2020高考理科数学二轮专题辅导通用版课件： 高考专题突破 数列 数列的简单问题

数列的简单问题 考向一 由递推关系求通项 (压轴题型考点) 【典例】 1.已知数列{an}满足a1=1,且 则数列{an}的通项公式为 (  ) C.an=n+2 D.an=(n+2)3n 【解析】选B.由an= an-1+ (n≥2且n∈N*)得,3nan= 3n-1an-1+1,3n-1an-1=3n-2an-2+1,…,32a2=3a1+1,以上各式 相加得3nan=n+2,故an= . 2.(2019·天津一模)已知数列{an}满足:a1= , ,则数列{an}的通项公式为 an= (  ) 【解析】选C.通解:an+1-1= = (an-1), 令bn=an-1, 则 从而得到 , 又b1=a1-1=- ,得bn= b1 , 所以an= . 优解:a1= =1- ,a2= =1- ,a3= =1- , …,归纳可得an=1- . 3.数列{an}中,an>0,前n项和为Sn,且 ,则数列{an}的通项公式为________. 【解析】由Sn= ,an>0,(n∈N*)得a1= , 解得a1=1,又Sn-1 = (n≥2), 两式相减得2an= + an-an-1, 化简得(an+an-1)(an-an-1-1)=0, 因为an+an-1≠0, 则an-an-1=1(n≥2), 则数列{an}是首项和公差都等于1的等差数列,则an=n. 答案:an=n 【题眼直击】 题目 题眼 思维导引 1. ① 相邻两项成同一倍数关系,想到用叠加法求数列的通项. 2. ② 相邻两项的倍数关系与n有关,想到用叠乘法求数列的通项. 3. ③ 已知an与Sn的关系,想到利用通项an与前n项和Sn之间的关系求解. 【拓展提升】 求数列通项常用的方法 (1)定义法:①形如an+1=an+C(C为常数),直接利用定义 判断其为等差数列. ②形如an+1=kan(k为非零常数)且首项不为零,直接利用 定义判断其为等比数列. (2)叠加法:形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3- a2)+…+(an-an-1),求其通项公式. (3)叠乘法:形如 =f(n)≠0,利用an=a1· , 求其通项公式. (4)待定系数法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数, pq(p-1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为 an+1-t=p(an-t),其中t= ,再转化为等比数列求解. (5)构造法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p- 1)≠0),先在原递推公式两边同除以qn+1,得 , 构造新数列{bn} ,得bn+1= ·bn+ ,接下来 用待定系数法求解. 【变式训练】 1.数列{an}满足a1=2,an+1= an,n∈N*,则an=___. 【解析】由已知 所以由a1=2,an= =(n+1)2n-1. 答案:(n+1)2n-1 2.已知数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线 4x-y+1=0上,则数列{an}的通项公式为________. 【解析】点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上, 有4an-an+1+1=0.即an+1=4an+1, 得an+1+ . 所以 是公比为4,首项为a1+ 的等比数列. an+ ·4n-1, 故有an= ·4n-1- 答案:an= ·4n-1- 【补偿训练】    已知在数列{an}中,an+1= an (n∈N*),且a1=4, 则数列{an}的通项公式an=________. 【解析】由an+1= an ,得 两边分别相乘,得 ,由a1=4,得an= . 答案: 考向二 数列求和 (压轴题型考点) 【典例】 1.(2019·洛阳一模)已知Sn是非零数列{an}的前n项的 和,且Sn=2an-1①,则S2 020等于 (  ) A.1-22 019 B.22 020-1 C.22 019-1 D.1-22 020 【解析】选B.因为Sn=2an-1,所以S1=1,且Sn=2(Sn- Sn-1)-1,即Sn=2Sn-1+1,得Sn+1=2(Sn-1+1), 由此可得数列{Sn+1}是首项为2,公比为2的等比数列, 得Sn+1=2n,即Sn=2n-1,所以S2 020=22 020-1. 2.已知函数 则a1+a2+a3+…+a100= (  ) A.0 B.100 C.-100 D.10 200 【解析】选B.由题意,a1+a2+a3+…+a100=12- 22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012= -(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)= -(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100. 3.已知Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1, , 则S2 021=________. 【解析】由anan+1=3n,得an-1an=3n-1(n≥2), 所以 =3(n≥2), 则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的 等比数列,又a1=1,a1a2=3,所以a2=3, 所以S2 021= 31 011-2. 答案:31 011-2 【题眼直击】 题目 题眼 思维导引 1. ① an与Sn的关系式,想到分析出数列模型,运用求和公式求解 2. ② 奇数项与偶数项的表达式不同,想到分组转化求和 3. ③ 相邻两项的关系与n有关,想到构造新数列求和 【拓展提升】 分类讨论思想在数列求和中的应用 (1)当数列通项中含有(-1)n时,在求和时要注意分n为奇 数与偶数处理. (2)对已知数列满足 =q,在求{an}的前n项和时分奇数 项和偶数项分别求和. 【变式训练】 1.数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn= an+1,bn= log2an,则数列 的前n项和Tn=________. 【解析】a1=2,Sn= an+1,n≥2时, Sn-1= an, 两式作差,得an= an+1- an, 化简得 =2, 检验:当n=1时,S1=a1= a2, 即a2=4, =2, 所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列; an=2n,bn=log2an=n, , 前n项和Tn= 答案: 2.若数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且a1=1, Sn+1+Sn= (n∈N*),则a25=________. 【解析】因为Sn+1+Sn= (n∈N*), 所以Sn+Sn-1= (n≥2), 所以Sn+1+Sn-Sn-Sn-1= , 所以an+1+an= ,所以an+1- , 所以a2- =-2, 解得a2= -1,a2=-1- (舍去), 所以a3- , 解得a3= ,a3= (舍去), a4- 解得a4= ,a4=- (舍去),于是可以猜 想,a25= . 答案: 考向三 数列与其他知识的综合问题 (压轴题型考点) 【典例】1.设曲线y=2 020xn+1(n∈N*)在点(1,2 020) 处的切线①与x轴的交点的横坐标为xn,令an=log2 020xn, 则a1+a2+…+a2 019的值为 (  ) A.2 020 B.2 019 C.1 D.-1 【解析】选D.因为y′=2 020(n+1)xn,所以切线方程是 y-2 020=2 020(n+1)(x-1),所以xn= , 所以a1+a2+…+a2 019=log2 020(x1·x2·…·x2 019)= log2 020 =log2 020 =-1. 2.(2019·潍坊二模)已知函数f(n)=n2cos(nπ)②, 且an=f(n),则a1+a2+…+a100= (  ) A.0 B.100 C.5 050 D.10 200 【解析】选C.a1+a2+a3+…+a100=-12+22-32+42-…-992+ 1002=(22-12)+(42-32)+…+(1002-992)=3+7+…+199= =5 050. 3.在数列{an}中,a1+ =2n-1(n∈N*),且a1= 1,若存在n∈N*使得an≤n(n+1)λ成立③,则实数λ的最 小值为________. 【解析】方法一:依题意得,数列 的前n项和为2n-1, 当n≥2时, =(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,且 =21-1=1=21-1, 因此 =2n-1(n∈N*), .记bn= , 则bn>0, =1,bn+1>bn,数列 {bn}是递增数列,数列{bn}的最小项是b1= .依题意得, 存在n∈N*使得λ≥ =bn成立,即有λ≥b1= , λ的最小值是 . 方法二:由方法一知an=n·2n-1,因为an≤n(n+1)λ,所以 n·2n-1≤n(n+1)λ,所以λ≥ ,由方法一知,当n=1 时, 有最小值 ,所以λ≥ ,所以λ最小值为 . 答案: 【题眼直击】 题目 题眼 思维导引 1. ① 由曲线的切点想到导数的几何意义 2. ② 正负相间想到并项求和 3. ③ 分离参数求不等式恒成立问题 【拓展提升】 数列与不等式的交汇多为不等式恒成立与证明和形式 的不等式,在求解时要注意等价转化即分离参数法与放 缩法的技巧应用. 【变式训练】 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-9,a2+a3=-12, 则使Sn取得最小值时n的值为 (  ) A.2 B.4 C.5 D.7 【解析】选C.因为a2+a3=2a1+3d=-18+3d=-12, 解得d=2,从而有Sn=-9n+ ×2=n2-10n=(n-5)2- 25,所以当n=5时,Sn最小. 2.已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N*),a2+a4+ a6=9,则 (a5+a7+a9)= (  ) A.- B. C.-5 D.5 【解析】选C.由1+log3an=log3an+1(n∈N*)得an+1=3an(n ∈N*),所以数列{an}为等比数列,且公比为3,因此由a2 +a4+a6=9得a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×q3=9×33=35,所以 (a5+a7+a9)= 35=-5. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1,若不等式2n2-n-3< (5-λ)an对∀n∈N*恒成立,则整数λ的最大值为 ________. 【解析】当n=1时,a1=S1=2a1-22,解得a1=4,当n≥2时, Sn-1=2an-1-2n,则an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n,得an=2an-1+2n, 所以 所以数列 是以2为首项,1为公差的等差数列, =n+ 1,即an=(n+1)·2n.因为an>0,所以不等式2n2-n-3 .记bn= ,当n≥2时, ,所以当n≥3时, ,λ