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2020 届江西省景德镇市高三第三次质检数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 ，则集合 的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】通过解不等式 ，得到集合A，进而得出 .因为集合中有
3 个元素，故其子集个数为 个.
【详解】
由 得 ，则
，
则 的子集个数为 个.
故选：D.
【点睛】
本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题.
2．已知 i 为虚数单位，若 ，则实数 a 的值是（ ）
A． B．–1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求
出 的值.
【详解】
，且 ，
，即 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.
3．用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定 1，2，3 表示降雨，4，5，
6，7，8，9 表示不降雨，根据随机生成的 10 组三位数：654 439 565 918 288 674
1| 02A x x
= > −
∈ N U A
1 02x
>− {0,1,2}U A =
32
1 02x
>− 2x > { }| 2A x x= ∈ >N
{ } { }2 0,1,2U A x x∴ = ∈ ≤ =N
U A 32 8=
4
1 2
a i
i
+
− ∈R
2−
a
4 ( 4 )(1 2 ) 8 2 4
1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5
a i a i i a a ii i i
+ + + − += = +− − +
4
1 2
a i
i
+
− ∈R
2 4 0a∴ + = 2a = −第 2 页 共 23 页
374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个 之间的数字的三位数，即表示
未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.
【详解】
题中规定：1，2，3 表示降雨，4，5，6，7，8，9 表示不降雨，
在 10 组三位随机数：
654 439 565 918 288 674 374 968 224 337 中，
439 918 288 374 这 4 组随机数仅含有一个 的数，
即表示未来三天仅有一天降雨，
根据古典概型的概率计算公式可知，其概率 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.
4．设 是等比数列 的前 n 项和，若 ，则首项 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】将已知两式相减，可得出 ，则该等比数列的公比为 ，再将用
和 来表示 ，即可解得 的值.
【详解】
由 得 ，即 ，
则该等比数列的公比为 ，
，即 ，
.
故选：B.
【点睛】
1
2
1
3
4
9
2
5
1 3
1 3
4 2
10 5p = =
nS { }na 3 4 2 33 2 , 3 2S a S a= − = − 1a =
4 34a a= 4q = 1a
q 2 33 2S a= − 1a
3 4
2 3
3 2
3 2
S a
S a
= −
= − 3 4 33a a a= − 4 34a a=
4q =
2 33 2S a= −
2
1 1 13( ) 2a a q a q∴ + = − 1 115 16 2a a= −
1 2a∴ =第 3 页 共 23 页
本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.
属于基础题.
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合 可得
，再利用平方关系，即可求出 .
【详解】
，即 ，
由二倍角公式可得 ，
， ，则
又 ，且
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.
6．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造
得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中
间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由 4 条小线段构成的折线，称为“一次构
造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由 16 条更小的线段构成的折线，
称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过
程中使得到的折线的长度大于初始线段的 100 倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取
， ）
A．16 B．17 C．24 D．25
0, ,cos2 2sin2 12
πα α α ∈ = − sinα =
1
2
3
3
5
5
2 5
5
(0, )2
πα ∈
cos 2sinα α= sinα
cos2 2sin 2 1α α= − cos2 1 2sin 2α α+ =
∴ 22cos 4sin cosα α α=
(0, )2
πα ∈ cos 0α∴ > cos 2sinα α=
2 2sin cos 1α α+ = sin 0α >
5sin 5
α∴ =
lg3 0.4771≈ lg 2 0.3010≈第 4 页 共 23 页
【答案】B
【解析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的 倍，故折线长度构成
一个以 为公比的等比数列，写出其通项公式 ，则要在构造过程中使得到
的折线的长度大于初始线段的 100 倍，只需求解不等式 ，即可得解.
【详解】
设初始长度为 ，各次构造后的折线长度构成一个数列 ，
由题知 ， ，则 为等比数列，
，
假设构造 次后，折线的长度大于初始线段的 100 倍，
即 ，
，
【点睛】
本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结
合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.
7．已知 ， 为两个不同平面， ， 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，且 ，则
【答案】B
【解析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行
逐一判断，即可得解.
【详解】
对于 A， ， ，根据线面垂直的性质可知，垂直于
同一平面的两直线平行，选项 A 正确；
对于 B， ， ，根据线面垂直的定义以及线面平行
的判定定理可知 或 ，故选项 B 错误；
4
3
4
3
4( )3
n
na a= ⋅
4( ) 1003
nna
a
= >
a { }na
1
4
3a a= 1
4
3n na a+ = { }na
4( )3
n
na a∴ = ⋅
n
4( ) 1003
nna
a
= >
4
3
lg100log 100 lg 4 lg3n∴ > = −
lg100 2 16lg 4 lg3 2 0.3010 0.4771
= ≈− × −
17n∴ ≥
α β m n
m α⊥ n α⊥ //m n m α⊥ m n⊥ / /n α
m α⊥ m β⊥ / /α β m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥
m α⊥ n α⊥
m α⊥ m n⊥
n ⊂ α / /n α第 5 页 共 23 页
对于 C， ， ，根据线面垂直的性质定理以及面面平行
的判定定理可得 ，故选项 C 正确；
对于 D，由 和 可知 或 ，又 ，则由线面
平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知， ，故选项 D 正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基
础题.
8．已知 是数列 的前 n 项和，且点 在直线 上，则
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题得 ，利用 ，求出
且 ， ，从而判断出数列 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即
可求出比值.
【详解】
点 在直线 上，
，
当 时， ，
两式相减，得：
且 ，
又当 时， ，则 ，
是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
，
.
m α⊥ m β⊥
/ /α β
m α⊥ α β⊥ / /m β m β⊂ n β⊥
m n⊥
nS { }na ( ),n na S 3 2 1 0x y− − = 4
3
S
S
=
15
7
40
13
11
2
3 2 1 0n na S− − = 1( 2)n n na S S n−= − ≥ 13 ( 2n na a n−= ≥
)n N ∗∈ 1 1a = { }na
( ),n na S 3 2 1 0x y− − =
3 2 1 0n na S∴ − − =
2n ≥ 1 13 2 1 0n na S− −− − =
13 ( 2n na a n−= ≥ )n N ∗∈
1n = 1 13 2 1 0a S− − = 1 1a =
{ }na∴
1 (1 3 ) 3 1
1 3 2
n n
nS
× − −= =−
4
4
3
3
3 1 40
3 1 13
S
S
−∴ = =−第 6 页 共 23 页
故选：B.
【点睛】
本题考查了数列中由 与 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的
前 项和公式，属于中档题.
9．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直
的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆
的蒙日圆为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，
可在圆上任取一点 ，并设过该点的直线方程为 ，与椭圆方
程联立，利用 可得出关于 的二次方程，利用韦达定理可求得实数 的值.
【详解】
当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为 ，
该点在圆 上，所以， ，解得 ；
当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为 、 ，
设两切线的交点坐标为 ，并设过该点的直线方程为 ，
联立 ，
消去 得
，
，
化简得 ，由韦达定理得
，
整理得 ，解得 .
综上所述， .
nS na
n
( )2 2
: 1 02
x yC aa a
+ = >+
2 2 6x y+ = a =
1 2 3 4
( )0 0,x y ( )0 0y y k x x− = −
0∆ = k a
( )2,a a± + ±
2 2 6x y+ = 2 2 6a + = 2a =
1k 2k
( )0 0,x y ( )0 0y y k x x− = −
( )0 0
2 2
12
y kx y kx
x y
a a
= + − + = +
y
( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 2
0 0 0 02 2 2 2 2 0a k a x k a y kx x a y kx a a + + + + − + + − − + =
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2
0 0 0 04 2 4 2 2 2 0k a y kx a k a a y kx a a ∆ = + − − + + ⋅ + − − + =
( )2 2 2
0 0 0 02 2 0k a x kx y a y + − + + − =
( )
2
0
1 2 2
0
12
a yk k a x
−= = −+ −
( )2 2
0 02 2 2 4 0a x y a+ − + = − = 2a =
2a =第 7 页 共 23 页
故选：B.
【点睛】
本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中
等题.
10．已知正数 a、b 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】将 当作整体，在原式的两边同时乘以 ，使 这一部分配凑基本
不等式的条件，从而得到一个关于 的二次不等式，求解即可.
【详解】
由 ，
得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
，则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，
将 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.
11．双曲线 的上、下焦点为 、 ，P 是双曲线上位于第一象限的点，
1 4 10a b a b
+ + + = +a b
+a b +a b 1 4
a b
+
+a b
1 4 10a b a b
+ + + =
1 4( )( ) 10( )a b a b a ba b
+ + + + = +
2 4( )( ) a b a ba b a b
+ +∴ + + +
2 4( ) 5 b aa b a b
= + + + +
10( )a b= +
210( ) ( ) 5a b a b∴ + − + −
4b a
a b
= +
42 4b a
a b
≥ ⋅ =
4b a
a b
= 2b a=
2( ) 10( ) 9 0a b a b∴ + − + + ≤ 1 9a b≤ + ≤
+a b
2 2
13 13
y x− = 1F 2F第 8 页 共 23 页
，直线 交 轴于点 Q，则 的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析出 ，并设 ，可得出 ，设 ，
利用切线长定理可求得 的内切圆半径.
【详解】
易知，双曲线 的上焦点为 、 ，
又 ， ，
设 ，则 ，设 ，则
，
设 的内切圆与边 、 、 切于点 、 、 ，
由切线长定理得 ， ， ，
， ， ，且 ，则四边形 为正方
形，
所以， ，则 ，
因此， 的内切圆半径为 .
故选：A.
【点睛】
4OP = 1PF x 2PQF
3 2 3 13
2
1 2 2F PF
π∠ = 1F P m= 2 2 3F P m= + PQ t=
2PF Q△
2 2
13 13
y x− = ( )1 0,4F ( )2 0, 4F −
1 24OP OF OF= = = 1 2 2F PF
π∴∠ =
1F P m= 2 2 3F P m= + PQ t=
2 1 1F Q FQ F P PQ m t= = + = +
2PF Q△ PQ 2PF 2F Q M N Q
PM PN= 2 2F N F D= MQ DQ=
2MPN
π∠ = 2EN PF⊥ EM PQ⊥ EM EN= PMEN
( ) ( )2 2 2 3 2 3 2PF PQ F Q m t m t PM+ − = + + − + = = 3PM =
2PF Q△ 3第 9 页 共 23 页
本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，
属于中等题.
12．已知函数 满足 ，当 时， ，则函数
在 上的零点个数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先由求出 时， .再将函数 的零点
问题，转化为函数 的图象与直线 的公共点的问题，利用数形结
合思想，即可判断出公共点个数，求出函数 ，从而求出 的值域.
【详解】
由 知 ，
设 ，则 ，
则 ，
，
令 =0，即 ，
函数 的零点个数，
即为函数 与直线 的交点个数，
若 与函数 的图象相切，
设切点为 ，则切线斜率 ，
，故不能相切，
若 与函数 的图象相切，
设切点为 ，则切线斜率 ，
( )f x ( ) ( )2f x f x= [1,2)x∈ ( ) lnf x x=
( ) ( )0y f x ax a= − > )4[1x ∈ , ( )g a
{ }0,1 { }0,1,2 { }0,1,2,3 {0,1,2,3,4}
[2,4)x∈ ( ) ln 2
xf x = ( ) ( )0y f x ax a= − >
( )y f x= ( 0)y ax a= >
( )g a ( )g a
( ) ( )2f x f x= ( ) ( )2
xf x f=
[2,4)x∈ [1,2)2
x ∈
( ) ( ) ln2 2
x xf x f= =
ln , [1,2)
( )
ln , [2,4)2
x x
f x x x
∈∴ = ∈
( ) ( )0y f x ax a= − > ( )f x ax=
∴ ( ) ( )0y f x ax a= − >
( )f x ( 0)y ax a= >
( 0)y ax a= > ( ) ln , [1,2)f x x x= ∈
1 1( ,ln )M x x 1
1
1 1
ln1 xk x x
= =
1 [1,2)x e∴ = ∉
( 0)y ax a= > ( ) ln , [2,4)2
xf x x= ∈
2
2( ,ln )2
xN x
2
2
2 2
ln2 1 2
2
x
k x x
= ⋅ =第 10 页 共 23 页
，故也不能相切，
又 ， ，则 ， ，
，则 的值域为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，
属于较难题.
二、填空题
13．已知 ， ， ，且 ，则 __________.
【答案】3
【解析】根据向量平行的坐标关系，即可求解,
【详解】
， ，
，
.
故答案为:3
【点睛】
本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.
14．已知数列 满足 ， 且 ，则该数列的前
9 项之和为__________.
2 2 [2,4)x e∴ = ∉
(2,ln 2)A (4,ln 2)B ln 2
2OAk = ln 2
4OBk =
ln 20, 2
ln 2 ln 2( ) 1, 4 2
ln 22,0 4
a
g a a
a
≥
∴ = ≤ ≥ >
1
1 13 x< < 13 1x > 2 13 1x x≥ > ( ) x
xg x e
=
( )1,+∞
( ) ( )2 13g x g x∴ ≤ ( ) ( )1 13g x g x≤
1 1
1 1
3
3
x x
x x
e e
≤ 1
ln3
2x ≤
1
1 ln3
3 2x< ≤
1x ln30, 2
( ) x
xg x e
= ln30, 2
( ) ( )1
ln30 2g g x g ∴ < ≤
3 ln30 6a< ≤
a 3 ln30, 6
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应用，属于难题.
22．在直角坐标系 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数），以 O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆 C 的极坐标方程；
（2）直线 l 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C 的交点
为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 的长.
【答案】（1） ；（2）2
【解析】（1）首先利用 对圆 C 的参数方程 （φ 为参数）
进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆 C 的极坐
标方程．（2）设 ，联立直线与圆的极坐标方程，解得 ；设
，联立直线与直线的极坐标方程，解得 ，可得 ．
【详解】
（1）圆 C 的普通方程为 ，又 ，
所以圆 C 的极坐标方程为 .
（2）设 ，则由 解得 ， ，得 ；
设 ，则由 解得 ， ，得 ；
所以
【点睛】
本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求
解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.
23．如图，AB 是半圆的直径，O 为 AB 的中点， 、C 在 AB 上，且
， .
xOy 1 cos
sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
2 sin 3 33
πρ θ + = : 3OM
πθ =
PQ
2cosρ θ=
2 2 1cos sinϕ ϕ+ = 1{x cos
y sin
ϕ
ϕ
= +
=
1 1P ρ θ（ ， ） 1 1
ρ θ，
2 2Q ρ θ（ ， ） 2 2
ρ θ， PQ
( )2 21 1x y− + = cosx ρ θ= siny ρ θ=
2cosρ θ=
( )1 1,ρ θΡ
2
{
3
cosρ θ
πθ
=
= 1 1ρ = 1 3
πθ = 1, 3P
π
( )2 2Q ,ρ θ
2 sin 3 33{
3
πρ θ
πθ
+ =
=
2 3ρ = 2 3
πθ = 3, 3Q
π
Q 2Ρ =
⊥DO AB
AC x= BC y=第 22 页 共 23 页
（1）用 x、y 表示线段 OD，CD 的长度：
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
【答案】（1） ， ；（2）2
【解析】（1） 为直径， ， 为半径，则 . 中，利
用勾股定理，可求出 ；
（2） 中 ，则 ，即可得 .再
令 ，同理可得 ，由此解得 .
【详解】
解：（1）直径 ，则半径 ，
在 中，
，
即 ；
（2）由（1）知， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
，
令
则
0a > 0b > 2a b+ = 4 4a b+
2
x yOD
+= 2 2
2
x yCD
+=
AB AB x y= + OD 2
x yOD
+= Rt OCD△
2 2
2
x yCD
+=
Rt OCD△ CD OD≥ 2 2
2 2
++ ≥x y x y 2 2
2( ) 12 2
a b a b+ +≥ =
2 2,x a y b= = 4 4 2 2
12 2
a b a b+ +≥ ≥ 4 4 2a b+ ≥
AB x y= +
2
x yOD
+=
Rt OCD△
2 2
2 2 2 2( ) ( )2 2 2
x y x y x yCD OD OC
+ − += + = + =
2 2
2
x yCD
+=
CD OD≥
2 2
2 2
++ ≥x y x y x y=
2 2
2( ) 12 2
a b a b+ +∴ ≥ =
2 2,x a y b= =
4 4 2 2
12 2
a b a b+ +≥ ≥第 23 页 共 23 页
（当且仅当 时，等号成立），
的最小值为 2.
【点睛】
本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.
4 4 2a b∴ + ≥ 1a b= =
4 4a b∴ +
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