2021年贵州省遵义市中考数学试卷

2021年贵州省遵义市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满。1．（4分）在下列四个实数中，最小的实数是（　　）A．﹣B．0C．3.14D．20212．（4分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．3．（4分）如图，已知直线a∥b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（4分）下列计算正确的是（　　）A．a3•a＝a3B．（a2）3＝a5C．4a•（﹣3ab）＝﹣12a2bD．（﹣3a2）3＝﹣9a65．（4分）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　）A．5×2+2x≥30B．5×2+2x≤30C．2×2+2x≥30D．2×2+5x≤306．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（　　）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限7．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）第29页（共29页） A．OB＝ODB．AB＝BCC．AC⊥BDD．∠ABD＝∠CBD8．（4分）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）A．Z（2，0）B．Z（2，﹣1）C．Z（2，1）D．Z（﹣1，2）9．（4分）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝010．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段B′D′的长是（　　）A．B．2C．D．111．（4分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（　　）A．1B．C．D．12．（4分）如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，且CD∥第29页（共29页） AB，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°，AB＝6，则AD的长是（　　）A．6B．3C．2D．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔，直接答在答题卡的相应位置上.）13．（4分）2021年5月15日，中国火星探测器“天问一号“在火星表面成功着陆，着陆点距离地球约为320000000千米，将数320000000用科学记数法表示为　　．14．（4分）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为　　．15．（4分）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为　　m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）16．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有　　（填写序号）．①4a+b＝0；②5a+3b+2c＞0；③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．第29页（共29页） 三、解答题（本题共8小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算（﹣1）2+|﹣2|+﹣2sin45°；（2）解不等式组：．18．（8分）先化简÷（﹣），再求值，其中x＝﹣2．19．（10分）《国家学生体质健康标准》规定：九年级学生50m测试成绩分为优秀、良好、及格，不及格四个等级，某中学为了了解九年级学生的体质健康状况，对九年级学生进行50m测试，并随机抽取50名男生的成绩进行分析，将成绩分等级制作成不完整的统计表和条形统计图，根据图表信息，解答下列问题：（1）统计表中a的值是　　；（2）将条形统计图补充完整；（3）将等级为优秀、良好、及格定为达标，求这50名男生的达标率；（4）全校九年共有350名男生，估计不及格的男生大约有多少人？等级人数优秀4良好a及格28不及格b合计50第29页（共29页） 20．（10分）现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是　　；（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．21．（10分）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①画线段AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．第29页（共29页） 22．（12分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．23．（12分）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．24．（14分）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，第29页（共29页） AB．（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，∴　　（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是　　．（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．第29页（共29页） 第29页（共29页） 2021年贵州省遵义市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满。1．（4分）在下列四个实数中，最小的实数是（　　）A．﹣B．0C．3.14D．2021【解答】解：因为﹣＜0＜3.14＜2021，所以所给的四个实数中，最小的数是﹣．故选：A．2．（4分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．故选：D．3．（4分）如图，已知直线a∥b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：如图：∵直线a∥b，∠1＝60°，∴∠3＝∠1＝60°，∵∠2＝∠3，第29页（共29页） ∴∠2＝60°，故选：B．4．（4分）下列计算正确的是（　　）A．a3•a＝a3B．（a2）3＝a5C．4a•（﹣3ab）＝﹣12a2bD．（﹣3a2）3＝﹣9a6【解答】解：A、a3•a＝a3+1＝a4，本选项计算错误，不符合题意；B、（a2）3＝a2×3＝a6，本选项计算错误，不符合题意；C、4a•（﹣3ab）＝﹣12a2b，本选项计算正确，符合题意；D、（﹣3a2）3＝﹣27a6，本选项计算错误，不符合题意；故选：C．5．（4分）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　）A．5×2+2x≥30B．5×2+2x≤30C．2×2+2x≥30D．2×2+5x≤30【解答】解：设小明还能买x支签字笔，依题意得：2×2+5x≤30．故选：D．6．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（　　）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：由反比例函数图象经过二、四象限，可知，k＜0，∴y＝kx+2的图象经过一、二、四象限．故选：C．7．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）第29页（共29页） A．OB＝ODB．AB＝BCC．AC⊥BDD．∠ABD＝∠CBD【解答】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．故选：A．8．（4分）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）A．Z（2，0）B．Z（2，﹣1）C．Z（2，1）D．Z（﹣1，2）【解答】解：由题意，得z＝2﹣i可表示为Z（2，﹣1）．故选：B．9．（4分）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．故选：B．10．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段B′D′的长是（　　）第29页（共29页） A．B．2C．D．1【解答】解：由折叠可得，△DAE≌△D'AE，△BCF≌△B'CF，∴AD＝AD'，BD＝B'C，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，AD'＝3，CB'＝3，∴B'D'＝AD'+B'C﹣B'D'＝3+3﹣5＝1，故选：D．11．（4分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（　　）A．1B．C．D．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴OC＝AB＝，∵S△ABC＝•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝＝，第29页（共29页） ∴sin∠BOC＝＝＝，故选：B．12．（4分）如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，且CD∥AB，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°，AB＝6，则AD的长是（　　）A．6B．3C．2D．【解答】解：如图，延长PO交AB于H，连接AP，BP，过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于E，∵CD与⊙O相切于点P，∴OP⊥CD，又∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°＝∠OCD，CP＝PD，∵CD∥AB，∴OH⊥AB，∴AH＝BH＝3，∵∠COD+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，第29页（共29页） ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴AO＝2OH，AH＝OH＝3，∴OH＝，AO＝2＝OB＝OP，∵sin∠OCD＝＝，∴OC＝4，∴CP＝PD＝2，∵AH＝BH，PH⊥AB，∴AP＝BP，∵∠AOB＝2∠APB，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AP＝BP＝6，∠APH＝30°，∴∠APE＝60°，∴∠EAP＝30°，∴EP＝AP＝3，AE＝EP＝3，∴PD＝EP+PD＝5，∴AD＝＝＝2，故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔，直接答在答题卡的相应位置上.）13．（4分）2021年5月15日，中国火星探测器“天问一号“在火星表面成功着陆，着陆点距离地球约为320000000千米，将数320000000用科学记数法表示为　3.2×108　．【解答】解：320000000＝3.2×108．故答案为：3.2×108．14．（4分）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为　5　．【解答】解：，②﹣①得，x+y＝5，故答案为5．第29页（共29页） 15．（4分）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为　8.5　m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是矩形，∵BC＝4m，AB＝1.62m，∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝4m，∴CD＝AD•tan60°＝4×＝4（m），∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）答：这棵树的高度约为8.5m．故答案为：8.5．16．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有　①③④　（填写序号）．①4a+b＝0；②5a+3b+2c＞0；③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．【解答】解：将将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式得，得，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax．第29页（共29页） ①b＝﹣4a，b+4a＝0，正确，②5a+3b+2c＝5a﹣12a＝﹣7a，a＞0，﹣7a＜0，错误．③当有交点时，ax2﹣4ax＝﹣3，即一元二次方程ax2﹣4ax+3＝0有实数根，Δ＝16a2﹣12a＝a（16a﹣12）≥0，∵a＞0，∴16a﹣12≥0，解得a，正确．④一元二次方程可化为ax2﹣4ax﹣t＝0，即抛物线y＝ax2﹣4ax与直线y＝t（t为常数，t≤0）的交点横坐标为正数，横坐标可以为1，2，3，有3个t满足，如图，，正确，故答案为①③④．三、解答题（本题共8小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算（﹣1）2+|﹣2|+﹣2sin45°；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式＝1+2﹣+2﹣2×＝3+﹣＝3；（2）解不等式①，得：x≥3，解不等式②，得：x＜5，则不等式组的解集为3≤x＜5．第29页（共29页） 18．（8分）先化简÷（﹣），再求值，其中x＝﹣2．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝﹣2时，原式＝＝．19．（10分）《国家学生体质健康标准》规定：九年级学生50m测试成绩分为优秀、良好、及格，不及格四个等级，某中学为了了解九年级学生的体质健康状况，对九年级学生进行50m测试，并随机抽取50名男生的成绩进行分析，将成绩分等级制作成不完整的统计表和条形统计图，根据图表信息，解答下列问题：（1）统计表中a的值是　6　；（2）将条形统计图补充完整；（3）将等级为优秀、良好、及格定为达标，求这50名男生的达标率；（4）全校九年共有350名男生，估计不及格的男生大约有多少人？等级人数优秀4良好a及格28不及格b合计50第29页（共29页） 【解答】解：（1）根据条形统计图可得a＝6．故答案为：6；（2）b＝50﹣4﹣6﹣28＝12，将条形统计图补充完整如图：第29页（共29页） （3）×100%＝76%，答：这50名男生的达标率为76%；（4）350×＝84（人），答：估计不及格的男生大约有84人．20．（10分）现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是　　；（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．【解答】解：（1）画树状图如图：共有12个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有3个，∴两个小球上数字相同的概率是＝，故答案为：；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的．画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种，第29页（共29页） ∴P甲获胜＝P乙获胜＝，∴此游戏对双方是公平的．21．（10分）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①画线段AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，∴AC＝BC，OA＝OB，MN⊥AB，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠BCO，在△ADO和△BCO中，，∴△ADO≌△BCO（AAS），∴OD＝OC，∵OA＝OB，MN⊥AB，∴四边形ADBC是菱形；（2）∵四边形ADBC是菱形，第29页（共29页） ∴OA＝AB＝2＝，∵∠BAD＝30°，设圆O切AD于点H，连接OH，则OH⊥AD，∴OH＝OA＝，∴S圆O＝OH2×π＝π，在Rt△AOD中，∠DOA＝30°，OA＝，∴OD＝OA×tan30°＝×＝1，∴CD＝2OD＝2，∴S菱形ADBC＝AB•CD＝2×2＝2，∴图中阴影部分的面积＝S菱形ADBC﹣S圆O＝2﹣π．22．（12分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．第29页（共29页） 【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，当32＜x≤40时，y＝120，∴y＝．（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元．23．（12分）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点A（0，），第29页（共29页） ∴4a+3＝，∴a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）∵直线y＝kx+与抛物线有两个交点，∴kx+＝﹣（x﹣2）2+3，整理得x2+（3k﹣4）x﹣3＝0，∴Δ＝（3k﹣4）2+12＞0，∵x1+x2＝4﹣3k，x1•x2＝﹣3，∴x12+x22＝（4﹣3k）2+6＝10，∴k＝或k＝2，∴k的值为2或；（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，当m＜2时，当x＝m时，y有最大值，＝﹣（m﹣2）2+3，解得m＝，∴m＝﹣，当m≥2时，当x＝2时，y有最大值，∴＝3，∴m＝，综上所述，m的值为﹣或．24．（14分）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．第29页（共29页） ∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，∴　△OBA≌△O′BC　（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是　　．（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．第29页（共29页） 【解答】解：（1）将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形，∴OO′＝BO＝6，又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∴∠OBO′＝∠ABC＝60°，∴∠OBA＝∠O′BC，在△OBA和△O′BC中，，∴△OBA≌△O′BC（SAS），∴OA＝O′C，在△OO′C中，OC＜OO′+O′C，当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C，第29页（共29页） 即OC≤OO′+O′C，∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，OC的最大值为．故答案为：△OBA≌△O′BC（SAS），．（2）如图②﹣1中，作以OB为边的正方形OBC1D1，连接OC1，C1C，∵四边形OBC1D1是正方形，∴OB＝BC1＝6，∠OBC1＝90°，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBC1＝∠ABC，∴∠OBA＝∠C1BC，在△OBA和△C1BC中，，∴△OBA≌△C1BC（SAS），∴，在△OCC1中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得，当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，，第29页（共29页） 即OC1﹣CC1≤OC，∴当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是．OC取最小值的图像如下所示：（3）如下图，作以OB为腰，顶点为B点，顶角为120°的等腰△OBC2，连接OC2，C2C，过点B作BB2⊥OC2于点B2，∵OB＝BC2＝6，∠OBC2＝120°，∴∠BOC2＝∠OC2B＝30°，∵BB2⊥OD2，∴，OB2＝B2C2，在Rt△C2BB2中，，第29页（共29页） ∴，∵∠ABC＝∠OBC2＝120°，∴∠OBA＝∠C2BC，在△OBA和△C2BC中，，∴△OBA≌△C2BC（SAS），∴，在△OCC2中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得，即，当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，即OC2﹣CC2≤OC，∴当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是，当OC取最小值时的图象如如图③﹣2中，此时过点B作BB3⊥AC于点B3，且延长OA于点O3，使得BO3⊥OO3，∵∠BOC2＝∠OC2B＝30°，又∵△OBA≌△C2BC，∴∠AOB＝∠CC2B＝∠OC2B＝30°，在Rt△OBO3中，OB＝6，∠O3OB＝∠AOB＝30°，第29页（共29页） ∴BO3＝OB•sin30°＝6×＝3，OO3＝OB•cos30°＝6×＝3，∵，∴，在Rt△ABO3中，，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴，∵BB3⊥AC，∴以及AB3＝B3C，在Rt△ABB3中，，∴AC＝AB3+B3C＝AB3+AB3＝6，∴△ABC的周长为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/413:55:37；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第29页（共29页）