八年级数学上册第十二章全等三角形小结与复习课件(新人教版)
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八年级数学上册第十二章全等三角形小结与复习课件(新人教版)

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时间:2020-12-23

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资料简介
小结与复习 第十二章 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等图形,能够完全重合的 两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点, 重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边, 要点梳理 一、全等三角形的性质 B C E F 其中点A和 ,点B和 ,点C和_ _是对应顶点. AB和 ,BC和 ,AC和 是对应边. ∠A和 ,∠B和 , ∠C和 是对应角. A D 点D 点E 点F DE EF DF ∠D ∠E ∠F A B C D E F 性质: 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 如图:∵△ABC≌△DEF, ∴AB=DE,BC=EF,AC=DF ( ), ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F ( ). 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式: 用符号语言表达为: 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF.(SAS) 1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“ 边角边”或“SAS”). F E D C B A AC=DF, ∠C=∠F, BC=EF, 二、三角形全等的判定方法 ∠A=∠D ,(已知 ) AB=DE,(已知 ) ∠B=∠E,(已知 ) 在△ABC和△DEF中, ∴ △ABC≌△DEF.(ASA) 2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成 “角边角”或“ASA”). 用符号语言表达为: F E D C B A 3.三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或 “SSS”). A B C D E F 在△ABC和△ DEF中, ∴ △ABC ≌△ DEF.(SSS) AB=DE, BC=EF, CA=FD, 用符号语言表达为: 4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角角边”或“AAS”). 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. A BC D EF 注意:①对应相等. ②“HL”仅适用直角三角形, ③书写格式应为: ∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中, AB =DE, AC=DF, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 三、 角平分线的性质与判定 考点一 全等三角形的性质 考点讲练 例1 如图,已知△ACE≌△DBF.CE=BF,AE=DF,AD=8,BC=2. (1)求AC的长度; (2)试说明CE∥BF. 解:(1)∵△ACE≌△DBF, ∴AC=BD,则AB=DC, ∵BC=2,∴2AB+2=8, ∴AB=3,∴AC=3+2=5; (2)∵△ACE≌△DBF, ∴∠ECA=∠FBD, ∴CE∥BF. 两个全等三角形的长边与长边,短边与短边分别是对应边,大角 与大角,小角与小角分别是对应角.有对顶角的,两个对顶角一定为一 对对应角.有公共边的,公共边一定是对应边.有公共角的,公共角一 定是对应角. 方法总结 1.如图所示,△ABD≌△ACD,∠BAC=90°. (1)求∠B; (2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由. 针对训练 解:(1)∵△ABD≌△ACD, ∴∠B=∠C, 又∵∠BAC=90°, ∴∠B=∠C=45°; (2)AD⊥BC. 理由:∵△ABD≌△ACD, ∴∠BDA=∠CDA, ∵∠BDA+∠CDA=180°, ∴∠BDA=∠CDA=90°, ∴AD⊥BC. 例2 已知,∠ABC=∠DCB,∠ACB= ∠DBC, 求证:△ABC≌△DCB. ∠ABC=∠DCB(已知), BC=CB(公共边), ∠ACB=∠DBC(已知), 证明: 在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(ASA ). B C A D 【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定 . 考点二 全等三角形的判定 2.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的 是( ) A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F D 针对训练 3.如图所示,AB与CD相交于点O, ∠A=∠B,OA=OB 添加条件 , 所以 △AOC≌△BOD 理由是 . A O D C B ∠C=∠D 或∠AOC=∠BOD AAS 或ASA 考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用 例3 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点 E,EF∥BC交AC于点F, 求证:∠DEC=∠FEC. A B CD FE G【分析】 欲证∠DEC=∠FEC 由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE 只需要证明△DEG ≌ △DCG. A B CD FE G 证明: ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °. 在△AGE和△AGC中, ∠AGE=∠AGC, AG=AG, ∠EAG=∠CAG, ∴ △AGE ≌ △AGC(ASA), ∴ GE =GC. ∵AD平分∠BAC,∴ ∠EAG=∠CAG,. A B CD FE G 在△DGE和△DGC中, EG=CG, ∠ EGD= ∠ CGD=90 °, DG=DG. ∴ △DGE ≌ △DGC(SAS). ∴ ∠DEG = ∠ DCG. ∵EF//BC, ∴ ∠FEC= ∠ECD, ∴ ∠DEG = ∠ FEC. 利用全等三角形证明角相等,首先要找到两个角所在的两个三角形, 看它们全等的条件够不够;有时会用到等角转换,等角转换的途径很多, 如:余角,补角的性质、平行线的性质等,必要时要想到添加辅助线. 方法总结 4.如图,OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC, ∠BAO =∠CAO吗?为什么? O C B A 解: ∠BAO=∠CAO, 理由:∵ OB⊥AB,OC⊥AC, ∴ ∠B=∠C=90°. 在Rt△ABO和Rt△ACO中, OB=OC,AO=AO, ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO ,(HL) ∴ ∠BAO=∠CAO. 针对训练 考点四 利用全等三角形解决实际问题 例4 如图,两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上,旗杆与地面 垂直,另一端分别固定在地面上的木桩上,两根木桩离旗杆底部的 距离相等吗? A B CD 【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题 就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC, AD⊥BC. A B CD 解:相等,理由如下: ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中, AD=AD, AB=AC, ∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL). ∴BD=CD. 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度,还可对某些因 素作出判断,一般采用以下步骤: (1)先明确实际问题; (2)根据实际抽象出几何图形; (3)经过分析,找出证明途径; (4)书写证明过程. 方法总结 针对训练 5.如图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状,A、B间的距离不 能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A、B间 的距离吗? 解:要测量A、B间的距离,可用如下方法: 过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C、D ,使CD=BC, 再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直 线上, ∵∠ACB=∠ECD,CB=CD, ∠ABC=∠EDC, ∴△EDC≌△ABC(ASA). ∴DE=BA. 答:测出DE的长就是A、B之间的距离. C D E 考点五 角平分线的性质与判定 例5 如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点,∠PCB+ ∠BAP=180 °, 求证:PA=PC. 【分析】由角平分线的性质易想到过点P向 ∠ABC的两边作垂线段PE、PF,构造角平分 线的基本图形. B A C N )) 1 2 P E F 【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °. ∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又∠BAP+∠EAP=180 °. ∴ ∠EAP=∠PCB. 在△APE和△CPF中, ∠PEA=∠PFC=90 °, ∠EAP=∠FCP, PE=PF, ∴ △APE ≌ △CPF(AAS), ∴ AP=CP. B A C N )) 1 2 P E F 【证法2思路分析】由角是轴对称图形,其对称轴是角平分线所在 的直线,所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB, 连接PD(如图).则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即 可获证. 证明过程请同学们自行完成! 【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依 托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路,一种作垂线段构造角平分 线性质基本图;另一种是构造轴对称图形. A C N )) 1 2 P B D 6.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点, PA=PC ,求证:∠PCB+ ∠BAP=180 °. B A C N ) ) 1 2 P E F 【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °. PA=PC, PE=PF, 在Rt△APE和Rt△CPF中, ∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(HL). 针对训练 ∴ ∠ EAP= ∠ FCP. ∵ ∠BAP+∠EAP=180 °, ∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °. 想一想:本题如果不给图,条件不变,请问∠PCB与∠PAB有 怎样的数量关系呢? B A C N ) ) 1 2 P E F 全 等 三 角 形 性 质 基 本 性 质 和 其 他 重 要 性 质 判 定 判定方法基本 思 路 作 用 是证明两条线段相等和角相 等 的 常 用 方 法 寻找现有条件(包括图中 隐 含 条 件 ) 选定判定方法证明准备条 件 角 的 平 分 线 的 性 质 定 理 角 的 平 分 线 的 判 定 定 理 证 明 两 条 线 段 相 等 证 明 角 相 等 辅 助 线 添 加 方 法 课堂小结

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