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专题 19 三角恒等变换
【高考地位】
三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变
换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵
活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发
展数学逻 辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填
空题和解答题，其试题难度属中档题.
方法一 运用转化与化归思想
万能模板 内 容
使用场景 含不同角的三角函数式类型
解题模板 第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；
第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；
第三步 得出结论.
例 1 已知 ，则 的值为__________．
【答案】
【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式：
第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变：
第三步，得出结论:
，故答案为 .
1sin 3 3x
π + =
5sin 23 3x cos x
π π − − −
4
9
ππππππ −
+=−
+−=−
3232,323
5 xxxx
5 cos 2 2 cos 23 3 3 3sin x x sin x x
π π π ππ π − − − = − + − + −
2cos2 1 2sin3 3 3 3sin x x sin x x
π π π π = − + + + = − + + − +
5sin 23 3x cos x
π π − − −
1 2 413 9 9
= − + − = 4
9 2 / 23
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【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑．
【变式演练 1】【2020 届高三第五次模拟】已知 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后利用两角和的正弦公式
计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以 ，解得 或 ，因为
，所以 ，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
【变式演练 2】【2020 届吉林省高三第二次模拟】设 ， ，则
的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
,02
πθ ∈ −
cos2 sin 0θ θ+ = sin 4
πθ + =
2 3
2
− 6 2
4
− 6 2
4
+ 2 3
4
+
sinθ cosθ
cos2 sin 0θ θ+ = 21 2sin sin 0θ θ− + = sin 1θ = 1sin 2
θ = −
,02
πθ ∈ −
1sin 2
θ = − 2 3cos 1 sin 2
θ θ= − =
1 2 3 2 6 2sin sin cos cos sin4 4 4 2 2 2 2 4
π π πθ θ θ − + = + = − × + × =
1tan 2
α = 4cos( ) ( (0, ))5
π β β π+ = − ∈
tan 2( )α β−
7
24
− 5
24
−
5
24
7
24 3 / 23
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利用倍角公式求得 的值，利用诱导公式求得 的值，利用同角三角函数关系式求得 的值，
进而求得 的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
， ，
， ，
， ， ，
，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，
正切差角公式，属于基础题目.
方法二 运用函数方程思想
万能模板 内 容
使用场景 一般三角函数类型
解题模板 第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方
程；
第二步 求解方程组；
第三步 得出结论.
例 2 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程：
由 可得：
tan 2α cos β sin β
tanβ
1tan 2
α = 2
2tan 4tan2 1 tan 3
αα α= =−
( ) 4cos cos5
π β β+ = − = − ( )( 0,β π∈
4cos 5
β∴ = 3sin 5
β = 3tan 4
β =
( )
4 3
tan2 tan 73 4tan 2 4 31 tan2 tan 241 3 4
α βα β α β
−−− = = =+ + ×
1sin 4 3x
π + = sin4 2cos3 sinx x x− =
7
9
7
9
− 4 2
9
4 2
9
−
( )sin4 sin 3 x sin3xcosx cos3xsinxx x= + = + 4 / 23
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第二步，得出结论：
所以原式 ，故选：B
【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可
以把某个三角函数式看作未知数 ，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.
【变式演练 3】【陕西省西安市八校2020 届高三联考】已知 sinα、cosα 是方程 5x2﹣ x﹣2＝0 的两个实
根，且 α∈（0，π），则 cos（α+ ）＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】D
【解析】
【分析】
根据韦达定理可得 ， ，结合 ，可得 ，根
据两角和的余弦公式可得 ，由
此可得结果.
【详解】
因为 sinα、cosα 是方程 5x2﹣ x﹣2＝0 的两个实根，
所以 ， ，
因为 ，且 ，所以 且 ，
所以 ，
所以
sin4 2cos3 sin sin3xcosx cos3xsinxx x x− = − 142sin2422cos2sin 2 −
+=
+−== ππ
x
9
7−=
5
4
π
10
10
10
10
3 10
10
3 10
10
5sin cos 5
α α+ = 2sin cos 5
α α⋅ = − (0, )α π∈ cos sin 0α α− <
2cos( ) (cos sin )4 2
πα α α+ = − 22 (cos sin ) 4sin cos2
α α α α= − + −
5
5sin cos 5
α α+ = 2sin cos 5
α α⋅ = −
(0, )α π∈ sin cos 0α α⋅ < sin 0α > cos 0α <
cos sin 0α α− <
cos( ) cos cos sin sin4 4 4
π π πα α α+ = − 2 (cos sin )2
α α= −
22 (cos sin )2
α α= − − 22 (cos sin ) 4sin cos2
α α α α= − + − ⋅ 5 / 23
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.
故选：D.
【点睛】本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题.
【变式演练 4】【2020 届河南省商丘周口市部分学校联考高三 5 月质量检测】已知 是方程
的一根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将 代入方程，利用同角三角函数的基本关系式进行化简，求得 的值，利用降次公式、诱导公式
求得所求表达式的值.
【详解】
由题意， ，则 ，得 ，得
，所以 ，所以
.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、降次公式、诱导公式，属于基础题.
方法三 运用换元思想
万能模板 内 容
使用场景 一般求值题
2
2 5 242 5 5
= − + ×
2 3 5 3 10
2 5 10
= − × = −
tanθ
2 6 1 0x x− + = 2cos 4
πθ + =
3
4
1
2
1
3
1
5
tanθ sin 2θ
2tan 6tan 1 0θ θ− + =
2
2
sin 6sin 1 0cos cos
θ θ
θ θ− + = 2 2sin 6sin cos cos 0θ θ θ θ− + =
1sin cos 6
θ θ = 1sin 2 2sin cos 3
θ θ θ= = 2
1 cos 2 1 sin 22cos =4 2 2
πθπ θθ
+ + − + =
11 13
2 3
−
= = 6 / 23
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解题模板 第一步 运用换元法将未知向已知转化；
第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；
第三步 得出结论.
例 3 若 求 的取值范围.
【答案】 .
【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化：
令 ，则
第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换：
即 ，所以
所以 ，即
第三步，得出结论：
所以
【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子 看作一个整体，通过
代数、三角变换等手段求出取值范围.
【变式演练 5】【江苏省2020 届高三下学期 6 月高考押题】已知 ，则
的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先平方求出 ，再利用二倍角公式求出 ，即可求解.
【详解】
,2
2sinsin =+ βα βα coscos +
βα coscos +
14 14[ , ]2 2
−
t=+ βα coscos ( ) ( )
2
1coscossinsin 222 +=+++ tβαβα
( )
2
1cos2 2 +=−+ tβα ( )
2
3cos 2 −=− tβα
22
32 2 ≤−≤− t 2
14
2
14 ≤≤− t
2
14coscos2
14 ≤+≤− βα
2 5sin cos 5
α α+ = 2 4sin cosα α+
18
25
sin 2α 4cos α 7 / 23
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即
故答案为：
【点睛】
此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目.
【高考再现】
1.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 9】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．
【解析】 ， ，令 ，则 ，整
理得 ，解得 ，即 ．故选 D．
【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和的正切公式，考查数学运算、数学建
模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算．
2.【2017 全国 III 文，4】已知 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
所以选 A.
【考点】二倍角正弦公式
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度
2 5sin cos 5
α α+ =
( )2 4sin cos 1 sin 2 5
α α α∴ + = + = 1sin 2 5
α = −
2 1 234 1 2sin 2 1 2 25 25cos α α= − = − × =
1 23 182 4 5 25 25sin cosα α+ = − + =
18
25
2tan tan 74
θ θ π − + = tanθ =
2− 1− 1 2
2tan tan 74
πθ θ − + =
tan 12tan 71 tan
θθ θ
+∴ − =− tan , 1t tθ= ≠ 12 71
tt t
+− =−
2 4 4 0t t− + = 2t = tan 2θ =
4sin cos 3
α α− = sin 2α
7
9
− 2
9
− 2
9
7
9
( )2sin cos 1 7sin 2 2sin cos 1 9
α αα α α − −= = = −− 8 / 23
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(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
3.【2018 年全国 I 卷】已知角훼的顶点为坐标原点，始边与푥轴的非负半轴重合，终边上有两点퐴(1 ， 푎)，퐵
(2 ， 푏)，且cos2훼 = 2
3，则|푎 ― 푏| =
A． 1
5 B． 5
5 C． 2 5
5 D． 1
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据两点都在角的终边上，得到푏 = 2푎，利用cos2훼 = 2
3，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得푎2
= 1
5，从而得到|푎| = 5
5 ，再结合푏 = 2푎，从而得到|푎 ― 푏| = |푎 ― 2푎| = 5
5 ，从而确定选项.
【详解】
由푂,퐴,퐵三点共线，从而得到푏 = 2푎，
因为cos2훼 = 2cos2훼 ― 1 = 2 ⋅ ( 1
푎2 + 1)
2
― 1 = 2
3，
解得푎2 = 1
5，即|푎| = 5
5 ，
所以|푎 ― 푏| = |푎 ― 2푎| = 5
5 ，故选 B.
【点睛】
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦
的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
4．【2018 年全国卷Ⅲ】若sin훼 = 1
3，则cos2훼 =
A． 8
9 B． 7
9 C． ― 7
9 D． ― 8
9
【答案】B
【解析】
分析：由公式cos2α = 1 ― 2푠푖푛2훼可得。
详解：cos2α = 1 ― 2푠푖푛2훼 = 1 ― 2
9 = 7
9 9 / 23
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故答案为 B.
5.【2020 年高考江苏卷 8】已知 ，则 的值是________．
【答案】
【解析】∵ ，由 ，解得
．
【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查数学运算学科素养．
6.【2020 年高考浙江卷 13】已知 ，则 ； ．
【答案】 ；
【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得 ，根据两角差正切公式得
【解析】 ， ，故
答案为： ； ．
【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查两角差的正切公式，考查数学运算学科素养．
7.【2018 年全国卷 II】已知tan(훼 ― 5휋
4 ) = 1
5，则tan훼 = __________．
【答案】3
2.
【解析】
分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得tan훼 = 3
2.
详解：tan(훼 ― 5휋
4 ) =
tan훼 ― tan5휋
4
1 + tan훼 ⋅ tan5휋
4
= tan훼 ― 1
1 + tan훼 = 1
5，
解方程得tan훼 = 3
2.
点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记
忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.
8.【2018 年浙江卷】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ ― 3
5，
― 4
5）．
（Ⅰ）求 sin（α+π）的值；
2 2sin ( )4 3
π α+ = sin2α
1
3
2 2sin ( )4 3
π α+ = 2 1 1 2sin ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin2 )4 2 2 2 3
π πα α α+ = − + = + =
1sin2 3
α =
tan 2θ = cos2θ = πtan 4
θ − =
3
5
− 1
3
cos2θ tan( )4
πθ −
2 2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 5
θ θ θθ θ θ θ θ θ
− −= − = = = −+ +
tan 1 1tan 4 1 tan 3
π θθ θ
− − = = +
3
5
− 1
3 10 / 23
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（Ⅱ）若角 β 满足 sin（α+β）= 5
13，求 cosβ 的值．
【答案】（Ⅰ）4
5；（Ⅱ） ― 56
65 或 - 16
65 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin훼，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos훼，再
根据同角三角函数关系得cos(훼 + 훽)，最后根据훽 = (훼 + 훽) ― 훼，利用两角差的余弦公式求结果.
详解：（Ⅰ）由角훼的终边过点푃( ― 3
5, ― 4
5)得sin훼 = ― 4
5，
所以sin(훼 + π) = ― sin훼 = 4
5.
（Ⅱ）由角훼的终边过点푃( ― 3
5, ― 4
5)得cos훼 = ― 3
5，
由sin(훼 + 훽) = 5
13得cos(훼 + 훽) =± 12
13.
由훽 = (훼 + 훽) ― 훼得cos훽 = cos(훼 + 훽)cos훼 + sin(훼 + 훽)sin훼，
所以cos훽 = ― 56
65或cos훽 = ― 16
65.
点睛：三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
【反馈练习】
1．【2020 届高三第五次模拟】已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后利用两角和的正弦公式
,02
πθ ∈ − cos2 sin 0θ θ+ =
sin 4
πθ + =
2 3
2
− 6 2
4
− 6 2
4
+ 2 3
4
+
sinθ cosθ 11 / 23
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计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以 ，解得 或 ，因为
，所以 ，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
2．【2020 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】若 ，则 （ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由二倍角正切公式计算出 的值，再将所求分式变形为 ，然后利用弦化切的思想
即可求出所求分式的值.
【详解】
由二倍角的正切公式得 ，整理得 ，
解得 或 ，所以， .
当 时，原式 ；当 时，原式 .
cos2 sin 0θ θ+ = 21 2sin sin 0θ θ− + = sin 1θ = 1sin 2
θ = −
,02
πθ ∈ −
1sin 2
θ = − 2 3cos 1 sin 2
θ θ= − =
1 2 3 2 6 2sin sin cos cos sin4 4 4 2 2 2 2 4
π π πθ θ θ − + = + = − × + × =
3tan 2 4
α = − 2
2
sin 2 cos
1 2sin
α α
α
+ =+
1
4
− 1
4
3
4
1
4
3
4
1
4
tanα 2
2 2
2sin cos cos
3sin cos
α α α
α α
+
+
2
2tan 3tan 2 1 tan 4
αα α= = −−
23tan 8tan 3 0α α− − =
tan 3α = 1
3
−
2
2
2
2
2 2
2sin cos cos 2tan 1
3sin cos 3tan 1
sin 2 cos
1 2sin
α α α αα α
α α α α
++ = +=+ + +
tan 3α = 2
2 3 1 1
3 3 1 4
× += =× +
1tan 3
α = − 2
12 1 13
413 13
× − + = =
× − + 12 / 23
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综上所述， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用二倍角的正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出 的值，考查计算能力，属
于中等题.
3．【2020 届高三高考仿真模拟】已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简式子，可得 ，由平方关系求出 ，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果.
【详解】
由
因为 ，则 ，所以
所以 ，
又
所以
则
2
2
sin 2 cos 1
1 2sin 4
α α
α
+ =+
tanα
0, 2
πα ∈
cos 3
2cos 1 sin2
α
α α
=
− cosα =
4
5
2 5
5
3
5
5
5
2sin cos2 2
α α= 2cos 2
α
cos 2
α
2
2 21 sin cos 2sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2
α α α α α αα − = − + = −
0, 2
πα ∈ 0,2 4
α π ∈ cos sin2 2
α α>
1 sin cos sin2 2
α αα− = −
2 2cos cos sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2
α α α α α αα = − = − +
cos sin cos sincos 2 2 2 2
cos 1 sin cos cos sin2 2 2 2
α α α α
α
α α α αα
− + = − −
cos sincos 32 2
2cos 1 sin cos2 2
α α
α
α αα
+
= =
− 13 / 23
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化简可得： ，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角
的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题.
4．【2020 届山西省晋中市高三下学期一模】已知 为正整数， ， ，且
，则当函数 取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数 ；再利用辅助角公式化简 ，根据其最值，求得 即
可.
【详解】
由条件知 ，则由 ，
得 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
则 ．
因为 ，
所以 ．
2 2 2 25 42sin cos ,sin cos cos 1,cos2 2 2 2 4 2 2 5
α α α α α α= + = = =
2 3cos 2cos 12 5
αα = − =
a tan 1 lgaα = + tan lgaβ =
4
α β π= + ( ) sin 3cos ( [0, ])f x a θ θ θ π= − ∈ θ =
2
π 2
3
π 5
6
π 4
3
π
a ( )f x θ
4
α β− = π
tan( ) 1α β− =
tan tan (1 lg ) lgtan( ) 11 tan tan 1 (1 lg )lg
a a
a a
α βα β α β
− + −− = = =+ + +
(1 lg )lg 0a a+ =
1a = 1
10a =
( ) sin 3cos 2sin 3f x
πθ θ θ = − = −
[0, ]θ π∈
2,3 3 3
π π πθ − ∈ − 14 / 23
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则当 ，即 时，
函数 取得最大值，
故选：C．
【点睛】
本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求
解，属综合中档题.
5．【卓越高中千校联盟2020 届高考文科数学终极押题】已知函数 ， ，则
的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用降幂公式、两角和差余弦公式以及辅助角公式，将所求的函数式化为余弦型函数，根据余弦函数的性
质，即可求解.
【详解】
.
所以，当 时，
取最大值 .
故答案为： .
3 2
π πθ − = 5
6
πθ =
( )f x
( ) cos 4f x x
π = − x∈R
2 2
6 12f x f x
π π + − +
6 2
4
−
2 2
2 2cos cos6 12 12 6f x f x x x
π π π π + − + = − − −
( )
1 cos 2 1 cos 2 1 3 16 3 cos2 sin 22 2 2 2
x x
x x
π π + − + − − = − = ⋅ −
6 2 cos 24 4x
π− +
=
cos 2 14x
π + =
2 2
6 12f x f x
π π + − +
6 2
4
−
6 2
4
− 15 / 23
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【点睛】
本题考查三角恒等变换化简三角函数，以及余弦函数的性质，考查计算求解能力，属于基础题.
6．【2020 届山西省运城市高中联合体高三模拟】 ， 是方程 的两个根，则
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数关系，得到 ， ，再由两角和的正切公式，即
可计算出结果.
【详解】
因为 ， 是方程 的两个根，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型.
7．【2020 届重庆市第八中学高三 6 月三诊】若 ，且 ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】
tanθ tan 4
π θ −
2 3 0x ax+ − =
a =
4−
tan tan 4 a
πθ θ + − = − tan tan 34
πθ θ − = −
tanθ tan 4
π θ −
2 3 0x ax+ − =
tan tan 4 a
πθ θ + − = − tan tan 34
πθ θ − = −
tan tan 4tan tan 14 4 41 tan tan 4
a
πθ θπ πθ θ πθ θ
+ − = + − = = − = − −
4a = −
4−
0, 2
πα ∈
10sin 2cos 2
α α+ = tan 4
πα + =
2− 16 / 23
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先把 两边平方得到 ，利用弦切互化所得方程可
以化成关于 的方程结合 ，解出 后可求 的值．
【详解】
由 可以得到 ，
故 ，
也就是 ，
整理得到 ，故 或 ．
又 ，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构
的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结
构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.
8．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020 届高三下学期四模】已知锐角 满足 ，则
的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切思想可得出关于 的二次方程，可解出正数 的值，然后
10sin 2cos 2
α α+ = 2 2 5sin 4sin cos 4cos 2
α α α α+ + =
tanα 0, 2
πα ∈ tanα tan 4
πα +
10sin 2cos 2
α α+ = 2 2 5sin 4sin cos 4cos 2
α α α α+ + =
2 2
2 2
sin 4sin cos 4cos 5
sin cos 2
α α α α
α α
+ + =+
2
2
tan 4tan 4 5
tan 1 2
α α
α
+ + =+
23tan 8tan 3 0α α− − = tan 3α = 1tan 3
α = −
0, 2
πα ∈ tan 3α =
1+ tan 1 3tan 24 1 tan 1 3
π αα α
+ + = = = − − −
2−
α sin 2 2cos2 1α α− = −
tan 4
πα −
1
2
−
tanα tanα 17 / 23
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利用两角差的正切公式可求得 的值.
【详解】
， ，
即 ，即 ，
整理得 ，
为锐角，所以 ，解得 ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用二倍角公式以及两角差的正切公式求值，利用弦化切思想求出 的值是解题的关键，考查
计算能力，属于中等题.
9．【黑龙江省绥化市2020 届全市普通高中高三模拟联考质量检测】已知 ，
则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
等式平方相加得到 ，解得答案.
【详解】
由 平方相加得 ，
即 .
故答案为： .
【点睛】
tan 4
πα −
sin 2 2cos2 1α α− = − ( )2 22sin cos 2 cos sin 1α α α α∴ − − = −
2 2
2 2
2sin cos 2sin 2cos 1sin cos
α α α α
α α
+ − = −+
2
2
2tan 2tan 2 1tan 1
α α
α
+ − = −+
23tan 2tan 1 0α α+ − =
α tan 0α > 1tan 3
α =
1 1tan tan 134tan 14 21 tan tan 1 14 3
παπα πα
−− − = = = − + + ×
1
2
−
tanα
1sin cos cos sin 5
α β α β− = + =
sin( )α β− =
24
25
22 2sin cos 2cos sin 25
α β α β− + =
1sin cos cos sin 5
α β α β− = + = 22 2sin cos 2cos sin 25
α β α β− + =
24sin( ) sin cos cos sin 25
α β α β α β− = − =
24
25 18 / 23
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本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
10．【2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学样卷】平面直角坐标系 中，点 是单位
圆在第一象限内的点， ，若 ，则 为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义可知 ，同角三角函数的基本关系求得 的值，
再利用两角差的正余弦公式求得 的值，两者相加即可得解．
【详解】
由题意知： ， ，
由 ，得 ，
，
，
所以 .
故答案为：
【点睛】
xOy ( )0 0,P x y
2xOP
πα α ∠ = cos 2sinα α=
2 2sin cos 1α α+ = 25 cos 14
α = cos 0α > 2 5cos 5
α =
2 55
( ) ( )1 tan 20 1 tan 25° °+ ⋅ + =
tan25 tan20tan 45 11 tan20 tan25
° °
° °= −
+ = tan25 tan20° °+ tan20 tan25° °
( ) ( )1 tan20 1 tan25 1 tan25 tan20 tan20 tan25° ° ° ° ° °+ ⋅ + = + + +
tan25 tan20tan 45 11 tan20 tan25
° °
° °= −
+ = 1tan25 tan20 tan20 tan25° ° ° °+ = −
( ) ( )1 tan20 1 tan25 1 tan25 tan20 tan20 tan25 2° ° ° ° ° °+ ++ ⋅ + = =+
BC ABC∆
ABC∆ PQRS BC a= ABC θ∠ = 21 / 23
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的面积为 ，正方形 的面积为 ，当 固定， 变化时，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】 ，令
，则 ，
， 函数 在 上递减，因此当 时， 有
最小值， ，此时 ， 当 时，“规划合理度”最小，最小值为
，故答案为 .
15．【江苏省南京师大附中2020 届高三下学期高考模拟】已知 ， ，
，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式列出 与 的关系式，再联立
求解 的值；
（2）利用 、 的值分别求出 、 、 ，再利用余弦的差角公式求解 的
值.
ABC∆ 1S PQRS 2S a θ 1
2
S
S
9
4
( )
2
2
1
2
111 cos1 1 12 2 12 2 2 2 4
sinsinS sinS sin sin sin
θθ θ θθ θ θ
+ + = ⋅ = = + +
2 , 0 , 0 22t sin
πθ θ θ π= < < ∴ <
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