2020 年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）
一、选择题（共 12 小题）
1．若 z＝（1﹣2i）（2﹣3i），则（ ）
A．z 的实部大于﹣3﹣8i 的实部
B．z 的实部等于﹣3﹣8i 的实部
C．z 的虚部大于﹣3﹣8i 的虚部
D．z 的虚部小于﹣3﹣8i 的虚部
2．已知集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|（2x+1）（x﹣2）＜0}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1}
3．若向量 （1，2）， （﹣1，4），则 （ ）
A．（﹣1，1） B．（0，6） C．（﹣2，2） D．（0，3）
4．某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：
万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ）
A．6.25% B．7.5% C．10.25% D．31.25%
5．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，几何体 ABCDEC1 的侧视图与
俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数 f（x）＝1+sin（2πx ），则（ ）
A．f（x）的最大值为 1 B．f（x）＝f（ x）
C．f（x）的最小正周期为 2 D．f（x）＝﹣f（ x）
7．设双曲线 的离心率分别为 e1，e2，e3，则（ ）
A．e3＜e2＜e1 B．e3＜e1＜e2 C．e1＜e2＜e3 D．e2＜e1＜e3
8．若 log2x+log4y＝1，则 x2+y 的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
9．若 tanα 3，则 cos4α＝（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，当 x＞1 时，f（x）＝x2﹣mx+5，且 f
（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则 m 的取值范围为（ ）
A．[4，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，2]
11．若圆 C：x2+y2＝m（m＞0）与图中阴影部分（含边界）表示的平面区域有公共点，则 m
的取值范围为（ ）
A．[ ，5] B．[ ，5] C．[ ，25] D．[2，25]
12．已知函数 f（x） ，若函数 g（x）＝f（f（x））恰有 8 个零点，则 a
的值不可能为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边．已知 a＝5bsinA，则 sinB＝ ．
14．四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB＝1，AC
＝2，AD＝3，则四面体 ABCD 的体积为 ，球 O 的表面积为 ．
15．小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机
地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为 ．
16．函数 f（x）＝（4x﹣3）e 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求
作答．（一）必考题：共 60 分．
17．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，PD⊥CE，AE＝1，PD＝
3，PC ．
（1）证明：AD⊥平面 PCD．
（2）求三棱锥 B﹣CEP 的侧面积．
18．某公司 A 产品生产的投入成本 x（单位：万元）与产品销售收入 y（单位：十万元）存
在较好的线性关系，如表记录了该公司最近 8 次该产品的相关数据，且根据这 8 组数据
计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为 y＝bx+0.7604．
x（万元） 6 7 8 11 12 14 17 21
y（十万元） 1.2 1.5 1.7 2 2.2 2.4 2.6 2.9
（1）求 b 的值（结果精确到 0.0001），并估计公司 A 产品投入成本 30 万元后产品的销
售收入（单位：元）．
（2）该公司 B 产品生产的投入成本 u（单位：万元）与产品销售收入 v（单位：十万元）
也存在较好的线性关系，且 v 关于 u 的线性回归方程为 v＝0.15u+0.5．
（ⅰ）估计该公司 B 产品投入成本 30 万元后的毛利率（毛利率 100%）；
（ⅱ）判断该公司 A，B 两个产品都投入成本 30 万元后，哪个产品的毛利率更大．
19．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，a1＝1，且 Sn+1＝2Sn+n﹣1．
（1）证明：数列{Sn+n}为等比数列，并求 an．
（2）求数列 的前 n 项和 Tn．
20．已知函数 f（x）＝x3+ax．
（1）若 a＝2，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论 f（x）在（a，+∞）上的单调性．
21．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点．
（1）若 l 过点 F，证明：|PQ|≥2p．
（2）若 p＝2，点 M（x0，y0）在曲线 上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C
上，△MPQ 的面积记为 S，证明：S2 与 成正比．
选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），以坐标
原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）若点 P 的极坐标为（1，π），过 P 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求
的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．
（1）求不等式 f（x）≥3 的解集；
（2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且 ，求 a2+b2+c2
的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若 z＝（1﹣2i）（2﹣3i），则（ ）
A．z 的实部大于﹣3﹣8i 的实部
B．z 的实部等于﹣3﹣8i 的实部
C．z 的虚部大于﹣3﹣8i 的虚部
D．z 的虚部小于﹣3﹣8i 的虚部
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念逐一核对四个选项得
答案．
解：∵z＝（1﹣2i）（2﹣3i）＝﹣4﹣7i，
∴z 的实部小于﹣3﹣8i 的实部，z 的虚部大于﹣3﹣8i 的虚部．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．已知集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|（2x+1）（x﹣2）＜0}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1}
【分析】求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：∵集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
B＝{x|（2x+1）（x﹣2）＜0}＝{x| }，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
3．若向量 （1，2）， （﹣1，4），则 （ ）
A．（﹣1，1） B．（0，6） C．（﹣2，2） D．（0，3）
【 分 析 】 把 代 入 可 得 ， ， 从 而 求 出
．
解：∵ ，
∴ ，
∴ （﹣1，4）+（1，2）＝（0，6），
∴ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
4．某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：
万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ）
A．6.25% B．7.5% C．10.25% D．31.25%
【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%，由条形图得去年
水、电、交通支出合计为 250+450+100＝800（万元），共中水费支出 250（万元），由
此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．
解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%，
由条形图得去年水、电、交通支出合计为：
250+450+100＝800（万元），
共中水费支出 250（万元），
∴去年的水费开支占总开支的百分比为： 6.25%．
故选：A．
【点评】本题考查去年的水费开支占总开支的百分比的求法，考查拆线图、条形图等基
础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，几何体 ABCDEC1 的侧视图与
俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用三视图的应用求出结果．
解：根据几何体 ABCC1DE 的侧视图和俯视图，所以正视图为直角梯形，
即点 A 的射影落在 D 点，点 B 的射影落在 C 点，线段 BE 的射影落在 EC 的位置．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的空间想象
能力，属于基础性题．
6．若函数 f（x）＝1+sin（2πx ），则（ ）
A．f（x）的最大值为 1 B．f（x）＝f（ x）
C．f（x）的最小正周期为 2 D．f（x）＝﹣f（ x）
【分析】根据三角函数的周期公式以及最值公式分别进行求解判断即可．
解：f（x）的最大值为 1+1＝2，f（x）的最小正周期 T 1，
．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的周期公式，最值性是解
决本题的关键．比较基础．
7．设双曲线 的离心率分别为 e1，e2，e3，则（ ）
A．e3＜e2＜e1 B．e3＜e1＜e2 C．e1＜e2＜e3 D．e2＜e1＜e3
【分析】利用双曲线的离心率公式，求出 3 个双曲线的离心率，然后判断大小即可．
解：因为双曲线 的离心率为 ，e1
e2 ，
e3 ，
所以 e2＜e1＜e3．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
8．若 log2x+log4y＝1，则 x2+y 的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【分析】由对数的运算法则可求 x2y＝4（x＞0，y＞0），再用均值不等式可求 x2+y 的最
小值．
解：因为 log2x+log4y＝log4x2+log4y＝log（x2y）＝1，
∴x2y＝4（x＞0，y＞0），
则 x2+y≥2 4，当且仅当 x2＝y＝2 时等号成立，则 x2+y 的最小值为 4．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题．
9．若 tanα 3，则 cos4α＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求 sin2α 的值，
进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．
解：∵tanα 3，
∴sin2α ，
∴cos4α＝1﹣2sin22α ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数
公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．已知函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，当 x＞1 时，f（x）＝x2﹣mx+5，且 f
（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则 m 的取值范围为（ ）
A．[4，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，2]
【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性可得 f（x）在（2，+∞）上为增函数，
又由二次函数的性质以及函数的解析式可得 2，解可得 m 的取值范围，即可得答
案．
解：根据题意，函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，且 f（x）在（﹣∞，0）上单
调递增，
则 f（x）在（2，+∞）上为增函数，
又由当 x＞1 时，f（x）＝x2﹣mx+5，则有 2，解可得 m≤4；
即 m 的取值范围为（﹣∞，4]；
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性与对称性的综合应用，涉及二次函数函数的性质，属于
基础题．
11．若圆 C：x2+y2＝m（m＞0）与图中阴影部分（含边界）表示的平面区域有公共点，则 m
的取值范围为（ ）
A．[ ，5] B．[ ，5] C．[ ，25] D．[2，25]
【分析】利用已知条件，结合可行域，判断最优解，求解即可．
解：当直线 x+y＝1 与圆 C 相切时， ；当圆 C 经过点 A 时，m＝25，
故 m 的取值范围为 ，
故选：C．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，基础题．
12．已知函数 f（x） ，若函数 g（x）＝f（f（x））恰有 8 个零点，则 a
的值不可能为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】通过对 a 的值的讨论，通过函数的零点转化为方程的根，结合换元法以及函数
的图象，利用数形结合分析函数的零点个数，判断 a 的范围，然后求解即可．
解：易知，当 a≤0 时，方程 f（x）＝0 只有 1 个实根，
从而 g（x）＝f（f（x））不可能有 8 个零点，
则 a＞0，f（x）＝0 的实根为﹣2a，0，a．
令 f（x）＝t，则 f（f（x））＝f（t）＝0，
则 t＝﹣2a，0，a 数形结合可知，
直线 y＝a 与 f（x）的图象有 2 个交点，
直线 y＝0 与 f（x）的图象有 3 个交点，
所以由题意可得直线 y＝﹣2a 与 f（x）的图象有 3 个交点，
则必有 ，又 a＞0，
所以 a＞8．
故选：A．
【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以
及转化思想的应用，是难题．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边．已知 a＝5bsinA，则 sinB＝ ．
【分析】由正弦定理化简已知可得 sinA＝5sinBsinA，结合 sinA＞0，即可解得 sinB 的
值．
解：∵a＝5bsinA，
∴由正弦定理可得 sinA＝5sinBsinA，
又∵sinA＞0，
∴sinB ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14．四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB＝1，AC
＝2，AD＝3，则四面体 ABCD 的体积为 1 ，球 O 的表面积为 14π ．
【分析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球
的直径即为长方体的对角线即可得出．
解：∵AB，AC，AD 两两垂直，且 AB＝1，AC＝2，AD＝3，
∴四面体 ABCD 的体积 1×2×3＝1，
把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线．
设球 O 的半径为 r，则（2r）2＝12+22+32＝14．
其表面积＝4πr2＝14π．
故答案为：1，14π．
【点评】本题考查了正四棱锥与球的性质、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算
能力，属于基础题．
15．小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机
地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为
．
【分析】记牛奶薄荷味的两颗糖为 A1，A2，巧克力味的两颗糖为 B1，B2，草莓味的两颗
糖为 C1，C2，利用列举法能求出这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率．
解：记牛奶薄荷味的两颗糖为 A1，A2，巧克力味的两颗糖为 B1，B2，草莓味的两颗糖为
C1，C2，
则这两个孩子分到的糖的所有情况为：
（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C1），（A1，A2，C2），（A1，B1，B2），
（A1，B1，C1），
（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，C1，C2），（A2，B1，B2）
（A2，B1，C1），
（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，C1，C2），（B1，B2，C1），
（B1，B2，C2），
（B1，C1，C2），（B2，C1，C2），共 20 种，
其中都含 A，B，C，的有 8 种，
故这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为 P ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
16．函数 f（x）＝（4x﹣3）e 的最小值为 ﹣2e ．
【分析】利用换元法化简函数的解析式，通过函数的导数转化求解函数的最小值即可．
解：令 2x＝t（t＞0），g（t）＝（t2﹣3）et（t＞0），g'（t）＝（t2+2t﹣3）et．
当 0＜t＜1 时，g'（t）＜0，函数是减函数；当 t＞1 时，g'（t）＞0．函数是增函数，
故 f（x）min＝g（t）min＝g（1）＝﹣2e．
故答案为：﹣2e．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，换元法以及转化思想的应用，
是中档题．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求
作答．（一）必考题：共 60 分．
17．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，PD⊥CE，AE＝1，PD＝
3，PC ．
（1）证明：AD⊥平面 PCD．
（2）求三棱锥 B﹣CEP 的侧面积．
【分析】（1）先证明 PD⊥底面 ABCD，得到 PD⊥AD，再由 AD⊥CD，即可得证 AD⊥
平面 PCD；
（2）求出△PBC，△PBE 及△BCE 的面积，再相加即可求得三棱锥 B﹣CEP 的侧面
积．
【解答】（1）证明：因为 E 为 AB 的中点，AE＝1，
所以 CD＝AB＝2，
所以 CD2+PD2＝PC2，从而 PD⊥CD．
又 PD⊥CE，CD∩CE＝C，
所以 PD⊥底面 ABCD，
所以 PD⊥AD，
因为四边形 CD∩CE＝C，ABCD 是正方形，所以 AD⊥CD，
又 CD∩PD＝D，
所以 AD⊥平面 PCD．
（2）解：由（1）知 AD⊥平面 PCD，因为 BC∥AD，所以 BC⊥平面 PCD，
因为 PC⊂平面 PCD，所以 BC⊥PC，
所以△PBC 的面积为 ．
易证△PBC≌△PBA，
所以△PBE 的面积为 ．
故三棱锥 B﹣CEP 的侧面积为 ．
【点评】本题考查线面垂直判定定理及性质定理的运用，考查三棱锥侧面积的求法，考
查推理能力及计算能力，属于中档题．
18．某公司 A 产品生产的投入成本 x（单位：万元）与产品销售收入 y（单位：十万元）存
在较好的线性关系，如表记录了该公司最近 8 次该产品的相关数据，且根据这 8 组数据
计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为 y＝bx+0.7604．
x（万元） 6 7 8 11 12 14 17 21
y（十万元） 1.2 1.5 1.7 2 2.2 2.4 2.6 2.9
（1）求 b 的值（结果精确到 0.0001），并估计公司 A 产品投入成本 30 万元后产品的销
售收入（单位：元）．
（2）该公司 B 产品生产的投入成本 u（单位：万元）与产品销售收入 v（单位：十万元）
也存在较好的线性关系，且 v 关于 u 的线性回归方程为 v＝0.15u+0.5．
（ⅰ）估计该公司 B 产品投入成本 30 万元后的毛利率（毛利率 100%）；
（ⅱ）判断该公司 A，B 两个产品都投入成本 30 万元后，哪个产品的毛利率更大．
【分析】（1）求出样本中心的坐标，定义回归直线方程，即可求 b 的值．然后代入投入
成本 30 万元后，求解产品的销售收入即可．
（2）（ⅰ）通过 u 的线性回归方程为 v＝0.15u+0.5，估计该公司 B 产品投入成本 30 万
元后的毛利率求解即可．
（ⅱ）当 x＝30 时， ，A 产品对应的毛利率与 B 产品的毛利率半径大小，即
可得到结果．
解：（1）∵ ， ，∴ ，
解得 ．
当 x＝30 时， ，
故公司 A 产品投入成本 30 万元后产品的销售收入约为 401540 元．
（2）（i）当 u＝30 时， ，B 产品对应的毛利率为 ．
（ ii ） 当 x ＝ 30 时 ， ， A 产 品 对 应 的 毛 利 率 为
，
故 B 产品的毛利率更大．
【点评】本题考查线性回归直线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档
题．
19．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，a1＝1，且 Sn+1＝2Sn+n﹣1．
（1）证明：数列{Sn+n}为等比数列，并求 an．
（2）求数列 的前 n 项和 Tn．
【分析】第（1）题先将 Sn+1＝2Sn+n﹣1 转化变形并加以计算可证得数列{Sn+n}是首项为
2，公比为 2 的等比数列，再计算出数列{Sn+n}的通项公式，以及 Sn 的表达式，然后运
用公式 an 即可计算出数列{an}的通项公式；
第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 的通项公式，然后运用分组求和法计
算出前 n 项和 Tn．
【解答】（1）证明：依题意，由 Sn+1＝2Sn+n﹣1 两边同时加上 n+1，可得
Sn+1+n+1＝2Sn+n﹣1+n+1＝2（Sn+n），
又∵S1+1＝a1+1＝2，
∴数列{Sn+n}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
则 ，即 ，n∈一、选择题*，
∴当 n≥2 时， ，
∵当 n＝1 时，a1＝1 不满足上式，
∴an ．
（2）解：由（1）知，当 n≥2 时， ，
则 Tn
（ ）+（ ）+…+（ ）
（ ）
，
∵当 n＝1 时，T1 也满足上式，
∴Tn ．
【点评】本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化
与化归思想，分类讨论，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．
20．已知函数 f（x）＝x3+ax．
（1）若 a＝2，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论 f（x）在（a，+∞）上的单调性．
【分析】对于（1）只需求导数，求斜率，再利用点斜式求方程．
对于（2）第一步讨论方程 f′（x）＝0 是否有根，第二步讨论两个根与 a 的大小．
解：（1）因为 a＝2，所以 f'（x）＝3x2+2，
所以 f'（1）＝5，又 f（1）＝3，
所以所求切线方程为 y﹣3＝5（x﹣1），即 y＝5x﹣2．
（2）f'（x）＝3x2+a．
当 a≥0 时，f'（x）≥0，则 f（x）在（a，+∞）上单调递增．
当 a＜0 时，令 f'（x）＝0，得 ．
（ⅰ）当 时， ，
令 f'（x）＜0，得 ；令 f'（x）＞0，得
所以 f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（ⅱ）当 时， ，
令 f'（x）＜0，得 ；令 f'（x）＞0，得 或 ．
所 以 f （ x ） 的 单 调 递 减 区 间 为 ， 单 递 递 增 区 间 为
．
（ⅲ）当 时， ，
令 f'（x）＜0．得 ；令 f'（x）＞0，得 ．
所以 f（x）的单递减区间为 ，单调递增区间为 ．
综上，当 a≥0 时，f（x）在（a，+∞）上单调递增；
当 时 ，f（ x） 的 单 递 减 区 间 为 ， 单 调 递 增 区 间 为
；
当 时，f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为
．
当 时，f（x）的单调递减区间为 ，单递递增区间为
．
【点评】本题考查了导数几何意义和单调性，同时考查了含参二次不等式的分类讨论，
属于中档题．
21．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点．
（1）若 l 过点 F，证明：|PQ|≥2p．
（2）若 p＝2，点 M（x0，y0）在曲线 上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C
上，△MPQ 的面积记为 S，证明：S2 与 成正比．
【分析】（1）求出 ，设 P（x1，y1），Q（x2，y2）．设直线方程为 ．联
立直线与椭圆方程，利用韦达定理，通过弦长公式求解即可．
（2）MP，MQ 的中点分别为 ．说明 x1，x2 为方程
的两个不同的实根．利用韦达定理以及弦长公式，求解三角形
的面积推出结果 即可．
【解答】证明：（1）易知 ，设 P（x1，y1），Q（x2，y2）．
当直线的斜率不存在时，|PQ|＝2P，
当直线 l 的斜率存在，故设其方程为 ．
由 ，得 x2﹣2pkx﹣p2＝0，所以 x+x2＝2pk．
因为 ，
所以 ，
而 2k2+2≥2，故|PQ|≥2p．
（2）MP，MQ 的中点分别为 ．
因为 MP，MQ 的中点均在抛物线 C 上，所以 x1，x2 为方程 的解，
即方程 的两个不同的实根．
则 x1+x2＝2x0， ，即 ，
所 以 PQ 的 中 点 N 的 横 坐 标 为 x0 ， 则
，
．
所以△MPQ 的面积 ，
因为 ，
所以 S2 与 成正比．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考
查分析问题解决问题的能力，是难题．
选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），以坐标
原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）若点 P 的极坐标为（1，π），过 P 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求
的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型
函数的性质的应用求出结果
解：（1）曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），转换为直角坐标方程为
（x﹣2）2+（y+1）2＝5，转换为极坐标方程为 ρ2＝4ρcosθ﹣2ρsinθ．
（2）点 P 的极坐标为（1，π），转换为直角坐标方程为（﹣1，0），
所以经过点 P 的直线得参数方程为 （t 为参数）代入圆的直角坐标方
程（x﹣2）2+（y+1）2＝5，得 t2+（2sinα﹣6cosα）t+5＝0，
所以：t1+t2＝﹣2sinα+6cosα，t1t2＝5，
所以 ．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元
二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应
用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．
（1）求不等式 f（x）≥3 的解集；
（2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且 ，求 a2+b2+c2
的最小值．
【分析】（1）根据 f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|，利用零点分段法解不等式 f（x）≥3 即可；
（2）先求出m的值，然后由柯西不等式，有 ，
再求出 a2+b2+c2 的最小值．
解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1| ．
∵f（x）≥3，∴ 或 或 ，
∴x＞2 或 x＝2 或 x≤0，∴x≥2 或 x≤0，
∴不等式的解集为{x|x≥2 或 x≤0}．
（2）由（1）知，f（x）min＝m ，∴ ，
由柯西不等式，有 ，
∴a2+b2+c2≥1，当且仅当 2a＝b＝c，即 a ，b＝c 时取等号，
∴a2+b2+c2 的最小值为 1．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和柯西不等式的应用，
考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题，
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