2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件:高考大题 满分规范 立体几何类题型
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2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件:高考大题 满分规范 立体几何类题型

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时间:2020-12-23

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资料简介
高考大题•满分规范 立体几何类解答题 【典型例题】 (12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是 BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE. (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 【题目拆解】 本题可拆解成以下几个小问题: (1)①利用三角形中位线和A1D B1C,证明ME ND; ②四边形MNDE为平行四边形,进而证得MN∥DE,根据线 面平行判定定理可证得MN∥平面C1DE. (2)①建立空间直角坐标系,写出平面AMA1的一个法向 量;②待定系数法求出平面MA1N的法向量,最后转化为 求两个法向量的夹角的余弦值,进而求出二面角 A-MA1-N的正弦值. 【标准答案】 【解析】(1)连接ME,B1C,因为M,E分别为BB1,BC中点, 所以ME为△B1BC的中位线, 所以ME∥B1C且ME= B1C. ………………① 又N为A1D中点,且A1Dဌ@ B1C,所以ND∥B1C且ND= B1C, 所以MEဌ@ ND,所以四边形MNDE为平行四边形. ……………… ② 所以MN∥DE,又MN⊄平面C1DE,DE⊂平面C1DE, 所以MN∥平面C1DE. ……………… ③ (2)设AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,由直四棱柱性质可知: OO1⊥平面ABCD,因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD, 则以O为原点,可建立如图所示的空间直角坐标系: ……………… ④ 则:A( ,0,0),M(0,1,2),A1( ,0,4),D(0,-1,0), 取AB中点F,连接DF, 则 ……………… ⑤ 因为四边形ABCD为菱形且∠BAD=60°,所以△BAD为等 边三角形,所以DF⊥AB.又AA1⊥平面ABCD,DF⊂平面 ABCD,所以DF⊥AA1,所以DF⊥平面ABB1A1,即DF⊥平面 AMA1,所以 为平面AMA1的一个法向量,且 ……………… ⑥ 设平面MA1N的法向量n=(x,y,z),又 =( ,-1,2), 所以 令x= ,则y=1,z=-1,所以n=( ,1,-1), ……………… ⑦ 所以cos< ,n>= 所以sin< ,n> = 所以二面角A-MA1-N的正弦值为: ……………… ⑧ 【阅卷现场】 第(1)问 第(2)问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 1 1 2 1 2 1 2 2 4分 8分 第(1)问踩点得分说明 ①根据三角形中位线的性质得出ME∥B1C得1分; ②根据平行四边形的定义证出MNDE为平行四边形得1分 ; ③根据线面平行的判断定理求得结论得2分; 第(2)问踩点得分说明 ④建立空间直角坐标系得1分; ⑤准确地写出各点的坐标得2分; ⑥求出平面AMA1的法向量得1分; ⑦求出平面MA1N的法向量得2分; ⑧求出最终结果得2分. 【高考状元·满分心得】 1.空间中的平行与垂直问题的关键 熟练把握空间中平行与垂直的判定定理是解题的关键. 2.利用向量法求线面角和二面角的关注点 建立恰当的空间直角坐标系,利用待定系数法求出相应 平面的法向量是解题的关键,特别是有关点的坐标的正 确书写一定要谨慎. 3.定理的条件要齐全 在运用定理证明问题时,注意条件的齐全性,例如本题 的第(1)问,一定要指明线在面内、线在面外这些条件, 否则要适当扣分. 4.求点的坐标的注意点 一定要注意坐标的正、负值,这是极其容易出错的地方. 【跟踪演练·感悟体验】 1.(2019·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平 面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中 点,点F在PC上,且   (1)求证:CD⊥平面PAD. (2)求二面角F-AE-P的余弦值. (3)设点G在PB上,且    判断直线AG是否在平面 AEF内,说明理由. 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥CD, 又因为CD⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD. (2)在PD上取点M,使    连接FM, 在△PCD中,又   所以FMဌ@ CD,FM= , 由(1)知,CD⊥平面PAD,所以FM⊥平面PAD,又AE⊂平面 PAD, 所以FM⊥AE, 在△PAD中,E是PD中点,PA=AD=2, 所以AE⊥PD,PD=2 , 又因为FM,PD⊂平面EFM,FM∩PD=M, 所以AE⊥平面EFM,又EF⊂平面EFM,所以AE⊥EF, 所以∠FEM为二面角F-AE-P的平面角. 在△PCD中, 在Rt△EFM中, 所以二面角F-AE-P的余弦值为 (3)取CF中点N,连接DN,GN, 在△PDN中,E,F分别为PD,PN的中点,所以EF∥DN, 在△PBC中, 又BC=3,所以GN∥BC,GN=2, 又因为AD∥BC,AD=2, 所以GNဌ@ AD,四边形ADNG是平行四边形, 所以AG∥DN,又因为EF∥DN,所以AG∥EF,又因为AG与平 面AEF有公共点,所以AG⊂平面AEF. 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为 的 正方形,PA⊥BD. (1)求证:PB=PD. (2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF ⊥平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大小. 【解析】(1)连接AC与BD交于点O,连接PO, 因为底面ABCD是正方形, 所以AC⊥BD且O为BD的中点. 又PA⊥BD,PA∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC, 由于PO⊂平面PAC, 故BD⊥PO. 又BO=DO, 故PB=PD. (2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ, 则EQဌ@ CDဌ@ AF, 所以AFEQ为平行四边形,EF∥AQ, 因为EF⊥平面PCD, 所以AQ⊥平面PCD, 所以AQ⊥PD,PD的中点为Q, 所以AP=AD= . 由AQ⊥平面PCD,又可得AQ⊥CD, 又AD⊥CD,AQ∩AD=A,所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥PA,又BD⊥PA,BD∩CD=D,所以PA⊥平面ABCD. 由题意,AB,AP,AD两两垂直, 以A为坐标原点,向量 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B( ,0,0), 为平面PCD的一个法向量. 设直线PB与平面PCD所成角为θ,则sin θ= 所以直线PB与平面PCD所成角为

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