直 线 与 圆
考向一 直线的方程(保分题型考点)
【题组通关】
1.设a∈R,则“a=-2”是直线l1:ax+2y-1=0与直线
l2:x+(a+1)y+4=0平行的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆
(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率
为 ( )
3.过点P(2,3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A,B
两点,O为坐标原点,则S△AOB的最小值为__________.
【解析】1.选A.当a=-2时,l1:-2x+2y-1=0,l2:x-y+4=0,
显然l1∥l2.
当l1∥l2时,由a(a+1)=2且a+1≠-8得a=1或a=-2,
所以a=-2是l1∥l2的充分不必要条件.
2.选D.由题知,反射光线所在直线过点(2,-3),设反射
光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
因为圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径为1,且反
射光线与该圆相切,
所以 =1,
化简得12k2+25k+12=0,
解得k=- 或k=- .
3.依题意,设直线l的方程为 =1(a>0,b>0).
因为点P(2,3)在直线l上.
所以 =1,则ab=3a+2b≥2 ,
故ab≥24,当且仅当3a=2b(即a=4,b=6)时取等号.
因此S△AOB= ab≥12,即S△AOB的最小值为12.
答案:12
【拓展提升】
求直线方程的两种方法
(1)直接法:根据已知条件,找出直线方程的确定条件,
选择适当的直线方程的形式,直接求出直线方程.
(2)待定系数法:其具体步骤为:①设出直线方程的恰当
形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);
②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组;
③解方程或方程组得到待定系数;④写出直线方程;
⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程,如果有遗漏
需要补加.
考向二 圆的方程(保分题型考点)
【题组通关】
1.(2019·芜湖二模)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,
点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为
,则圆C的方程为______________.
2.一个圆经过椭圆 =1的三个顶点,且圆心在x轴
的正半轴上,则该圆的标准方程为____________.
世纪金榜导学号
【解析】1.因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,
设C(a,0),且a>0.
则圆心C到直线2x-y=0的距离d= ,解得a=2.
所以圆C的半径r=|CM|= =3,
因此圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
2.由题意知,椭圆顶点的坐标为(0,2),(0,-2),
(-4,0),(4,0).
由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0,2),(0,-2),
(4,0).
设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2,
则有
所以圆的标准方程为
答案:
【拓展提升】
1.直接法求圆的方程,根据圆的几何性质,直接求出圆
心坐标和半径,进而写出方程.
2.待定系数法求圆的方程:(1)若已知条件与圆心(a,b)
和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关
于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;(2)若已知条件
没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据
已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
【变式训练】
(2017·天津高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.
已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点
A.若∠FAC=120°,则圆的方程为________.
【解析】方法一:设圆心坐标为C(-1,m),
则A(0,m),焦点F(1,0),
=(-1,0), =(1,-m),
cos∠CAF=
由于圆C与y轴的正半轴相切,则取m= ,所求圆的
圆心为(-1, ),半径为1,所求圆的方程为
(x+1)2+(y- )2=1.
答案:(x+1)2+(y- )2=1
方法二:由题意知此抛物线的焦点F为(1,0),此抛物线
的准线方程为x=-1,图象如图所示.故圆的圆心C为
(-1,y),其半径为1,因为∠FAC=120°,∠CAO=90°,
所以∠FAO=120°-90°=30°,故y= = .
即该圆的圆心坐标为(-1, ),故此圆的方程为
(x+1)2+(y- )2=1.
答案:(x+1)2+(y- )2=1
考向三 直线(圆)和圆的位置关系(压轴题型考点)
【典例】（1）（2016·全国卷Ⅱ）圆x2+y2-2x-8y
+13=0①的圆心到直线ax+y-1=0 的距离为1②，
则a=( )
（2）（2016·山东高考）已知圆M：x2+y2－2ay
=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ，则
圆M与圆N：(x-1）2+(y－1)2=1的位置关系③是（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
（3）（2016·全国卷Ⅰ）设直线y=x+2a与圆C：
x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=2 ④，
则圆C的面积为_____.世纪金榜导学号
【题眼直击】
题目 题眼 思维导引
(1)
① 想到化为圆的标准式方程
② 想到点到直线的距离公式
(2) ③ 想到利用圆心距与两圆半径的和差关系
(3) ④ 想到构建直角三角形,运用勾股定理分析
【解析】(1)选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:
(x-1)2+(y-4)2=4,
故圆心为(1,4),d= =1,解得a=- .
(2)选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+(y－a)2=a2,
由题意,d= ,所以有,a2= +2,解得a=2.所以圆M:
x2+(y－a)2=22,圆心距= ,半径和=3,半径差=1,
所以二者相交.
(3)由圆C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a)2=a2+2,所以圆
心C(0,a),由题意可知 ,解得a2=2,
所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.
答案:4π
【拓展提升】
1.有关弦长问题的两种求法
(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 ,弦心距d和圆
的半径r构成直角三角形,即r2= +d2.
(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于
x(或y)的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦
长|AB|= |x1-x2|=
或|AB|= |y1-y2|=
(其中k为斜率).
2.过一点求圆的切线的方法
(1)①过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k,由垂直关系知切线斜率
为- ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存
在,则由图形写出切线方程x=x0.
②圆方程(x-a)2+(y-b)2=r2,过圆上一点(x0,y0)的切线
方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
当斜率存在时,设为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-
y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切
线方程.当斜率不存在时要加以验证.
【变式训练】
(1)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0
的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则
|AB|=( )
A.2 B.4 C.6 D.2
(2)已知圆C的方程是x2+y2-8x-2y+8=0,直线l:y=a(x-3)
被圆C截得的弦长最短时,直线l的方程为______.
(3)(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半
径长是r.若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2,-1),则
m=________,r=________.
【解析】(1)选C.方法一:由题设,得圆C的标准方程为
(x-2)2+(y-1)2=4,知圆C的圆心为(2,1),半径为2.
因为直线l为圆C的对称轴,
所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,
所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=[(-4-2)2+(-1-1)2]-4=36,所以
|AB|=6.
方法二:由题意知,圆心为(2,1),半径为2,圆心在直线l
上,即2+a-1=0,解得a=-1,再由图知,|AB|=6.
(2)圆C的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=9,
所以圆C的圆心C(4,1),半径r=3.
又直线l:y=a(x-3)过定点P(3,0),
则当直线y=a(x-3)与直线CP垂直时,被圆C截得的弦长
最短.
因此a·kCP=a· =-1,所以a=-1.
故所求直线l的方程为y=-(x-3),即x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
(3)设圆的标准方程为x2+(y-m)2=r2,
由题意可得
答案:-2
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