九年级数学下册第三章圆3-3垂径定理课件（北师大版）

*3 垂径定理 【知识再现】 1.圆是轴对称图形，对称轴是_______________________.  2.轴对称的性质：轴对称图形中对应点的连线 _____________________.  过圆心的任意一条直线  被对称轴垂直平分  【新知预习】 问题一：(动手操作)在白纸上画一个圆，沿着圆的任 意一条直径所在的直线对折几次，你发现了什么？ 结论：圆是___________图形，它的对称轴有 _________条，任何一条_________所在的直线都是 它的对称轴.   轴对称   无数   直径  问题二：(再动手操作)利用自己手中的圆，任意画出 ☉O的一条弦AB，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，请 沿着CD折叠☉O，仔细观察，你能发现图中有哪些相等 的线段和弧？ 相等的线段(半径相等除外)：__________；  相等的弧(半圆除外)： =_____， =_____.  结论(垂径定理)：(1)文字描述：垂直于弦的直径 _________弦，并且_________弦所对的弧.   AM=BM   平分   平分  (2)几何语言：∵CD是☉O的直径，CD⊥AB， ∴AM=_______， =_____， =_____.  问题四：(1)若任意画出☉O的一条弦AB，取AB的中点 M，作过M的直径CD，沿着CD折叠☉O，CD与AB的位置 关系是：_________；问题三中相等的弧还成立吗？ _________.   BM   垂直   成立  (2)当AB是☉O的直径时，你发现的结论一定成立吗？ ___________.  结论(垂径定理的推论)：平分弦(不是直径)的直径 _________于弦，并且_________弦所对的弧.   不一定   垂直   平分  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.下列说法正确的是 (   ) A.平分弦的直径垂直于弦 B.垂直于弦的直线必过圆心 C.垂直于弦的直径平分弦 D.平分弦的直径平分弦所对的弧 C 2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列 结论中错误的是 (   )    A.AC=BC B. C. D.OC=CN D 3.如图，AB为☉O的弦，半径OC⊥AB于点D， 且AB=6，OD=4，则DC的长为 (   ) A.1 B.2 C.2.5 D.5 A 4.☉O的半径是4，AB是☉O的弦，∠AOB=120°， 则AB的长是_____. 知识点一 垂径定理的应用 (P74“定理”拓展) 【典例1】(2019·杨浦区三模)如图，已知AB是圆 O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5， CD=4 ，点E在 上，射线AE与CD的延长线交于点F. (1)求圆O的半径. (2)如果AE=6，求EF的长. 【规范解答】(1)连接OD， ∵直径AB⊥弦CD，CD=4 ， ∴DH=CH= CD=2 ， …………………垂径定理 在Rt△ODH中，AH=5，设圆O的半径为r， OD2=(AH-OA)2+DH2，即r2=(5-r)2+20， 解得：r=4.5，…………………………勾股定理 则圆的半径为4.5. (2)过O作OG⊥AE于G， ∴AG= AE= ×6=3， ∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF， ∴△AGO∽△AHF，………两角相等的两三角形相似 ∴ ………………………………相似的性质 ∴AF= ，∴EF=AF-AE= -6= .…………计算 【学霸提醒】 垂径定理常作的两条辅助线及解题思想 1.两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线；二是连接圆 心和弦的一端(即半径)，这样把半径、圆心到弦的距 离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定 理求解. 2.方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时， 常常将未知的一条线段设为x，利用勾股定理构造关于 x的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题 的解题思路. 【题组训练】 1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E， OC=5 cm，CD=8 cm，则AE= (   )          A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm A ★2.如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2， BP=6，∠APC=30°，则CD的长为 (   ) A. B.2 C.2 D.8 C ★3.如图，已知☉O的半径为5，弦AB，CD所对的 圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补， 弦CD=6，则弦AB的长为(   ) A.6 B.8 C.5 D.5 B ★4.(2019·德州中考)如图，CD为☉O的直径， 弦AB⊥CD，垂足为E， ，CE=1，AB=6， 则弦AF的长度为_______. ★★5.如图，在△OAB中，OA=OB，☉O交AB于点C，D， 求证：AC=BD. 证明：过点O作OE⊥AB于点E， ∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE， ∵OA=OB，OE⊥AB，∴AE=BE， ∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD. 知识点二 垂径定理在实际问题中的应用(P75“例”补 充) 【典例2】(2019·朝阳区期末)一些不便于直接测量的 圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图，把一个直 径为10 mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离 孔道外端的距离为8 mm，求这个孔道的直径AB. 【尝试解答】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB= 2AD ，…………………………垂径定理  ∵钢球的直径是10 mm， ∴钢球的半径是 5  mm，  ∵钢球顶端离零件表面的距离为8 mm， ∴OD= 3  mm， 在Rt△AOD中，∵AD=__________= = 4(mm) ………………………………勾股定理  ∴AB=2 AD = 2×4 = 8(mm) . 【学霸提醒】 垂径定理基本图形的四变量、两关系 1.四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r， 弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两 个可求其他两个. 2.两关系：(1) +d2=r2.(2)h+d=r. 【题组训练】 1.(2019·婺城区期末)一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的截面圆的半径OB=10 dm，水面宽AB是 16 dm，则截面水深CD是 (   )        A.3 dm B.4 dm C.5 dm D.6 dm B ★2.(2019·长兴县期末)乌镇是著名的水乡，如图， 圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为 8 m，则桥拱半径OC为 (   )B A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m ★3.(2019·衢州中考)一块圆形宣传标志牌如图所 示，点A，B，C在☉O上，CD垂直平分AB于点D.现测得 AB=8 dm，DC=2 dm，则圆形标志牌的半径为 (   )B A.6 dm B.5 dm C.4 dm D.3 dm ★★4.(2019·宁都县期末)如图是一个圆环形黄花梨木 摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取 一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作 CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15 cm，AB=60 cm，则这 个摆件的外圆半径是_________ cm.   37.5  ★★5.如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方 形的长BC为8 m，宽AB为1 m，该隧道内设双向行驶的 车道(共有2条车道)，若现有一辆货运卡车高4 m，宽 2.3 m.则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由. 解：这辆货运卡车可以通过该隧道.理由如下： 根据题意可知，如图，在AD上取G，使OG=2.3 m， 过G作EG⊥BC于F，反向延长交半圆于点E，则GF=AB =1 m，圆的半径OE= AD= ×8=4(m)， 在Rt△OEG中，由勾股定理，得EG= 所以点E到BC的距离为EF= +1>3+1=4， 故货运卡车可以通过该隧道. 【火眼金睛】 有一个半径为5 m的排水管，水面宽度为8 m，求此时 水的深度. 正解：情形1：当AB在圆心O下方时，连接OA，过点O作 OE⊥AB，交AB于点M， ∵半径为5 m，AB=8 m， ∴OA=OE=5 m，AM=4 m， ∴OM=3 m， ∴ME=OE-OM=5-3=2(m). 情形2：当AB在圆心O上方时，同法可得EM′=5+3=8(m). 综上所述，水的深度为2 m或8 m. 【一题多变】如图，已知AB是☉O的直径，CD是☉O的 弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE=CD=16，试求☉O的半径. 解：连接OD，设OB=OD=R，则OE=16-R， ∵直径AB⊥CD，CD=16， ∴∠OED=90°，DE= CD=8， 由勾股定理得：OD2=OE2+DE2 则R2=(16-R)2+82 解得：R=10，∴☉O的半径为10. 【母题变式】 【变式一】(变换条件)如图，AB是☉O的直径，弦 CD⊥AB于P，CD=10 cm，AP∶PB=1∶5，求☉O的半径. 解：连接CO，如图：设AP=x，则PB=5x， AO= (x+5x)= ×6x=3x，PO=3x-x=2x， ∵AB⊥CD， ∴CP= ×10=5， 在△CPO中，52+(2x)2=(3x)2， 解得x1= ，x2=- (舍去). ∴AO=3 cm. 【变式二】(变换问法)如图，☉O的直径CD垂直弦AB于 点E，且CD=10 cm，AB=8 cm，求OE的长. 略