九年级数学上册24.1圆垂径定理圆心角圆周角124.1.4圆周角课件(新人教版)
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九年级数学上册24.1圆垂径定理圆心角圆周角124.1.4圆周角课件(新人教版)

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时间:2020-12-23

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资料简介
第24章 24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角(1) 24.1.4 圆周角 • 1.理解圆周角定义,了解圆周角与圆心角的关系,会在具 体情景中辨别圆周角。 • 2.掌握圆周角定理及推论,并会运用这些知识进行简单的 计算和证明。 • 3.经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动 过程,体验圆周角定理的探究过程,培养合情推理能力、 逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力。 学习目标: 复习旧知:请说说我们是如何给圆心角下定义的,试回答? 顶点在圆心的角叫圆心角。 能仿照圆心角的定义,给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗? 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角. P P P P 不是 是 不是 不是 顶点不在 圆上。 顶点在圆上,两 边和圆相交。 两边不和圆相 交。 有一边和圆不相 交。 问题探讨: 判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理由。 有没有圆周角? 有没有圆心角? 它们有什么共同的特点? 它们都对着同一条弧 ⌒ ⌒ 画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置? 圆心在一边上 圆心在角内 圆心在角外 • 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关 系? ●O A B C ●O A B C ●O A B C 圆周角和圆心角的关系 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ●O A B C第二种情况:如果圆心不在圆周角的一边上,结果会 怎样? 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. A B C D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ●O A B C 第三种情况:如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, A B C 巩固练习: 如图,点A,B,C,D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个 内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角? A B C D 1 2 3 4 5 6 78 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 在同圆或等圆中,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 在同圆或等圆中, ·A B C1 O C2 C3 归纳: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半. 定理 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.  在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等 推论 2.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=__________。 O A B CBA O. 70° x 1.求圆中角X的度数 A O. X 120° A O. X 120° C C D B 练习: 在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对 弧一定相等吗?为什么? 在同圆或等圆中,如果两个圆周角相 等,它们所对的弧一定相等. B A C D E E ●O B D C A 规律:都相等,都等于圆心角∠AOC的一半 AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的 大小有什么关系? ⌒ 结论:同弧或等弧所对的圆周角相等。 •当球员在B,D,E处射门时,他所处 的位置对球门AC分别形成三个张 角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?. A B C D 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等. 则 ∠ D=∠A ∴AB∥CD 如图, 若 AC = BD ⌒ ⌒ 问题1:如图,AB是⊙O的直径,请问: ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 。 A BO C1 C2 C3 推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直90° 的圆周角所对的弦是直径。 问题2: 若∠C1、∠C2、∠C3是直角,那么 ∠AOB是 。 90° 180° 探究与思考: • 1、如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠AOC等 于( ) • A、50°; B、80°; C、90°; D、 100° A C B O D 2、如图,△ABC是等边三角形,动点P在圆周的劣弧 AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于( ) A、30°; B、60°;C、90°; D、45° C A B P B 练一练 • 3、如图,∠A=50°, ∠AOC=60 ° • BD是⊙O的直径,则∠AEB等于( ) • A、70°; • B、110°; • C、90°; • D、120° B A CB O DE 练一练 • 3、如图,∠A=50°, ∠AOC=60 ° • BD是⊙O的直径,则∠AEB等于( ) • A、70°; B、110°; • C、90°; D、120° B 4、如图,△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2, 则⊙O的半径是 。 A CB O DE C A B O 解:连接OA、OB ∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2,即半径为2。 2 3.已知⊙O中弦AB的等于半径, 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 O A B 圆心角为60度 圆周角为 30 度 或 150 度。  在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A  在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A 2、如图,在⊙O中,AB为直径,CB = CF, 弦CG⊥AB,交AB于D,交BF于E 求证:BE=EC ⌒⌒ 例: 如图,AB是⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的 平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长. 10 6 练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=_____. A BO C D 40° 5.如图,你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有多少种方法 ?与同学交流一下. D A B C O O O · 方法一 方法二 方法三 方法四 A B 例2 在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进 攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点(如图2).此时甲是自己 直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好? 分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂,这里仅用数学方法从 两点的静止状态加以考虑,如果两个点到球门的距离相差不大, 要确定较好的射门位置,关键看这两个点分别对球门MN的张 角大小,当张角较小时,则球容易被对方守门员拦截.怎样比较 A、B两点对MN张角的大小呢? 例2 在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点(如图2).此时甲是 自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好? 分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂,这里仅 用数学方法从两点的静止状态加以考虑,如果两 个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门 位置,关键看这两个点分别对球门MN的张角大 小,当张角较小时,则球容易被对方守门员拦截. 怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢? 解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一 圆,这里不妨作出⊙BMN,显然,A点在 ⊙BMN外,设MA交圆于C,则 ∠MAN<∠MCN,而∠MCN=∠MBN, 所以∠MAN<∠MBN. 因此,甲应将球回传给乙,让乙射门. A B E C O D 如图所示,已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O上,AD是⊿ABC的高, AE是⊙O的直径. 求证:∠BAE=∠CAD • 回顾:圆周角定理及推论? • 思考:判断正误: 1.同弧或等弧所对的圆周角相等(  ) 2.相等的圆周角所对的弧相等(  ) 3.90°角所对的弦是直径(  ) 4.直径所对的角等于90°(   ) 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°( ) 第二课时 应用 例 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交 ⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2, 解:∵AB是直径, ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°. 在Rt△ABC中, ∵CD平分∠ACB, ∴AD=BD. 例题 3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是 直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.) ·A B C O 求证: △ABC 为直角三角形. 已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线, 且CO= AB ·A B C O 证明: CO= AB, 以AB为直径作⊙O, ∵AO=BO, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB= ×180°= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形. • 1.如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC ,∠ACB与∠BAC的大小有什么关系?为什么? •2.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,且 ∠BCD=100°,求∠BOD( 所对的圆心角) 和∠BAD的大小。 课堂练习 • 3、如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C ,使DC=BD,连接AC交⊙O于点F,点F不与点A重合。 • (1)AB与AC的大小有什么关系?为什么? • (2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形, 并说明理由。 A CB D F·O 探究 A CB D F·O ∴△ABC是锐角三角形 解:(1)AB=AC。 证明:连接AD 又∵DC=BD,∴AB=AC。 (2)△ABC是锐角三角形。 由(1)知,∠B=∠C<90 ° 连接BF,则∠AFB=90 °,∴∠A<90 ° ∵AB是直径,∴∠ADB=90°, 1.AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使 AD=AB ,如果∠ADB=35° , 求∠BOC的度数。 ⌒ ⌒2、如图,在⊙O中, BC=2DE, ∠BOC=84°, 求∠ A的度数。 ∠BOC =140° ∠A=21° 4、在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)° 和(5x-30)°,则x=_ _; 3. 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D 为半圆上的两点,∠COD=50°,则 ∠CAD=______; 20° 50° 如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。 (1)求证∠P< ∠AQB (2)如果点P在⊙O内, ∠P与∠AQB有怎样的关系?为什么 ? 拓展练习

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