九年级数学上册21.1一元二次方程课件（新人教版）.ppt

21.1 一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各 项系数. 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型 .（重、难点） 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点） 情景引入 雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉 献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多 处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗 ？ 导入新课 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以 上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部 AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所 示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程. A C B 解：列方程得 整理得 x 2 + 2x - 4 = 0．① x 2 = 2(2 - x )， 导入新课 想一想，上述方程与以往我们学过 的方程有什么联系和区别？ x m (2 - x ) m 等量关系：AC：BC=BC：AB 即BC2=2AC 问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四 角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起， 就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50cm x 3600cm2 一元二次方程的概念一 讲授新课 解：设切去的正方形的边长为 xcm， 则盒底的长为(100－2x)cm， 宽为(50－2x)cm， 根据方盒的底面积为3600cm2，得 化简，得 ② 该方程中未 知数的个数 和最高次数 各是多少？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都 要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛? 解：根据题意，列方程： 化简，得： 该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？ ③ 观察与思考 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三 个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共 同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2. x2-75x＋350=0 ② x2 + 2x - 4 = 0 ① x2-x-56=0 ③ 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一 元二次方程. 知识要点 一元二次方程的概念 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0) ax2 称为二次项， a 称为二次项系数. bx 称为一次项， b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的一般形式是 视频：一元二次方程一般式 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 典例精析 例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 化简整理成 12x+10=0 提示 判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方 程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中 是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2. 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0  × × × ×  × × (1) x2+ x=36 注意：未限定a≠0 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2； (2) (a－1)x|a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0 ，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方 程； (2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程 是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法： 根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的 方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 变式：方程(2a－4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程； （2）当a=2 且b ≠0时，是一元一次方程． 方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系： 1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数； 2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次 方程未知数最高次数是2. 例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数 项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项 是-10. 系数和项均包含前面的符号.注意 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？ ax=b (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 一元二次方程的根二 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 做一元二次方程的解（又叫做根）. 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个 根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0, 9+4a=0, 4a=-9, 方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程 的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方 程，求解即可得到字母的值. 变式：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得： 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观 察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的 一部分看作一个整体，代入求值． 问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三 条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？ 32 2 0 x 建立一元二次方程模型三 1.若设小路的宽是xm，则横向 小路的面积是______m2，纵向 小路的面积是 m2,两 者重叠的面积是 m2. 32x 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出 方程吗？ 整理以上方程可得 思考： 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2-36x＋35=0 32 2 0 x 想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570 32-2x 2 0 - x 32 2 0 审 建立一元二次方程模型的一般步骤 设 找 列 审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系 设未知数 找出等量 关系 根据等量 关系列方 程 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 01 3 13 -54 0 -53 -2 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2(k－1)x＋2k＋ 2＝0 ， 当k    时，是一元二次方程． 当k    时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 4.（1）已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值 为___________; （2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不 为零不容忽视 解：将x=0代入方程得m2-4=0， 解得m=±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 5.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩 形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的 方程（其中π取3）； 解：设由于圆的半径为xcm， 则它的面积为3x2 cm2. 整理，得 根据题意，得 200cm 150cm (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x， 整理，得 根据题意，得 拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的 一个根为1， 求a+b+c的值. 解：由题意得 思考：1.若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：由题意得 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是x=1. 2. 若 a-b +c=0，4a+2b +c=0 ，你能通过观察，求出 方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根吗? x=-1 x=2 课堂小结 一 元 二 次 方 程 概 念 ① 是整式方程； ② 只含一个未知数； ③ 未知数的最高次数是2. 一般形 式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的 未知数的值. 建立一元二 次方程模型 审→设→找→列