两个平面可能有哪些位置关系呢?
现观察长方体A-C1的各个面的关系:
图形表示
符号表示
公共点
两平面相交两平面平行位置关系
有一条公共直线没有公共点画两个相交平面的要点是：
先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，
再画表示两个平面交线的线段 命题1．如果两个平面平行，那么其中一个平面
内的所有直线一定都和另一个平面平行．
命题2．如果一个平面内的所有直线都和另一个
平面平行，那么这两个平面平行．
1.平面平行平面平行的判定定理:
如果一个平面内的两条相交直
线分别平行于另一个平面,那么这两
个平面平行.
例1.如图,在长方体A-C1中.
求证:面AB1D1//面BDC1
A
1
A B
B1
C
C1
D
D1判断下列命题的正误：
1．垂直于同一直线的两直线平行．
2．分别在两个平行平面内的两条直线
都平行
3．如果一个平面内的两条直线平行于
另一个平面，那么这两个平面平行
4．如果一个平面内的任何一条直线都
平行于另一个平面，那么这两个平面平
行 A B
CD
A1 B1
C1D1
证明：
BD∥B1D1
∩
BD 面BDC1
∩
B1D1 面BDC1
B1D1∥面BDC1
同理： AB1∥面BDC1
B1D1∩AB1=B1
面AB1D1∥
面BDC1
线∥线 线∥面 面∥面
例1.如图,在长方体A-C1中.
求证:面AB1D1//面BDC1A B
CD
A1 B1
C1D1
证法2：
AC⊥BD
A1A⊥面AC
A1C在面AC上
的射影为AC
A1C⊥BD
BD∩BC1=B
A1C⊥BC1同理: A1C⊥面BDC1
同理:A1C⊥面AB1D1变形1:如图，在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
E,F,G分别为A1D1, A1B1,
A1A的中点
求证：面EFG∥面BDC1
变形2:若O为BD上的点
求证：OC1 ∥面EFG
O
面∥面
由上知
面EFG∥面BDC1
∩
OC1 面BDC1
A B
CD
A1 B1
C1D1E
F
G
线∥面
OC1 ∥面EFG变形3:如图,在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
E,F,M,N分别为A1B1,
A1D1, B1C1, C1D1 的
中点 A B
CD
A1 B1
C1D1
E
F
N
M
求证：面AEF∥面BDMN思考:如果两个平面平行,那么;
1.一个平面内的一条直线是否平行于另一个平面?
2.分别在两平面内的两条直线的位置关系是____.
两平行平面的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三
个平面相交,那么它们的交线平行.例2.求证:如果一条直线垂直于
两个平行平面中的一个,那么它
也垂直于另一个平面.
A
B判断下列命题是否正确？
1、平行于同一直线的两平面平行
2、垂直于同一直线的两平面平行
3、与同一直线成等角的两平面平行
α
β
α
β
θ
θ
α
β
θ
θ4、垂直于同一平面的两平面平行
5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β
6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β∩
∩
α
βn
m
γ
βα定义: 与两平行平面都垂直的直线叫做这两个
平行平面的公垂线.夹在两平行平面之间的公垂
线段叫做两平行平面间的距离.
练习:
1.判断下列命题是否正确.说明理由;
(1)一平面内两条直线分别平行于另一个平面,则
这两平面平行;
(2)一平面内无数条直线分别平行于另一个平面,
则这两平面平行;
(3)平行于同一条直线的两个平面平行；
(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面
平行；
(5)过平面外一条直线必能作出与已知平面平行
的平面。2.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有多少对?
3.如图,E,F,E1,F1,分别
是长方体棱的中点.
求证:平面ED1//平面BF1
A
1
A B
B1
C
C1
D
D1
E
E1
F
F1
4.求证:夹在两平行平面间的平行线段相等.
B
A C
D复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
二面角2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a,
b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异
面直线所成的角。
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫
做这条直线和这个平面所成的角。 思考：异面直线所成的角、直线和平面
所成的角与有什么共同的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转
化为二维空间的角,即平面角。
拦
洪
坝
水平面 一个平面内的一条直线把这个平面分成两
个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个
部分，其中的每一部分都叫做射线。O
B
A
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫
做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面
角的面。
平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。
l
A
B
P
Q
二面角的表示
l
二面角－ l－
二面角C－AB－ D
A
B
C
D
二面角的画法
C
EF
D
A B角
图形
构成
表示法
•O
顶点
边
边
A
B
二面角
从平面内一点出
发的两条射线所
组成的图形.
从空间一条直线出
发的两个半平面所
组成的图形.
定义
射线 点 射线 半平面 棱 半平面
AOB 二面角 a 或 AB
a
棱
面
面
A B 以二面角的棱上任意一点为
端点，在两个面内分别作垂直于
棱的两条射线，这两条射线所成
的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角的度量
l
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
二面角的大小的范围:
l
二面角的平面角的作法：
1、定义法
3、垂面法
2、三垂线定理法练习：指出下列各图中的二面角的平面角：
B
A
C
D
A’
A
B’
C’
C
D’
D
B
二面角B--B’C--A
A
D
B
C
l
二面角--l--
OE
O
O
二面角A--BC--D
D
A
OD
例1 已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的
距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的
大小。
解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得 AD⊥ l
∴AO=2 ，AD=4
∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
∵sin∠ADO=
∴ ∠ADO=60°
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
在Rt △ADO中，
AO
AD
①
②
③
l二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”A B
D C
A1 B1
D1 C1
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D
的大小？
O
此法为三垂
线找平面角
的方法在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD
的中点，求二面角C1—EF—C的大小？
E
F
A B
D C
A1 B1
D1 C1过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD
，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45
度角，求二面角B—SC—D的大小？
A
B C
D
S
O
EA
B
C
A`
M
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射
影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的
面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
D3.两平面垂直
平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面
的一条垂线,那么这两平面垂直
平面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么
在一个平面内垂直于它们交线的
直线垂直于另一个平面.
D
B
A
E例3.求证:如果两个平面垂直,那么经
过第一个平面内的一个点垂直于第二
个平面的直线必在第一个平面内。在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC
的顶点P在底面ABC内的射影位置
在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC
的顶点P在底面ABC内的射影位置
1、三条侧棱相等
2、侧棱与底面所成的角相等
3、侧面与底面所成的角相等
4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等
5、三条侧棱两两垂直
6、相对棱互相垂直
7、三个侧面两两垂直
外心
外心
内心
内心
垂心
垂心
垂心四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面
ABD ⊥面BCD，设DE是BC边上的高，
求证： 平面ADE ⊥面ABC
A
B
C E
D
面ADC⊥面BCD
面ABD ⊥面BCD
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC
DE ⊥BC
BC ⊥面ADE
面ABC ⊥面ADE
①
②
③
④
线面垂直面面垂直 线线垂直
① ②
③④C
D
B
A
EC
D
B
A
E
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