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三年高考+解题规律
专题 12 平面向量
命题规律 内 容 典 型
１ 以平面图形为背景考查平面向量的线性运算 2018 年高考全国 I 卷
２ 平面向量的垂直与平行 2020 年高考全国Ⅱ卷理数 13
３ 平面向量向量数量积 2020 年高考山东卷 7
４ 平面向量夹角计算 2020 年高考全国Ⅲ卷理数 6
５ 平面向量模的计算 2020 年高考全国Ⅰ卷理数 14
6 平面向量综合问题 2019 年高考江苏卷
命题规律一 以平面图形为背景考查平面向量线性运算
【解决之道】结合平面图形，以所求向量为边构造三角形或平行四边形，利用向量加法或减法的三角形法
则将所求向量表示出来，再将所用到的向量利用相同的方法用临近的向量表示出来，直到用已知向量表示
出来，注意利用用实数与平面向量的积、中点公式得向量形式、三点共线的充要条件,可以简化计算.
【三年高考】
1.【2018 年高考全国 I 卷理数】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，所以 ，故选 A.
命题规律二 平面向量的垂直与平行
ABC△ AD BC E AD EB =
3 1
4 4AB AC− 1 3
4 4AB AC−
3 1
4 4AB AC+ 1 3
4 4AB AC+
( )1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC= + = + = + +
1 1 1 3 1
2 4 4 4 4BA BA AC BA AC= + + = + 3 1
4 4EB AB AC= −
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三年高考+解题规律
【解决之道】平面向量平行问题，利用向量平行的充要条件进行处理；平面向量垂直问题，利用向量数量
积等于 0 求解.
【三年高考】
1.【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 13】已知单位向量 的夹角为 45°， 与 垂直，则 __________．
【答案】
【解析】由题意可得： ，由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： ，故答案为： ．
2.【2018 年高考北京卷理数】设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“a⊥b”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ，因为 a，b 均
为单位向量，所以 a⊥b，即“ ”是“a⊥
b”的充分必要条件.故选 C.
3.【2018 年高考全国 III 卷理数】已知向量 ， ， ．若 ，则
___________．
【答案】
【解析】由题可得 ， ， ， ，即 ，故答案为 .
命题规律三 平面向量数量积
【解决之道】对平面向量的数量积，若不能向量不能用坐标表示，利用平行向量数量积的定义、几何意义
求解，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，
在利用数量积的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值.
【三年高考】
1.【2019 年高考全国 II 卷理数】已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =（ ）
ba, k ba − a =k
2
2
21 1 cos45 2a b
→ →
⋅ = × × = 0k a b a
→ → → − ⋅ =
2 2 02k a a b k
→ → →
× − ⋅ = − = 2
2k = 2
2
3 3− = +a b a b
2 22 2 2 26 9 9 +63 3 3 3− = + − =⇔ ⇔ − ++ ⋅ = ⋅ +aa b a b a b a b a b b a a b b
2 2 2 26 9 9 +6 =0− ⋅ + = ⋅ + ⇔ ⋅ ⇔a a b b a a b b a b 3 3− = +a b a b
( )= 1,2a ( )= 2, 2−b ( )= 1, λc ( )2∥c a + b λ =
1
2
( )2 4,2+ =a b ( )2 ∥c a + b ( )= 1, λc 4 2 0λ∴ − = 1
2
λ = 1
2
AB AC | |BC AB BC⋅
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三年高考+解题规律
A．−3 B．−2
C．2 D．3
【答案】C
【 解 析 】 由 ， ， 得 ， 则 ，
．故选 C．
2.【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．4 B．3
C．2 D．0
【答案】B
【解析】因为 ,所以选 B.
3.【2019 年高考天津卷理数】在四边形 中， ，点
在线段 的延长线上，且 ，则 ___________．
【答案】
【 解 析 】 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， ∠ DAB=30° ， 则 ，
.
因为 ∥ ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以直线
的斜率为 ，其方程为 ，直线 的斜率为 ，其方程为 .
由 得 ， ，所以 .所以 .
(1, 3)BC AC AB t= − = − 2 21 ( 3) 1BC t= + − = 3t = (1,0)BC =
(2,3) (1,0) 2 1 3 0 2AB BC = = × + × =
a b | | 1=a 1⋅ = −a b (2 )⋅ − =a a b
( ) ( )2 22 2 2 | | 1 2 1 3⋅ − = − ⋅ = − − = + =a a b a a b a
ABCD , 2 3, 5, 30AD BC AB AD A= = ∠ = °∥ E
CB AE BE= BD AE⋅ =
1−
2 3, 5,AB AD= = (2 3,0)B
5 3 5( , )2 2D
AD BC 30BAD∠ = ° 30ABE∠ = ° AE BE= 30BAE∠ = ° BE
3
3
3 ( 2 3)3y x= − AE 3
3
− 3
3y x= −
3 ( 2 3),3
3
3
y x
y x
= −
= −
3x = 1y = − ( 3, 1)E − 3 5( , ) ( 3, 1) 12 2BD AE = − = −
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三年高考+解题规律
4.【2020 年高考山东卷 7】已知 是边长为 的正六边形 内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一： 的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到 在 方向上的投影的取值范围是
，结合向量数量积的定义式，可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，所以
的取值范围是 ，故选：A．
解法二：如图，建立平面直角坐标系 ，由题意知 ， ， ， ，设
，则 ，∵ ，∴ ，∴ 的取值范围是 ．
5.【2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形 ABCD 中，
若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为 （ ）
P 2 ABCDEF AP AB⋅
( 2 , 6)− ( 6 , 2)− ( 2 , 4)− ( 4 , 6)−
AB AP AB
( 1,3)− AP AB⋅ AB AP AB
AP AB⋅ ( )2,6−
A xy− (0,0)A (2,0)B (3, 3)C ( 1, 3)F −
( , )P x y 1 3x− < < ( , ) (2,0) 2AP AB x y x⋅ = ⋅ = 2 2 6x− < < AP AB⋅ ( 2, 6)− , , 120 ,AB BC AD CD BAD⊥ ⊥ ∠ = 1,AB AD= = AE BE⋅
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三年高考+解题规律
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接 AD,取 AD 中点为 O,可知 为等腰三角形，而 ，所以
为等边三角形， .设 ，∴ =
=
= = ， 所 以 当 时 ，
上式取最大值 ，故选 A.
6. 【 2020 年 高 考 天 津 卷 15 】 如 图 ， 在 四 边 形 中 ， ， ， 且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，
则 的最小值为_________．
【答案】
【解析】 ， ， ，
，解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
21
16
3
2
25
16 3
ABD△ ,AB BC AD CD⊥ ⊥ BCD△
3BD = ( )0 1DE tDC t= ≤ ≤ AE BE⋅ ( ) ( )AD DE BD DE+ ⋅ +
( ) 2
AD BD DE AD BD DE⋅ + ⋅ + + 23
2 BD DE DE+ ⋅ + 2 3 33 2 2t t− + ( )0 1t≤ ≤ 1
4t =
21
16
ABCD 60 , 3B AB°∠ = = 6BC =
3, 2AD BC AD ABλ= ⋅ = − λ ,M N BC | | 1MN =
DM DN⋅
1
6
13
2
AD BCλ=
//AD BC∴ 180 120BAD B∴∠ = − ∠ =
cos120AB AD BC AB BC ABλ λ⋅ = ⋅ = ⋅ 1 36 3 92 2
λ λ = × × × − = − = −
1
6
λ =
B BC x xBy
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三年高考+解题规律
则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 ，故答案为： ； ．
7.【2018 年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 、 ， 、 是 轴上的两个动点，
且 ，则 的最小值为___________．
【答案】-3
【解析】根据题意，设 E（0，a），F（0，b），∴ ，∴a=b+2，或 b=a+2，且
，∴ ，当 a=b+2 时，
；∵b2+2b﹣2 的最小值为 ；
∴ 的最小值为﹣3，同理求出 b=a+2 时， 的最小值为﹣3．
命题规律四 平面向量的夹角计算
【解决之道】对平面向量的夹角问题，若不能向量不能用坐标表示，先求出相关向量的数量积及向量模，
再利用平行向量夹角公式求解，利用向量的夹角公式计算，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐
标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用向量夹角公式的坐标形式求解，若是最值问
题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值.
【三年高考】
5 3 3,2 2D
( ),0M x ( )1,0N x + 0 5x≤ ≤
5 3 3,2 2DM x
= − −
3 3 3,2 2DN x
= − −
( )
2
225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x
⋅ = − − + = − + = − +
2x = DM DN⋅ 13
2
1
6
13
2
( )1 0A − ， ( )2 0B ， E F y
| | 2EF = AE BF⋅
2EF a b= − =
( ) ( )1, 2,AE a BF b= = − ， 2AE BF ab⋅ = − +
( ) 22 2 2 2AE BF b b b b⋅ = − + + ⋅ = + − 8 4 34
− − = −
AE BF⋅ AE BF⋅
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三年高考+解题规律
1.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 6】已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ， ．
，因此
．故选 D．
2.【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足 ，且 b，则 a 与 b 的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 b，所以 =0，所以 ，所以 = ，
所以 a 与 b 的夹角为 ，故选 B．
3.【2019 年高考北京卷理数】设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 与 的夹角为锐角，所以 ，即
，因为 ，所以| + |>| |；
当| + |>| |成立时，| + |2>| - |2 • >0，又因为点 A，B，C 不共线，所以
与 的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选 C．
4.【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若 ，则 ___________.
,a b 5 , 6 , 6= = ⋅ = −a b a b cos , + =a a b
35
31−
35
19−
35
17
35
19
5a =
6b = 6a b⋅ = − ( ) 2 25 6 19a a b a a b∴ ⋅ + = + ⋅ = − =
( )2 2 2
2 25 2 6 36 7a b a b a a b b+ = + = + ⋅ + = − × + =
( ) 19 19cos , 5 7 35
a a b
a a b
a a b
⋅ +
< + >= = =×⋅ +
| | 2 | |=a b ( )−a b ⊥
π
6
π
3
2π
3
5π
6
( )−a b ⊥ 2( )− ⋅ = ⋅ −a b b a b b 2⋅ =a b b cosθ
2
2
| | 1
2 | | 2
⋅ = =⋅
a b b
a b b
π
3
AB AC | | | |AB AC BC+ >
AB AC 2 2 2 2| | | | 2 | | | | 2AB AC AB AC AB AC AB AC+ + ⋅ > + − ⋅
2 2| | | |AB AC AC AB+ > − AC AB BC− = AB AC BC
AB AC BC AB AC AB AC AB⇒ AC
AB AC AB AC AB AC BC
2 5= −c a b cos , =a c
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三年高考+解题规律
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，
，所以 ，所以
5.【2020 年高考浙江卷 17】设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ，
的夹角为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，解得： ，
，
设 ，
则 ，
当 时， ，∴ 的最小值是 ．
命题规律五 平面向量模的计算
【解决之道】对平面向量模的计算问题，若不能向量不能用坐标表示，利用向量的模的平方等于向量的平
方，利用向量数量积的运算性质求解，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建
立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用向量模公式的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的
函数问题，在利用相关方法求其最值.
【三年高考】
1.【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 14】设 为单位向量，且 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ 为单位向量，∴ ，
∴ ，解得： ，
2
3
2 5= −c a b 0⋅ =a b 22 5⋅ = − ⋅a c a a b 2=
2 2 2| | 4| | 4 5 5| | 9= − ⋅ + =c a a b b | | 3=c cos , =a c 2 2
1 3 3
⋅ = =×⋅
a c
a c
1e 2e 1 22 | 2| − ≤e e 1 2= +a e e 1 23= +b e e a b
θ 2cos θ
28
29
( )2
1 2 1 22 2 2 2e e e e− ≤ ⇔ − ≤ 1 2
3
4e e⋅ ≥
( )( )
( ) ( )
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
3cos
3
e e e ea b
a b e e e e
θ + +⋅= =
+ × +
1 2
1 2 1 2
4 4
2 2 10 6
e e
e e e e
+ ⋅=
+ × +
1 2e e x⋅ =
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
22 2
16 1 16 1 4 1 4 1 4cos 22 2 10 6 12 32 20 3 8 5 3 1 2 1 3 1
x x x x
x x x x x x x x
x
θ + + + += = = = =+ + + + + + + + + + +
3
4x ≥ 2 28 4cos ,29 3
θ ∈
2cos θ 28
29
,a b 1+ =a b − =a b
3
,a b 1= =a b
( ) 2 22 2 2 2 1+ = + = + ⋅ + = + ⋅ =b ba a a ab b ba 2 1⋅ = −a b
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三年高考+解题规律
∴ ，故答案为： ．
2.【2020 年高考江苏卷 13】在 中， ， ， ， 在边 上，延长
到 ，使得 ，若 （ 为常数），则 的长度是 ．
【答案】
【解析】由向量系数 为常数，结合等和线性质可知 ，
故 ， ，故 ，故 ．
在 中， ；在 中，由正弦定理得 ，
即 ．
3.【2020 年高考北京卷 13】已知正方形 的边长为 ，点 满足 ，则
________； __________．
【答案】 ，
【解析】分别以 为 轴， 轴建立直角坐标系，则 ， ， ， ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵ ，∴ ．
4.（2018 年高考浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b
满足 b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A． −1 B． +1
C．2 D．2−
【答案】A
( ) 2 22 2 3− = − = − ⋅ + =b b ba ba a a 3
ABC∆ 4AB = 3AC = 90BAC∠ = ° D BC AD
P 9AP = 3( )2PA mPB m PC= + − m CD
18
5
3 3( )2 2m m+ − =
3
2
1
PA
PD
=
2 63PD PA= = 3AD PA PD AC= − = = C CDA∠ = ∠ 2CAD Cπ∠ = −
ABC∆ 3cos 5
ACC BC
= = ADC∆
sin sin
CD AD
CAD C
=∠
sin( 2 ) sin 2 3 182cos 2 3sin sin 5 5
C CCD AD AD C ADC C
π −= ⋅ = ⋅ = ⋅ = × × =
ABCD 2 P ( )1
2AP AB AC= + PD =
PB PD⋅ =
5 1−
ABAD x y (0,0)A (2,0)B (2, 2)C − (0,2)D
1 ( )2AP AB AC= + 1[(2,0) (2,2)] (2,1)2
= + = (2,1)P ( 2,1)PD = −
2 2| | ( 2) 1 5PD = − + = (0, 1)PB = − 2 0 1 ( 1) 1PB PD = − × + × − = −
π
3
3 3
3
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三年高考+解题规律
【解析】设풂 = (푥,푦),풆 = (1,0),풃 = (푚,푛)，则由⟨풂,풆⟩ = π
3得풂 ⋅ 풆 = |풂| ⋅ |풆|cosπ
3,푥 = 1
2 푥2 + 푦2, ∴ 푦 =± 3푥，
由 b2−4e·b+3=0 得푚2 + 푛2 ― 4푚 +3 = 0,(푚 ― 2)2 + 푛2 = 1,因此|a−b|的最小值为圆心(2,0)到直线푦 =± 3
푥的距离 减去半径 1，为 3 ― 1.选 A.
命题规律六 平面向量综合问题
【解决之道】平面向量中综合问题的 2 种解题思路
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有
解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【三年高考】
1.【2020年高考上海卷12】已知 是平面内两两互不相等的向量，满足
且 （其中 ），则 的最大值为 ．
【答案】6
【解析】根据条件不妨设 ， ， ，
，当 ，表示圆心为原点，半径为 1 的圆；
，表示圆心为原点，半径为 2 的圆，如图这两个圆用红色线表示；
当 ，表示圆心为 ，半径为 1 的圆；
，表示圆心为 ，半径为 2 的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，
由条件可知点 既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有 6 个交点，即 是最大值是
6．故答案为：6．
2 3 = 32
( )*
1 2 1 2, , , , , ka a b b b k… ∈N
1 2| | 1a a− =
| | {1,2}i ja b− ∈ 1,2, 1,2, ,i j k= = k
( )1 0,0a = ( )2 0,1a = ( ),jb x y=
{ }1,2i ja b− ∈
2 2
1 1 1ja b x y− = ⇒ + =
2 2
1 2 4ja b x y− = ⇒ + =
( )22
2 1 1 1ja b x y− = ⇒ + − = ( )1,0
( )22
2 2 1 4ja b x y− = ⇒ + − = ( )1,0
( ),x y k
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三年高考+解题规律
2.【2019 年高考江苏卷】如图，在 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点
.若 ，则 的值是___________．
【答案】 .
【 解 析 】 如 图 ， 过 点 D 作 DF//CE ， 交 AB 于 点 F ， 由 BE=2EA ， D 为 BC 的 中 点 ， 知
BF=FE=EA,AO=OD．
，
，
得 即 故
3.【2019 年高考浙江卷】已知正方形 的边长为 1，当每个 取遍 时，
的最小值是___________；最大值是
___________．
【答案】0； .
【解析】以 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.
ABC△
O 6AB AC AO EC⋅ = ⋅ AB
AC
3
( ) ( ) ( )36 3 2AO EC AD AC AE AB AC AC AE= − = + −
( ) 2 23 1 3 1 1
2 3 2 3 3AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC = + − = − + −
2 2 2 23 2 1 1 3
2 3 3 2 2AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC = − + = − + =
2 21 3 ,2 2AB AC= 3 ,AB AC= 3AB
AC
=
ABCD ( 1,2,3,4,5,6)i iλ = ±1
1 2 3 4 5 6| |AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ+ + + + +
2 5
, AB AD
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三年高考+解题规律
则 ,
令
0.
又因为 可取遍 ，
所以当 时，有最小值 .
因为 和 的取值不相关， 或 ，
所以当 和 分别取得最大值时，y 有最大值，
所以当 时，有最大值 .
4.【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， ，
以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ．若 ，则点 的横坐标为___________．
【答案】3
【解析】设 ，则由圆心 为 中点得 易得
，与 联立解得点 的横坐标 所以 .所以
，
(1,0), (0,1), ( 1,0), (0, 1), (1,1), ( 1,1)AB BC CD DA AC BD= = = − = − = = −
( ) ( )2 2
1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6y AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ= + + + + + = − + − + − + + ≥ 0
( 1,2,3,4,5,6)i iλ = 1±
1 3 4 5 6 21, 1λ λ λ λ λ λ= = = = = = − min 0y =
( )1 3 5
λ λ λ− + ( )2 4 5
λ λ λ− + 6 1λ = 6 1λ = −
( )1 3 5
λ λ λ− + ( )2 4 5
λ λ λ− +
1 2 5 6 3 41, 1λ λ λ λ λ λ= = = = = = − 2 2
max 2 4 20 2 5y = + = =
xOy A : 2l y x= ( )5,0B
AB C l D 0AB CD⋅ = A
( ),2 ( 0)A a a a > C AB 5 , ,2
aC a
+
( )( ) ( ): 5 2 0C x x a y y a− − + − = 2y x= D 1,Dx = ( )1,2D
( ) 55 , 2 , 1 ,22
aAB a a CD a
+ = − − = − −
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三年高考+解题规律
由 得 或 ，
因为 ，所以
0AB CD⋅ = ( ) ( )( ) 255 1 2 2 0, 2 3 0, 32
aa a a a a a
+ − − + − − = − − = = 1a = −
0a > 3.a =
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