2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件： 高考专题 数列的求和问题

数列的求和问题 考向一 公式法、分组转化法求和 【例1】(2019·延安一模)设数列{an}的前n项和为Sn. 已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3①,n∈N*. (1)证明:an+2=3an. (2)求 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到依据已知等式再构造一个类似的等式→两式相减→将和Sn消掉进行证明 . ② 利用(1)中得到的关系求出该数列的通项公式,然后分组求和. 【解析】(1)由条件,对任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3. 两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2. 又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1. 故对一切n∈N*,an+2=3an. (2)由(1)知,an≠0,所以 =3.于是数列{a2n-1}是首项 a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比 为3的等比数列. 因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1. 于是当项数为2n项时S2n=a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1) =3(1+3+…+3n-1) = , 从而当项数为2n-1时,S2n-1=S2n-a2n= -2×3n-1= (5×3n-2-1). 综上所述, 【拓展提升】  分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用 分组求和法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an= 的数列,其中数列{bn}, {cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 【变式训练】 已知数列{an}的前n项和Sn= ,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn= +(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 【解析】(1)当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= =n, 故数列{an}的通项公式为an=n. (2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn,记数列{bn}的前2n项 和为T2n, 则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n, 则A= =22n+1-2, B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2. 考向二 错位相减法求和 【例2】(2019·常州一模)设数列{an}的前n项和为Sn. 已知2Sn=3n+3①. (1)求{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足anbn= ,求{bn}的前n项和Tn. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 利用Sn与an的关系求解,但要注意验证首项. ② 利用对数的运算性质求出bn,再利用错位相减法求和. 【解析】(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 当n≥2时,2Sn-1=3n-1+3, 此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1, 即an=3n-1,所以an= (2)因为anbn=log3an,所以b1= , 当n≥2时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n, 所以T1=b1= . 当n≥2时,Tn=b1+b2+b3+…+bn = +[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n], 所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n], 两式相减,得2Tn= +(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n = 所以Tn= . 经检验,n=1时也适合. 综上可得Tn= . 【拓展提升】  错位相减法求和的具体步骤 步骤1→写出Sn=c1+c2+…+cn; 步骤2→等式两边同乘以等比数列的公比q,即 qSn=qc1+qc2+…+qcn; 步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和; 步骤4→两边同除以1-q,求出Sn.同时注意对q是否为1 进行讨论. 【变式训练】 (2019·天津高考)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列, 公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{an}和{bn}的通项公式. (2)设数列{cn}满足cn= 求a1c1+a2c2+…+ a2nc2n(n∈N*). 【解题指南】(1)首先设出等差数列的公差,等比数列 的公比,根据题意,列出方程组,求出公差和公比,进而 求得等差数列和等比数列的通项公式. (2)根据题中所给的cn所满足的条件,将a1c1+a2c2+ …+a2nc2n表示出来,之后应用分组求和法,结合等差数 列的求和公式,以及错位相减法求和,最后求得结果. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn} 的公比为q, 依题意,得 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n, 所以{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n. (2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n =(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn) = +(6×31+12×32+18×33+… +6n×3n)=3n2+6×(1×31+2×32+…+n×3n), 记Tn=1×31+2×32+…+n×3n① 则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1② ②-①得2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=- +n×3n+1 = , 所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn =3n2+3× (n∈N*). 考向三 裂项相消法求和 角度1 形如an= 型 【例3】(2019·桂林一模)数列{an}的前n项和为Sn,且 an是Sn和1的等差中项①,等差数列{bn}满足b1=a1,b4= . (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设 ,数列{cn}的前n项和为Tn, 证明: 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 由an与Sn之间的关系求通项. ② 由等差数列的通项公式及前n项和公式分析求解. ③ 采用裂项相消法求和 【解析】 (1)因为an是Sn和1的等差中项,所以Sn=2an-1. 当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1) =2an-2an-1, 所以an=2an-1,即 =2, 所以数列{an}是以a1=1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1,Sn=2n-1. 设{bn}的公差为d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,所以d=2, 所以bn=1+(n-1)×2=2n-1. (2)cn= 所以 因为n∈N*,所以 所以数列{Tn}是一个递增数列,所以Tn≥T1= . 综上所述, ≤Tn< . 角度2 形如an= 型 【例4】已知f(x)=- ,数列{an}的前n项和为Sn, 点 在曲线y=f(x)上①(n∈N*),且a1=1, an>0. (1)证明:数列{ }为等差数列并求数列{an}的通项公 式. (2)求证: ,n∈N*. 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 将点的坐标代入函数解析式,构造新数列求解. ② 对不等式进行放缩,利用裂项求和.  【解析】(1)因为- =f(an)=- ,且an>0, 所以 .所以 =4(n∈N*). 所以数列 是等差数列,首项 =1,公差d=4. 所以 =1+4(n-1).所以 . 因为an>0,所以an= (n∈N*). (2)因为an= 所以Sn=a1+a2+…+an> 角度3 形如 型 【例5】正项数列{an}的前n项和Sn满足: -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0①. (1)求数列{an}的通项公式an. (2)令bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn. 证明:对于任意的n∈N*,都有Tn< . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 先求出Sn,再根据an与Sn的关系求通项. ② 先裂项再求和 【解析】(1)由 -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0, 得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以Sn>0,Sn=n2+n. 于是a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)= 2n. 综上,数列{an}的通项公式为an=2n. (2)由于an=2n, 故bn= Tn= 【拓展提升】 1.用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发 现被消去项的规律为止. (2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边 剩第几项,后边就剩倒数第几项. 2.裂项相消法求数列和的步骤 (1)求通项:利用求通项的常见方法求出数列的通项公 式. (2)巧裂项:对数列的通项公式准确裂项,表示为两项之 差的形式. (3)消项求和:把握消项的规律,求和时正负项相消,只 剩下首尾若干项,准确求和. 【变式训练】 1.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an= , n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 014= (  ) 【解析】选C.由f(4)=2可得4a=2,解得a= , 则f(x)= . 所以an= S 2 014=a1+a2+a3+…+a 2 014= 2.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn= ,n∈N*. (1)求证:数列{an}是等差数列. (2)设bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn. 【解析】(1)因为2Sn= +an.① 当n=1时,2a1= +a1, 因为a1>0,所以a1=1. 当n≥2时,2Sn-1= +an-1.② ①-②得,2an= +an-an-1, 所以(an-an-1)(an+an-1)-(an+an-1)=0. 因为an>0,所以an-an-1=1,所以d=1. 所以an=1+(n-1)×1=n.所以数列{an}为等差数列. (2)因为bn= 所以Tn=b1+b2+…+bn =