14.2 乘法公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
学习目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）
导入新课
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2 ＋5x ＋3x ＋15
=x2 ＋8x ＋15.
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
讲授新课
平方差公式一
探究发现
面积变了吗？
a米
5米
5米a米
(a-
5)
相等吗？
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
算一算：看谁算得又快又准.
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12
④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1，
想一想：这些计算结果有什么特点？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
((aa++bb)()(aa−−bb))== aa22−−bb22
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
知识要点
平方差公式
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式单项式也可以是两个多项式多项式等．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：填一填：
a b a2-b2
1 x
-3 a
12-x2
(-3)2-a2
a 1 a2-12
0.3x 1 ( 0.3x)2-12
((a-ba-b)()(a+ba+b))
练一练：口答下列各题：口答下列各题：
(l)(-(l)(-aa++bb)()(aa++bb)=_________.)=_________.
(2)( (2)(aa--bb)()(bb++aa)= __________.)= __________.
(3)(- (3)(-aa--bb)(-)(-aa++bb)= ________.)= ________.
(4)( (4)(aa--bb)(-)(-aa--bb)= _________.)= _________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
典例精析
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2)（-x+2y)(-x-2y).
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
解：（1）原式=(3x)2－22
=9x2－4；
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为
相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和
b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
针对训练
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996；
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
通过合理变形，利用平方
差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件
的乘法，按乘法法则进行运
算.
针对训练
计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499；
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)
的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1.
n为正整数，
∴n2-1为整数
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式
或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，
然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大
妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另
外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就
答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
∵a2＞a2－16，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，
∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公
式化简算式，解决问题．
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
当堂练习
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方
形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9；
=4x4－y2.
原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ； =(2a)2－32
原式=(-2x2 )2－y2
原式=(a)2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
4.利用平方差公式计算：
5.计算： 20152 － 2014×2016.
解： 20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152 － （20152－12 )
= 20152 － 20152+12
=1
6.6.利用平方差公式计算利用平方差公式计算::
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=（x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1
－x)(1＋x＋x2＋x3)＝
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为
正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
拓展提升
1－xn+1
-63
2n＋1－2
x100－1
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2
a3－b3
a4－b4
课堂小结
平 方 差 公 式
内 容
注 意
两个数的和与这两个数的差的积，
等于这两个数的平方差
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，
在应用时，只有两个二项式的积才有
可能应用平方差公式；对于不能直接
应用公式的，可能要经过变形才可以
应用
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