞ 2 ,03 a −   0a < ( )f x ( ),0−∞ 2 ,3 a − +∞   20, 3 a −   [ )2,− +∞ 2 2( ) 3 2f ' x x ax b= + − ( )f x ( )( )1, 1f 3 0y − = (1) 0f ' = 23 2 0a b+ − = 0b = 2( ) 3 2f ' x x ax= + ( ) 0f ' x = 24 0a∆ = ≥ 0a = 0∆ = ( ) 0f ' x ≥ R ( )f x R 0a > ( ) 0f ' x > 0x > 2 3x a< − ( ) 0f ' x < 2 03 a x− < < ( )f x 2, 3 a −∞ −   ( )0,+∞ 2 ,03 a −   0a < ( ) 0f ' x > 2 3x a> − 0x < ( ) 0f ' x < 20 3x a< < − ( )f x ( ),0−∞ 2 ,3 a − +∞   20, 3 a −   0, 1a b= = 3( )f x x x= −由 ,得 对任意的 恒成立. , , 在 恒成立. 设 ,则 , 令 ,则 , 由 ,解得 . 由 ,解得 ; 由 ,解得 . 导函数 在区间 上单调递增;在区间 上单调递减, , 在 上单调递减, , . 故所求实数 的取值范围 . 本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值,考查了不等式恒成立问题,属于 难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立 ( 即可);② 数形结合( 图象在 上方即可);③ 讨论最值 或 恒成立;④ 讨论参数,排除不合题意的参数范围,筛选出符合题意的参数范围. 极值的概念理解不透彻 已知 在 处有极值 ,则 ________. 【错解】 或 由题得, ,由已知得 解得 或 , 所以 等于 或 . ( ) ( )exf x x k< + ( )3 exx x x k− < + ( )0,x∈ +∞ 0x > 2 1 exx k∴ − < + 2 1 exk x∴ > − − ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )2 1 e , 0xg x x x= − − > ( ) 2 exg' x x= − ( ) 2 exh x x= − ( ) 2 exh' x = − ( ) 0h' x = ln2x = ( ) 0h' x > 0 ln2x< < ( ) 0h' x < ln2x > ∴ ( )g' x ( )0,ln2 ( )ln2,+∞ ( ) ( )ln2 2ln2 2 0g' x g'∴ ≤ = − < ∴ ( )g x ( )0,+∞ ( ) ( )0 2g x g∴ < = − 2k∴ ≥ − k [ )2,− +∞ ( )a f x≥ ( )maxa f x≥ ( )a f x≤ ( )mina f x≤ ( )y f x= ( )y g x= ( )min 0f x ≥ ( )max 0f x ≤ ( ) 3 2 2f x x ax bx a= + + + 1x = 10 a b+ = 7− 0 2( ) 3 2f x x ax b′ = + + 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b =  + + + = ∴ ′ = + + =  4 11 a b =  = − 3 3 a b = −  = a b+ 7− 0【错因分析】极值点的导数值为 0,但导数值为 0 的点不一定为极值点,错解忽视了“ 是 f(x)的极值点”的情况. 【试题解析】由题得, ,由已知得 解得 或 ,所以 等于 或 . 当 时, 在 x=1 两侧的符号相反,符合题意. 当 时, 在 x=1 两侧的符号相同,所以 不合题意,舍去. 综上可知, ,所以 . 【参考答案】 对于给出函数极大(小)值的条件,一定既要考虑 ,又要考虑在 两侧的导数值符号不同, 否则容易产生增根. 1.函数极值的判断:先确定导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号. 2.求函数 极值的方法: ①确定函数 的定义域. ②求导函数 . ③求方程 的根. ④检查 在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么 在这个根处取得极 大值,如果左负右正,那么 在这个根处取得极小值,如果 在这个根的左右两侧符号不变,则 在这个根处没有极值. 3.利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数 ,求方程 的根的情况,得关 于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围. 6.若 是函数 的极值点,则 的值为 ( )1 0 1f x′ = ≠> = 2( ) 3 2f x x ax b′ = + + 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b =  + + + = ∴ ′ = + + =  4 11 a b =  = − 3 3 a b = −  = a b+ 7− 0 4, 11a b= = − 2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x′ = + − = + − 3, 3a b= − = 2( ) 3( 1)f x x′ = − 3, 3a b= − = 4, 11a b= = − 7a b+ = − 7− ( )0 0f x′ = 0x x= ( )f x ( )f x ( )f x′ ( ) 0f x′ = ( )f x′ ( )f x ( )f x ( )f x′ ( )f x ( )f x′ ( ) 0f x′ = 1x = ( )3 2 21( ) ( 1) 33f x x a x a a x= + + − + − aA.−2 B.3 C.−2 或 3 D.−3 或 2 【答案】B 【解析】 ,由题意可知 , 或 , 当 时, , 当 时, ,函数单调递增;当 时, ,函数单调递减,显然 是函数 的极值点; 当 时, ,所以函数是 上的单调 递增函数,没有极值,不符合题意,舍去,故选 B. 【名师点睛】本题考查了已知函数的极值,求参数的问题.本题易错的地方是求出 的值,没有通过单调 性来验证 是不是函数的极值点,也就是说使得导函数为零的自变量的值,不一定是极值点. (1) 在 处有极值时,一定有 , 可能为极大值,也可能为极小值,应检验 在 两侧的符号后才可下结论; (2)若 ,则 未必在 处取得极值,只有确认 时, ,才 可确定 在 处取得极值. (3)在本题中,不要遗漏掉 这种特殊情况. 一、导数的概念及计算 1.导数的定义: . 2.导数的几何意义:函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线 的斜率 ,即 . ( ) ( ) ( ) ( )23 2 2 2( ) 2(1 3 1)1 33 f ' xf x x a x a a x ax x aa= + + − + − ⇒ + − += −+ (1) 0f ' = ( )2(1) 1 2( 1) 3 0 3f ' a a aa⇒ + −+ =− ⇒+ == 2a = − 3a = ( )2 22 3 8 9 ( 9)( 1)( ) 2( 1)f ' x x a x a a x x x x+ −= + + − = + − = + − 1, 9x x> < − ( ) 0f ' x > 9 1x− < < ( ) 0f ' x < 1x = ( )f x 2a = − ( )2 2 2 2( ) 2 3 2( 1 1 1)) ( 0a af ' x x a x x x x+ − = − ++ = −= + ≥− R a 1x = ( )f x 0x x= ( )0 0f x′ = ( )0f x ( )f x 0x x= ( )0 0f x′ = ( )f x 0x x= 1 0 2x x x< < ( ) ( )1 2 0f x f x⋅ < ( )f x 0x x= 3a = − 0 0 ( ) ( )( ) lim lim x x y f x+ x f xf x x x∆ → ∆ → ∆ ∆ −′ = =∆ ∆ ( )y f x= 0x x= ( )0f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))x f x k 0( )k f x′=求曲线 的切线方程的类型及方法 (1)已知切点 ,求 过点 P 的切线方程:求出切线的斜率 f ′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率为 k,求 的切线方程:设切点 ,通过方程 解得 x0,再 由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求 的切线方程:设切点 ,利用导数求得切线斜率 ,再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,最后由点斜式或两点式写出方程. (4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定切线的斜率, 再由 求出切点坐标 ,最后写出切线方程. (5)①在点 处的切线即是以 为切点的切线, 一定在曲线上. ②过点 的切线即切线过点 , 不一定是切点.因此在求过点 的切线方程时,应首先检验点 是 否在已知曲线上. 3.基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C 为常数) = f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ln x 4.导数的运算法则 (1) . ( )y f x= ( )0 0,P x y ( )y f x= ( )y f x= ( )0 0,P x y ( )0k f x= ′ ( )y f x= ( )0 0,P x y ( )0f x′ ( )0k f x= ′ ( )0 0,x y P P P P P P P P ( )f x′ 0 *( )= ( )nf x x n∈N 1 *( )= ( )nf x nx n−′ ∈N ( )=cosf x x′ ( )= sinf x x′ − ( ) ( 0 1)xf x a a > a= ≠且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a′ = ≠且 ( ) exf x = ( ) exf x′ = ( ) log ( 0 1)af x x a a= > ≠且 1( ) = ( 0 1) ln f x a a x a ′ > ≠且 1( )=f x x ′ ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x± ′  ′ ± ′=(2) . (3) . 5.复合函数的导数 复合函数 的导数和函数 的导数间的关系为 ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 二、导数的应用 1.函数的单调性与导数的关系 一般地,在某个区间(a,b)内: ①如果 ,函数 f (x)在这个区间内单调递增; ②如果 ,函数 f (x)在这个区间内单调递减; ③如果 ,函数 f (x)在这个区间内是常数函数. (1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号; (2)在某个区间内, ( )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件,而不是必 要条 件.例如,函数 在定义域 上是增函数,但 . (3)函数 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( )在(a,b)内恒成立,且 在 (a,b) 的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说,在区间内的个别点处有 ,不影响函数 在区间内 的单调性. 2.函数的极值与导数的关系 一般地,对于函数 , ①若在点 x= a 处有 f ′(a)= 0,且在点 x= a 附近的左侧 ,右侧 ,则称 x= a 为 f(x) 的极小值点; 叫做函数 f (x)的极小值. ②若在点 x=b 处有 =0,且在点 x=b 附近的左侧 ,右侧 ,则称 x= b 为 f(x)的 极大值点, 叫做函数 f (x)的极大值. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )·u x v x u x v x u x v x  ′ ′ ′= + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( ) u x u x v x u x v x v xv x v x ′ ′−′ = ≠ ( )( )y f g x= ( ) ( )y f u u g x= =, x u xy y u′ = ′⋅ ′ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )=0f x′ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < 3( )f x x= ( , )−∞ +∞ 2( ) 3 0f x x′ = ≥ ( )f x ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x′ ( ) 0f x′ = ( )f x ( )y f x= ( ) 0f ' x < ( ) 0f ' x > ( )f a ( )f ' b ( ) 0f ' x > ( ) 0f ' x < ( )f b③极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值. 3.函数的最值与极值的关系 ①极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间 的整体而言; ②在函数的定义区间 内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者 没有); ③函数 f (x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点; ④对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 求函数 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数 在(a,b)内的极值; ②将函数 的各极值与端点处的函数值 f (a),f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个 是最小值. 1.已知曲线 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 A. B.a=e,b=1 C. D. , 【答案】D 【解析】∵ ∴切线的斜率 , , 将 代入 ,得 . 故选 D. 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a,b 的等式,从而求解,属 于常考题型. 2.设函数 .若 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D [ , ]a b [ , ]a b ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= e lnxy a x x= + e 1a b= = −, 1e 1a b−= =, 1ea −= 1b = − e ln 1,xy a x′ = + + 1| e 1 2xk y a=′= = + = 1ea −∴ = (1,1) 2y x b= + 2 1, 1b b+ = = − 3 2( ) ( 1)f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= (0,0) 2y x= − y x= − 2y x= y x=【解析】因为函数푓(푥)是奇函数,所以푎 ― 1 = 0,解得푎 = 1,所以푓(푥) = 푥3 + 푥,푓′(푥) = 3푥2 +1, 所以푓′(0) = 1,푓(0) = 0, 所以曲线푦 = 푓(푥)在点(0,0)处的切线方程为푦 ― 푓(0) = 푓′(0)푥,化简可得푦 = 푥. 故选 D. 【名师点睛】该题考查的是有关曲线푦 = 푓(푥)在某个点(푥0,푓(푥0))处的切线方程的问题,在求解的过程中, 首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项, 从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得푓′(푥),借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式 求得结果. 3.已知曲线 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 A. B.a=e,b=1 C. D. , 【答案】D 【解析】∵ ∴切线的斜率 , , 将 代入 ,得 . 故选 D. 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a,b 的等式,从而求解,属 于常考题型. 4.设曲线 上任一点 处的切线斜率为 ,则函数 的部 分图象可以为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由函数的解析式可得 , 则 ,该函数为奇函数,选项 B、C 错误; e lnxy a x x= + e 1a b= = −, 1e 1a b−= =, 1ea −= 1b = − e ln 1,xy a x′ = + + 1| e 1 2xk y a=′= = + = 1ea −∴ = (1,1) 2y x b= + 2 1, 1b b+ = = − ( ) ( )2 1cosf x m x m= + ∈R ( ),x y ( )g x ( )2y x g x= ( ) ( )2 1sinf x m x m′ = − + ∈R ( ) ( )2 2 21 siny x g x m x x m= = − + ∈R又当 时, ,当 时, ,选项 A 错误; 本题选择 D 选项. 【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 5.函数 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题得 , , 令 ,解得 , 则当 时, 为减函数,当 时, 为增函数, 所以 处的函数值为最小值,且 . 故选 C. 【名师点睛】本题考查用导数求函数最值,解此类题首先确定函数的定义域,其次判断函数的单调性, 确定最值点,最后代回原函数求得最值. 6.定义在 上的函数 满足 , ,则关于 x 的不等式 的解 集为 A. B. C. D. 【答案】B πx = 0y = π 2x = 0y < 2 l( ) nf x x x= 1 e − 1 e 1 2e − 1 2e (0, )x∈ +∞ ( ) 2 ln (2ln 1)f x x x x x x′ = + = + 2ln 1 0x + = 1 2ex −= 1 2(0,e )x −∈ ( )f x 1 2(e , )x −∈ +∞ ( )f x 1 2ex −= 1 2 1(e ) 2ef − = − ( )0,+∞ ( )f x ( )2 1x f x′ > ( ) 52 2f = ( ) 1e 3 e x xf < − ( )20,e ( ),ln2−∞ ( )0,ln2 ( )2e ,+∞【解析】令 ,则 , ∵ ,∴ ,∴函数 在 上单调递增. 又 ,∴ . 结合题意,不等式 可转化为 ,即 , ∴ ,解得 ,原不等式的解集为 . 故选 B. 【名师点睛】对于含有导函数的不等式的问题,在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函 数,然后根据所给的不等式得到导函数的符号,进而得到构造的函数的单调性,再根据所构造的函数的 单 调 性 进 行 解 题 , 其 中 根 据 题 意 构 造 符 合 题 意 的 函 数 是 解 题 的 关 键 . 由 构 造 函 数 ,则有 ,从而得到函数 在 上单调递 增.又 ,所以不等式 可化为 ,根据函数 的单调性可得 ,于是可得所求结果. 7.已知定义在 上的函数 ,设两曲线 与 在公 共点处的切线相同,则 值等于 A.−3 B.1 C.3 D.5 【答案】D 【解析】设函数 在公共点(a,b)(a>0)处的切线相同, 由题得 所以 ,解之得 a=1,b=−4,m=5. 故答案为 D. 【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义,考查曲线的切线问题,意在考查学生对这些知识的掌握 ( ) ( ) 1 , 0g x f x xx = + > ( ) ( ) ( )2 2 2 11 x f xg x f x x x −= − = ′′ ′ ( )2 1x f x′ > ( ) ( )2 2 1 0x f xg x x −= ′ >′ ( ) ( ) 1g x f x x = + ( )0,+∞ ( ) 52 2f = ( ) ( ) 12 2 32g f= + = ( ) 1e 3 e x xf < − ( ) ( )1 1e 2e 2 x xf f+ < + ( ) ( )e 2xg g< 0 ( ) ( ) 1g x f x x = + ( ) ( )2 2 1 0x f xg x x −= ′ >′ ( ) ( ) 1g x f x x = + ( )0,+∞ ( ) ( ) 12 2 32g f= + = ( ) 1e 3 e x xf < − ( ) ( )1 1e 2e 2 x xf f+ < + ( )g x 00 时, ,解得 . 当 a1,因此函数在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增, 又 x=1 时, ;x=2 时,y=2;x= 0,y= 0,∴函数 ,x∈[0,2]的值域是 , 故 ,∴ ,故选 A. 10.函数 的图像大致为 【答案】D 【解析】函数图象过定点 ,排除 A,B; 令 ,则 , 由 得 ,得 或 ,此时函数单调递增, 由 得 ,得 或 ,此时函数单调递减,排除 C. 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单 调性是解决本题的关键. 3 3 0x x m− + = 3 3m x x− = − 3 3y x x= − 23 3y x′ = − 0y′ > 2y = − 3 3y x x= − [ ]2,2− [ ]2,2m− ∈ − [ ]2,2m∈ − 4 2 2y x x= − + + (0,2) 4 2( ) 2y f x x x= = − + + 3 2( ) 4 2 2 (2 1)f x x x x x′ = − + = − − ( ) 0f x′ > 22 (2 1) 0x x − < 2 2x < − 20 2x< < ( ) 0f x′ < 22 (2 1) 0x x − > 2 2x > 2 02 x− < 2 1a a< − ( )0,3 3, 1 3a a< ∴ < < 1a < 2 1a a> − ( )0,3 0, 0 1a a> ∴ < < 0 1 1 3a a< < < 1 2时函数单调递增, 从而得到函数的递减区间为 , 函数的递增区间为 , 所以当 时,函数푓(푥)取得最小值, 此时sin푥 = ― 3 2 ,sin2푥 = ― 3 2 , 所以푓(푥)min = 2 × ( ― 3 2 ) ― 3 2 = ― 3 3 2 , 故答案是 ― 3 3 2 . 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的 函数的求导公式,需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区 间,进而求得函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值. 15.已知函数 若方程 恰有两个不同的实数根 ,则 的最大值是 ______. 【答案】 【解析】作出函数 的图象如图所示, ( ) 2sin sin 2f x x x= + ( )f x ( )5π π2 π ,2 π3 3k k k − − ∈   Z ( )π π2 π ,2 π3 3k k k − + ∈   Z π2 π ,3x k k= − ∈Z 22 , 0,( ) e , 0,x x xf x x  ≤=  > 2[ ( )]f x a= 1 2,x x 1 2x x+ 3ln 2 2− ( )f x由 ,可得 , 即 , 不妨设 ,则 , 令 ,则 , , 令 ,则 , 当 时, , 在 上单调递增; 当 时, , 在 上单调递减, 当 时, 取得最大值,为 . 故答案为 . 【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系,考查了利用导数判断函数的单调性以及求函 数的极值与最值,属于难题.求函数 的极值与最值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导 数 ;(3)解方程 求出函数定义域内的所有根;(4)判断 在 的根 左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么 在 处取极大值,如果左负右正(左减右 增),那么 在 处取极小值.(5)如果只有一个极值点,则在该点处取得极值也是最值;(6) 如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小. 16.已知函数 f(x)=2sinx-xcosx-x,f ′(x)为 f(x)的导数. (1)证明:f ′(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若 x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求 a 的取值范围. ( ) 2f x a=   ( ) , 1f x a a= ∴ > 1a > 1 2x x< 22 12 exx a= = ( 1)a t t= > 1 2, ln2 tx x t= − = 1 2 ln 2 tx x t∴ + = − ( ) ln 2 tg t t= − 4 2( ) 4 tg t t −′ = ∴ 1 8t< < ( ) 0g t′ > ( )g t ( )1,8 8t > ( ) 0g t′ < ( )g t ( )8,+∞ ∴ 8t = ( )g t (8) ln8 2 3ln2 2g = − = − 3ln 2 2− ( )f x ( )f x′ ( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x ( )f x 0x ( )f x 0x【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】(1)设 ,则 . 当 时, ;当 时, ,所以 在 单调递增,在 单调递减. 又 ,故 在 存在唯一零点. 所以 在 存在唯一零点. (2)由题设知 ,可得a≤0. 由(1)知, 在 只有一个零点,设为 ,且当 时, ;当 时, ,所以 在 单调递增,在 单调递减. 又 ,所以,当 时, . 又当 时,ax≤0,故 . 因此,a的取值范围是 . 【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题. 对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题,通常采用构造函数的方式,将问题转变成 函数最值与零之间的比较,进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性,从而得到最值. 17.已知函数 .证明: (1) 存在唯一的极值点; (2) 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】(1) 的定义域为(0,+ ). . 因为 单调递增, 单调递减,所以 单调递增, ( ],0a∈ −∞ ( ) ( )g x f x′= ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x′= + − = π(0, )2x∈ ( ) 0g x′ > π ,π2x  ∈   ( ) 0g x′ < ( )g x π(0, )2 π ,π2      π(0) 0, 0, (π) 22g g g = > = −   ( )g x (0,π) ( )f x′ (0,π) (π) π, (π) 0f a f = ( )f x′ (0,π) 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )0 ,πx x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00, x ( )0 ,πx (0) 0, (π) 0f f= = [0,π]x∈ ( ) 0f x  0, [0,π]a x∈ ( )f x ax ( ,0]−∞ ( ) ( 1)ln 1f x x x x= − − − ( )f x ( )=0f x ( )f x ∞ 1 1( ) ln 1 lnxf x x xx x −′ = + − = − lny x= 1y x = ( )f x′又 , , 故存在唯一 ,使得 . 又当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. 因此, 存在唯一的极值点. (2)由(1)知 ,又 ,所以 在 内存在唯一根 . 由 得 . 又 , 故 是 在 的唯一根. 综上, 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 【名师点睛】本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的单调 性、极值,以及函数零点的问题,属于常考题型. 18.已知函数 . (1)讨论 的单调性; (2)当0 0 (1,2)x ∈ ( )0 0f x′ = 0x x< ( ) 0f x′ < ( )f x 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( )0 (1) 2f x f< = − ( )2 2e e 3 0f = − > ( ) 0f x = ( )0 ,x +∞ x α= 0 1xα > > 0 1 1 xα < < 1 1 1 1 ( )1 ln 1 0ff α α α α α α    = − − − = =       1 α ( ) 0f x = ( )00, x ( ) 0f x = 3 2( ) 2 2f x x ax= − + ( )f x ( )f x M m− 8[ ,2)27 2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a′ = − = − ( ) 0f x′ = 3 ax = ( ,0) ,3 ax  ∈ −∞ +∞   ( ) 0f x′ > 0, 3 ax  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,0), ,3 a −∞ +∞   0, 3 a     ( )f x ( , )−∞ +∞若 a ,03 ax  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x , ,(0, )3 a −∞ +∞   ,03 a     0 3a< < ( )f x 0, 3 a     ,13 a     ( )f x 3 23 27 a af   = − +   (0)=2f (1)=4f a− 3 227 am = − + 4 ,0 2, 2,2 3. a aM a − < + ∈N )(xf ln 1a a a− − 1=a 0, ( ) exa f x a′> = − ( ) e 0xf x a′ = − = ax ln= )ln,( ax −∞∈ 0)( ′ xf )(xf )ln,( a−∞ ),(ln +∞a )(xf ax ln= ln min( ) (ln ) e ln 1 ln 1af x f a a a a a a= = − − = − − 0)( ≥xf x∈R x∈R 0)( min ≥xf 1ln)( −−= aaaag 0)( ≥ag 0ln1ln1)( =−=−−=′ aaag 1=a )(ag )1,0( ),1( +∞ )(ag 1=a 0)1( =g 0)( ≥ag 1=a 1=a e 1x x≥ + xx ≤+ )1ln( 0=x *1 ( )x kk = ∈N 1 1ln(1 ),k k > + 1 1ln( )k k k +> 1 ln(1 ) ln ( 1,2, , )k k k nk > + − = ⋅⋅⋅ *1 1 11 ln( 1)( )2 3 n nn + + +⋅⋅⋅+ > + ∈N

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