2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件：高考专题 解析几何 定值与定点问题

定值与定点问题 考向一 圆锥曲线中的定点问题 【例1】(2019·大庆一模)已知椭圆C: +y2=1(a>1) 的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M：(x-3)2+(y- 1)2=3相切①． (1)求椭圆C的方程. (2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且 ②，求证:直线l过定点③，并求该定点的坐标. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到直线与圆相切的条件 ② 想到两直线互相垂直 ③ 化为直线的点斜式,求定点坐标 【解析】(1)圆M的圆心为(3,1),半径r= . 由题意知A(0,1),设F(c,0), 所以直线AF的方程为 +y=1,即x+cy-c=0, 由直线AF与圆M相切,得 解得c2=2,a2=c2+1=3, 故椭圆C的方程为 +y2=1. (2)由 =0知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂 直,故可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为 y=- x+1. 联立得方程组 整理得(1+3k2)x2+6kx=0, 解得x=0或x= 故点P的坐标为 同理,点Q的坐标为 所以直线l的斜率为 所以直线l的方程为y= 即y= 所以直线l过定点 【拓展提升】 定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系 或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于 定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所 求定点. (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 【变式训练】 (2019·北京高考)已知椭圆C: =1的右焦点为 (1,0),且经过点A(0,1). (1)求椭圆C的方程. (2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不 同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N, 若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点. 【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2, 所以a2=2, 所以C的方程为 +y2=1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,① 因为直线与椭圆有两个交点,所以必须Δ>0,② x1+x2= ,x1x2= ,③ 直线AP方程为y= x+1,与y=0联立得x= 即 M 同理,N (y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1) =k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2 = 所以|OM|·|ON|= 所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或0, 当t=0时,①式Δ>0,符合题意, 所以直线l方程为y=kx, 所以直线l过定点(0,0). 考向二 圆锥曲线中的定值问题 【例2】(2019·深圳一模)如图,已知双曲线C: y2=1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上 ,AF⊥x轴, AB⊥OB①，BF∥OA②(O为坐标原点). (1)求双曲线C的方程. (2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l: -y0y=1与 直线AF相交于点M,与直线x= 相交于点N.证明:当点P 在C上移动时, 恒为定值③，并求此定值. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到两直线斜率互为负倒数 ② 想到两直线斜率相等 ③ 整理化简消参数 【解析】 (1)设F(c,0),因为b=1, 所以c= 直线OB的方程为y=- x, 直线BF的方程为y= (x-c),解得 又直线OA的方程为y= x, 则A kAB= 又因为AB⊥OB,所以 =-1,解得a2=3, 故双曲线C的方程为 -y2=1. (2)由(1)知a= ,则直线l的方程为 -y0y=1(y0≠0), 即y= 因为直线AF的方程为x=2, 所以直线l与AF的交点为M 直线l与直线x= 的交点为N 则 因为P(x0,y0)是C上一点,则 =1,代入上式得 故所求定值为 【拓展提升】 求定值问题常见的方法 (1)从特殊值入手,求出定值,再证明这个值与变量无 关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变 量,从而得到定值. 【变式训练】 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴端 点到焦点的距离为2. (1)求椭圆C的方程. (2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB. 求证:原点O到直线AB的距离为定值,并求出该定值. 【解析】(1)由题意知, 又a2=b2+c2, 所以a=2,c= ,b=1, 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为 x=± , 此时,原点O到直线AB的距离为 . ②当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 则Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(1+4k2-m2)>0, x1+x2=- ,x1x2= 则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)= 由OA⊥OB得kOA·kOB=-1, 即 =-1, 所以x1x2+y1y2= 即m2= (1+k2), 所以原点O到直线AB的距离为 综上,原点O到直线AB的距离为定值 .