2020高考文科数学二轮专题辅导课件：三角函数及解三角形 解答题 三角函数的综合问题

专题 三角函数及解三角形   三角函数的综合问题 考向一 三角函数的图象 【例1】已知函数f(x)=sin -4sin2ωx+2(ω>0), 其图象与x轴相邻两个交点的距离为 . (1)求函数f(x)的解析式①. (2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函 数g(x)的图象②恰好经过点 ,求当m取得最小值时, g(x)在 上的单调递增区间③. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到待定系数法求解析式 ② 想到平移变换求出函数解析式 ③ 利用数形结合思想求单调区间 【解析】(1)函数f(x)=sin -4sin2ωx+2= sin 2ωx- cos 2ωx+2cos 2ωx= sin 2ωx+ cos 2ωx= sin (ω>0),根据函数f(x)的 图象与x轴相邻两个交点的距离为 ,可得函数f(x)的 最小正周期为2× ,得ω=1,故函数f(x)= (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数 g(x)= 的图象, 根据g(x)的图象恰好经过点 可得 sin =0,即sin =0, 所以2m- =kπ(k∈Z),m= + (k∈Z), 因为m>0,所以当k=0时,m取得最小值,且最小值为 . 此时,g(x)= sin 令 得 故函数g(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 结合x∈ 可得g(x)在 上的单调递增区 间为 【拓展提升】 函数表达式y=Asin(ωx+φ)+B的确定方法 字母 确定途径 说  明 A 由最值确定 A= B 由最值确定 B= 字母 确定途径 说  明 ω 由函数的 周期确定 利用图象中最高、最低点与x轴交点的横坐标确定 周期 φ 由图象上的 特殊点确定 代入图象上某一个已知点的坐标,表示出φ后,利用 已知范围 求φ 【变式训练】 (2019·贵阳调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式. (2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横 坐标缩短到原来的 倍,再把所得的函数图象向左平 移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x) 在区间 上的最小值. 【解析】(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知 A=1, 即T=π,所以π= ,解得ω=2, 故f(x)=sin(2x+φ). 由0=sin 可得 +φ=2kπ,k∈Z, 则φ=2kπ- ,k∈Z,因为|φ|< ,所以φ=- , 故函数f(x)的解析式为f(x)=sin (2)根据条件得g(x)=sin 当x∈ 时,4x+ 所以当x= 时,g(x)取得最小值,且g(x)min= . 考向二 三角函数的性质 【例2】已知函数f(x)=4tan xsin (1)求f(x)的定义域与最小正周期①. (2)讨论f(x)在区间 上的单调性②. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 先化简再分析求解 ② 想到利用正弦曲线的性质求解 【解析】 (1)定义域 (2) 设t=2x- , 因为y=sin t在t∈ 时单调递减,在t∈ 时单调递增. 由 解得 解得 所以函数 在 上单调递增,在 上单 调递减. 【拓展提升】 1.处理三角函数性质问题的技巧 讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与 对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个 角的一种三角函数. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调区间 (1)当ω>0时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数增 区间(或减区间),求出的区间即为y=Asin(ωx+φ)的增 区间(或减区间); (2)当ω0)的最小正周 期为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间①. (2)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1个单位,得到函数y=g(x)的图象②,若y=g(x)在[0,b] (b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值③. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 先求出函数解析式,再用整体法求单调区间 ② 想到平移变换求出函数解析式 ③ 想到利用正弦函数的性质求解 【解析】(1)f(x)=2sin ωxcos ωx+ (2sin2ωx-1) =sin 2ωx- cos 2ωx=2sin 由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin , 由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 整理得kπ- ≤x≤kx+ ,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递增区间是 ,k∈Z. (2)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象,所以g(x)=2sin 2x +1. 令g(x)=0,得x=kπ+ 或x=kπ+ (k∈Z), 所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上 有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b的最小值为4π+ 【拓展提升】 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y= Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的形式,利用正 余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正 周期T= .应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周 期为T= . 【变式训练】 设函数f(x)=sin 其中0