解题技巧·小题专攻
解客观题的6种方法
1 直接解答法
方法诠释 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密地推理和准
确地运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,作出相应的选择.
适用范围 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
【例1】设F1,F2是椭圆E: =1(a>b>0)的左、右
焦点,P为直线x= 上一点,△F2PF1是底角为30°的等
腰三角形,则E的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为F1,F2是椭圆E: =1(a>b>0)的
左、右焦点,所以|F2F1|=2c.
因为△F2PF1是底角为30°的等腰
三角形,所以∠PF2D=60°.
因为P为直线x= 上一点,
所以|F2D|=|OD|-|OF2|= a-c.
所以|PF2|=
又因为|F2F1|=|PF2|,
即2c=2 .
所以e=
【技法点拨】
1.有些小题没有间接解答的方法,你别无选择.
2.虽然存在间接解法,但你不能迅速找到思路,那么就
必须果断地用直接解答的方法.
3.用直接法也要尽可能地优化你的思路,力争小题不大
做.
【变式训练】
1.已知双曲线 -x2=1(a>0)的一条渐近线方程为
y= x,则该双曲线的离心率是 ( )
A. B. C.2 D.
【解析】选D.双曲线 -x2=1(a>0)的渐近线方程为:
y=±ax,
由题可知:a= ,所以c2=a2+b2=4,即:c=2,所以双曲线
的离心率为:e=
2.(2019·泸州一诊)已知函数f(x)=log2(2x-a),若
f(2)=0,则a=__________.
【解析】因为f(x)=log2(2x-a),
所以f(2)=log2(4-a)=0,4-a=1,a=3.
答案:3
2 特殊值法
方法诠释
从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数
或图形位置,进行判断.特殊值法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,
特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.
适用范围 适用于题目中含有字母或具有一般性结论的小题.
【例2】在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,
则log3a1+log3a2+…+log3a10=__________.
【解析】方法一(直接法):由
9=a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10知原式
=log3(a5a6)5=log3310=10.
方法二(小题巧做):因为答案唯一,故取一个满足条件
的特殊数列a5=a6=3,q=1,则原式=log3310=10.
答案:10
【技法点拨】
用特殊值法解题时,要注意以下两点:
第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理;
第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论
相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求
解.
【变式训练】
设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N),则f(n)=( )
A. (8n-1) B. (8n+1-1)
C. (8n+3-1) D. (8n+4-1)
【解析】选D.当n=0时,f(0)=2+24+27+210=
= .结合选项,当n=0时,只有选项D符
合要求.
3 数形结合法
方法诠释
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,利用函数图象或数学结果
的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围 等)与
某些图形结合起来,利用直观性,再辅以简单计算,从而确定正确答案.
适用范围 适用于求解问题中含有几何意义的命题
【例3】设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直
线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有 ( )
【解析】选B.当x≥1时,f(x)=3x-1,f(x)
的图象关于直线x=1对称,则图象如图所
示.这个图象是个示意图,事实上,就算
画出f(x)=|x-1|的图象代替它也可以.
由图知,符合要求的选项是B.
【技法点拨】
1.数形结合法的实质就是将抽象的数学语言与直观的
图象结合起来,实现代数问题与图形之间的转化.
2.画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地
呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力
策略.
【变式训练】
(2019·静安一模)若定义在实数集R上的奇函数y=f(x)
的图象关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)= ,
则方程f(x)= 在区间(-4,10)内的所有实根之和为
__________.
【解析】结合题意,大致可以绘出f(x)的图象,如图所示:
由图可知,一共有8个点,且这8个点关于x=3对称,
故x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=24.
答案:24
4 筛选判断法(排除法)
方法诠释 1.逐一验证法:将选项逐一代入条件中进行验证.
2.逻辑排除法:通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定.
适用范围 这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较烦琐的情况.
【例4】(1)函数f(x)= 的图象大致为( )
【解析】选D.因为f(x)= ,所以f(1)= >0,
排除B,C;因为f(-1)= 0),
若|MF|=4,则λ的值为 ( )
A. B.2 C. D.3
【解析】选D.过M向准线l作垂线,垂足为M′,根据已知
条件,结合抛物线的定义得
又|MF|=4,所以|MM′|=4,
又|FF′|=6,所以 ,
所以λ=3.
【技法点拨】
定义是知识的基础,因此回归定义是解决问题的一种基
本策略.
【变式训练】
(2019·西安一模)椭圆 =1的左焦点为F,直线
x=m与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN
的面积是______.
【解析】设椭圆右焦点为F′,则|MF′|+|NF′|≥|MN|,
当M,N,F′三点共线时,等号成立,
所以△FMN的周长|MF|+|NF|+|MN|≤|MF|+|NF|+|MF′|
+|NF′|=4a=4 ,此时|MN|= ,
所以此时△FMN的面积为S=
答案:
6 趋势判断法
方法诠释
趋势判断法,包括极限判断法,连同估值法,大致
可以归于直觉判断法一类.顾名思义,趋势判断法
的要义是根据变化趋势来发现结果,要求化静为
动,在运动中寻找规律,因此是一种较高层次的思
维方法.
适用范围
当题目从正面解析比较麻烦,特值法又无法确定
正确的选项时,如难度稍大的函数的最值或取值
范围 、函数图象的变化等问题,常用此种方法确
定选项.
【例6】用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根
细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能
够得到的三角形的最大面积为 ( )
A.8 cm2 B.6 cm2
C.3 cm2 D.20 cm2
【解析】选B.此三角形的周长是定值20,当其高或底趋
向于零时其形状趋向于一条直线,其面积趋向于零,可
知,只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形
状接近于正三角形时面积最大,故三边长应该为7、7、
6,因此易知最大面积为6 cm2.
【技法点拨】
有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和
取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,此种
方法可省去很多推导过程和比较复杂的计算,节省时间,
是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要方法.
【变式训练】
已知sin θ= ,cos θ= ,
则tan 等于 ( )
A. B.
C.- D.5
【解析】选D.由于受条件sin2θ+cos 2θ=1的制约,m
一定为确定的值进而推知tan 也是一确定的值,
又
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