八年级数学下册第19章四边形19-3矩形、菱形、正方形19-3-3正方形课件（沪科版）

第19章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.3 19.3.3 正方形正方形 第第11课时课时 基础自主学习 ► 学习目标1 能根据正方形的定义或性质进行简单 的计算 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 B 3. 正方形 2．如图19－3－13，正方形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 C 3. 正方形 3．已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD 的周长为________．4 3. 正方形 [归纳] (1)定义：有一个角是_________，且有一组邻边 _________的平行四边形叫做正方形． (2)性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形， 更是特殊的平行四边形，因此正方形具有矩形、菱形、 平行四边形的所有性质． 性质1：正方形的四条边都_________，四个角都是 ________； 性质2：正方形的对角线________________________． 直角 相等 相等 直角 相等且互相垂直平分 3. 正方形 ► 学习目标2 能根据正方形的定义或判定方法来判定 四边形是不是正方形 4．下列命题，正确的是(  ) A．四条边都相等的四边形是正方形 B．四个角都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 D 3. 正方形 5．如图19－3－14，在Rt△ABC中，已知∠BAC＝90° ， AB＝ AC， AD⊥BC， AE是 △ABC的 外 角 平 分 线 ， CE⊥AE于点E，试判断四边形ADCE是什么特殊四边形， 并证明你的结论． 3. 正方形 3. 正方形 [归纳] 证明一个四边形是正方形，主要是根据定义． 也可以先证明四边形是矩形，再证明它是菱形；或先证 明它是菱形，再证明它是矩形，其基本思路：四边形→ 平行四边形→矩形(菱形)→菱形(矩形)． 重难互动探究 3. 正方形 探究问题一 利用正方形的性质进行计算 ①②④ 3. 正方形 3. 正方形 3. 正方形 [归纳总结] 1.正方形的两条对角线将正方形分成四个全 等的等腰直角三角形． 2．正方形的周长等于边长的4倍，面积等于边长的平 方或对角线平方的一半． 3．在解答有关正方形的问题时，应充分利用正方形的 边长相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相 等的性质，还应记住：正方形的性质、等腰直角三角形 的特点、勾股定理是解决有关正方形问题的三把钥匙． 探究问题二 利用正方形的性质进行证明 3. 正方形 例2 如图19－3－16所示，以锐角三角形ABC的边AB， AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EC， BG. 求证：(1)BG＝CE； (2)BG⊥CE. 3. 正方形 [解析] 设CE交AB于P，交BG于Q.欲证BG＝CE，可 证△AEC≌△ABG(SAS)，则∠AEC＝∠ABG.而 ∠AEC＋∠APE＝90°，可得∠ABG＋∠BPQ＝90° ，故∠BQP＝90°，即BG⊥CE. 3. 正方形 证明： 设CE交AB于P，交BG于Q. (1)∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形， ∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°， ∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC， 即∠EAC＝∠BAG. ∴△EAC≌△BAG(SAS)，∴BG＝CE. (2)由(1)可知△EAC≌△BAG，则∠AEC＝∠ABG. 又∵∠AEC＋∠APE＝90°， ∴∠ABG＋∠BPQ＝90°， ∴∠BQP＝90°，即BG⊥CE. 3. 正方形 [归纳总结] 通过证明三角形全等得到边和角相等， 是有关四边形中证明边或角相等的最常用的方法， 而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明全 等三角形提供了条件． 探究问题三 灵活证明四边形是不是正方形 3. 正方形 例3 如图19－3－17所示，在△ABC中，∠BAC＝90° ，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF分别交AB ，AD，AC于点E，O，F. 求证：四边形AEDF是正方形． [解析]本例可先证四边形AEDF为矩 形，再证它是菱形，或先证它是菱形， 再证它是矩形． 3. 正方形 证明： 证法一：∵EF垂直平分AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴∠EAD＝∠ADE，∠FAD＝∠ADF. 又∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC， ∴∠ADE＝∠EAD＝∠FAD＝∠ADF＝45°， ∴∠EDF＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形AEDF为矩形． 又∵AE＝ED， ∴矩形AEDF为正方形． 3. 正方形 证法二：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD. 又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF垂直平分AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形AEDF为菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形AEDF为正方形． 3. 正方形 [归纳总结] 1.正方形的判定方法有：(1)有一个角是 直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是 正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线 互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直且相 等的平行四边形是正方形；(6)对角线互相垂直平分 且相等的四边形是正方形． 2．应用正方形的判定方法判定正方形时，一定要先 分清是在什么图形的基础上来判定的，即已知图形 是四边形、平行四边形、矩形、菱形中的哪一种， 再选择相应的方法判定． 课 堂 小 结 3. 正方形 第19章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.3 19.3.3 正方形正方形 第第22课时课时 操 作 ⒈怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？ ⒉怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？ 矩形 菱形 正方形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 讨 论 ㈠正方形的边、角、对角线各具有什么性质？ 边：对边平行，四条边都相等． 角：四个角都相等，都等于90°． 对角线：相等、垂直且互相平分． 讨 论 ㈡具备什么条件的平行四边形是正方形？ ⒈先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等． ⒉先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角． 例题赏析 ⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想 AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想． G F E DA B C 一展身手 1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边 形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 2.在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是 CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P． ⑴求证： DQ=CP； ⑵OP与OQ有何关系？试 证明你的结论． 3.如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和 ACFG，M是BC的中点． 求证： ⑴CE=BG； ⑵EG=2AM． H M E D F G B C A 4.求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形 ． 教学反思 ▲正方形有哪些性质？如何判别一个平行四边形是正方形 ？ ★从角上来谈； ●从边上来谈； ▲从对角线上来谈.