九年级数学下册第三章圆3-9弧长及扇形的面积课件（北师大版）

9 弧长及扇形的面积  【知识再现】 1.圆的周长公式：C= _____   2.圆的面积公式：S= ____   2πr πr2  【新知预习】 阅读教材P100-101，解决以下问题：  已知圆的半径为r，根据条件填表： 归纳： 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算 公式为L=    .  2.如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形的面 积的计算公式为S=     . 3.比较扇形面积公式与弧长公式还可得到S=  . 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形 的弧长为 (   ) A.9π     B.6π C.3π    D.4π D 2.扇形的面积是12π，它的弧所对的圆心角为30°， 则扇形的半径是 (   ) A.8 B.24 C.12 D.10 C 3.一圆弧的圆心角为150°，它所对的弧长等于半径为 5 cm的圆的周长，则该弧所在圆的半径为 (   ) A.24 cm B.12 cm C.6 cm D.30 cm B 4.已知一扇形的弧长是4π，半径为3，那么这个扇形 的面积是 ____ . 6π 知识点一 弧长公式及应用(P100例1拓展) 【典例1】如图，已知AB是☉O的直径，C，D是☉O上 的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC. (1)求证：AE=ED. (2)若AB=10，∠CBD=36°，求 的长. 【规范解答】(1)∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB=90°， …………直径所对的圆周角为直角 ∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°， …………两直线平行，同位角相等 即OC⊥AD，∴AE=ED. …………垂直于弦的直径平分弦 (2)∵OC⊥AD， ∴ ， …………垂直于弦的直径平分弦所对的弧 ∴∠ABC=∠CBD=36°， ……等弧所对的圆周角相等 ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， ……圆周角定理 ∴ 的长= =2π. ……弧长公式 【学霸提醒】 求与弧长相关计算的两个步骤 【题组训练】 1.如图，一段公路的转弯处是一段圆弧( )，则 的 展直长度为(   ) A.3π m B.6π m C.9π m D.12π m B ★2.如图，正方形ABCD内接于☉O，AB= ，则 的 长是 (   ) A.π B. π C.2π D. π A ★3.(2019·青岛中考)如图，线段AB经过☉O的圆心， AC，BD分别与☉O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A= 45°，则 的长度为 (   ) A.π B.2π C.2 π D.4π B ★★4.(2019·泰安中考)如图，将☉O沿弦AB折叠， 恰好经过圆心O，若☉O的半径为3，则 的长为 (   ) A. π B.π C.2π D.3π C ★★5.(2019·南关区月考)如图，在△ABC中，AB=AC， 以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E. (1)求证：BE=CE. (2)若AB=6，∠BAC=54°， 求 的长. 解：(1)连接AE. ∵AB是圆O的直径， ∴∠AEB=90°，即AE⊥BC. 又∵AB=AC， ∴AE是边BC上的中线， ∴BE=CE. (2)∵AB=6， ∴OA=3. 又∵OA=OD，∠BAC=54°， ∴∠AOD=180°-2×54°=72°， ∴ 的长为： 知识点二 扇形及相关图形阴影面积的计算(P101例2 拓展) 【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，以 边BC为直径的☉O与边AB交于点D，与边 AC交于点E，连接OD，OE. (1)求证：BD=CE. (2)若∠C=55°，BC=10，求图中阴影部分的面积. 【尝试解答】(1)∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C ， …………等边对等角  …………等量代换 ∴EC=BD. (2)∵AB=AC，∴ ∠B=∠C=55° ，  …………等边对等角 ∵OB=OD，OC=OE，∴∠B=∠ODB=55°， ∠C=∠OEC=55°， …………等边对等角 ∴∠BOD=∠EOC=70°， ∴∠DOE=40°，∵BC=10，∴BO=CO=5， ∴S阴影=  =  .  …………扇形的面积公式计算 【题组训练】 1.如图，AB是☉O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA= 2，则阴影部分的面积是 (   ) A. B. C.π D.2π B ★2.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，☉C的半径为3，则 图中阴影部分的面积是 (   ) A. π B.2π C.3π D.6π C ★3.(2019·南充中考)如图，在半径为6的☉O中，点 A，B，C都在☉O上，四边形OABC是平行四边形，则图 中阴影部分的面积为 (   ) A.6π B.3 π C.2 π D.2π A ★★4.(2019·盐城滨海一模)如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，点E为BC 的中点，连接OD，DE. (1)求证：OD⊥DE. (2)若∠BAC=30°，AB=12， 求阴影部分的面积. 解：(1)连接DB. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°， ∵点E是BC的中点， ∴DE=CE= BC，∴∠EDC=∠C， ∵OA=OD，∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°， ∴∠ADO+∠EDC=90°，∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE. (2)∵AB=12，∠BAC=30°，∴AD= ， 阴影部分的面积= 【我要做学霸】 求不规则阴影面积的“两种方法” 1.分割求和法：即将阴影部分___________________的 图形，分别求出面积，再相加.  2.补全求差法：即用包含阴影部分的_______________  减去其包含的空白部分面积.   分割为几个规则   规则图形面积  【火眼金睛】 如图所示，半圆O中，直径AB长为4，C，D为半圆O的三 等分点，求阴影部分的面积. 正解：连接OC，OD， ∵C，D为半圆O的三等分点， ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°， ∵OC=OD， ∴△COD为等边三角形， ∴∠CDO=∠BOD=60°， ∴CD∥AB， ∴S△ACD=S△COD， ∴S阴影=S扇形COD= .  【一题多变】 如图，长方形ABCD的周长为28，且AB∶BC=3∶4，求 的长度. 解：由题意知AB=28÷2× =6， ∴ 的长度= =3π. 【母题变式】 【变式一】(变换条件)如图，长方形ABCD的两边AB∶ BC=3∶4， 的长度为8π，求 的长度. 解：∵ 的长= =8π. ∴BC=16， ∵AB∶BC=3∶4， ∴AB=12. ∴ 的长度= =6π. 【变式二】(变换问法)如图，长方形ABCD的周长为28 ，且AB∶BC=3∶4，求图中阴影部分的面积. 解：S阴影=S扇形BCF-S△EDF-(S长方形ABCD-S扇形ABE) =S扇形BCF+S扇形ABE-S△EDF-S长方形ABCD = ×2×2-6×8=25π-50.