八年级数学上册12.3角的平分线的性质第1课时角平分线的性质课件（新人教版）

12.3 角的平分线的性质 第十二章 全等三角形 第1课时 角平分线的性质 学习目标 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 导入新课 用量角器度量，也可用折纸的方法．   问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得 到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在 角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是 角平分线，你能说明它的道理吗? A B C(E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗 ？ A BO 尺规作角平分线一 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法 与仪器的关系. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重 合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程 呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ A B M NN C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内 部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂 线的方法. AB O C 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质二 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步 骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 方法归纳  性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须 写完全，不能少了任何一 个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B AD O P E C 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线， 且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B CD E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC ， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP 平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分 ∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. D （3）求∆PDB的周长. 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = ·AB·PD=28.1 2APBS D = 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到 的等量关系进行转化求解 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点 D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F ， DE =DF， ∠EDB= 60°， 则 ∠EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明 ∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M NN C O A 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E， S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(  ) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C EA DF 解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用 三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． E D CB A 6 8 10 5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的 距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 课堂小结 角平分线 尺规作 图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定 理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅 助 线 添 加 过角平分线上一点向两边作垂线 段