2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件：高考大题 满分规范 数列类题型

高考大题•满分规范(三) 数列类解答题 【典型例题】 (12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明: {an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列. (2)求{an}和{bn}的通项公式. 【题目拆解】 本题可拆解成以下几个小问题: (1)①将已知条件中的两式相加,根据等比数列的定义 证明{an+bn}是等比数列; ②将已知条件中的两式相减,根据等差数列的定义证明 {an-bn}是等差数列; (2)①根据等比和等差数列的通项公式分别求出{an+bn} 与{an-bn}的通项公式; ②将{an+bn}与{an-bn}的通项公式相加减分别求出{an} 和{bn}的通项公式. 【标准答案】【解析】(1)由题意可知4an+1=3an-bn+4, 4bn+1=3bn-an-4,a1+b1=1,a1-b1=1,…………① 所以4an+1+4bn+1=3an-bn+4+3bn-an-4=2an+2bn,即an+1+ bn+1= (an+bn), 所以数列{an+bn}是首项为1、公比为 的等比数列,………………② an+bn= , ………………③ 因为4an+1-4bn+1=3an-bn+4-(3bn-an-4)=4an-4bn+8,所以 an+1-bn+1=an-bn+2, 数列{an-bn}是首项1、公差为2的等 差数列, ………………④ an-bn=2n-1. ………………⑤ (2)由(1)可知,an+bn= ,an-bn=2n-1,所以an= (an +bn+an-bn)= +n- , ………… ⑥ bn= [(an+bn)-(an-bn)]= -n+ . …………⑦ 【阅卷现场】 第(1)问 第(2)问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1 1 1 2 1 3 3 6分 6分 第(1)问踩点得分说明 ①根据条件求出首项得1分; ②两式相加后利用定义证明是等比数列得1分; ③求出通项公式得1分; ④两式相减后利用定义证明是等差数列得2分; ⑤求出通项公式得1分; 第(2)问踩点得分说明 ⑥由第(1)问的结论两式相加得通项公式得3分; ⑦由第(1)问的结论两式相减得通项公式得3分. 【高考状元·满分心得】 1.解答数列类大题的关键 熟练把握等差数列与等比数列的定义、通项公式、求 和公式及其相应的性质是解数列问题的关键. 2.化归与转化思想的运用 对于给定的数列不是等差与等比数列模型,应利用化归 思想或构造思想,努力使之转化为等比数列与等差数列 模型求解. 3.数列求和的解题技巧 重点要掌握等差数列、等比数列求和公式以及常用的 “错位相减法”“裂项相消法”,解决问题的关键在于 数列的通项公式,根据通项公式的特征准确选择相应的 方法. 【跟踪演练·感悟体验】 1.(2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为 Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1 +bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)记cn= ,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn