知识讲解高考冲刺：解答题的解题策略

1 高考冲刺：怎样解解答题 【高考展望】 1.数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容， 具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一 定的创新意识和创新能力等特点。 2.解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、题解决 问题的能力，分值占试卷的一半左右，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、函数与 导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几何(或与平面向量交汇)、立体几何、数列(或 与不等式交汇)。 3.从历年高考题看，这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考 生“会而得不全分”的现象大有人在。针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题 特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果． 【方法点拨】 1.求解解答题的一般技巧 解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山。在解答解答题时，应注 意正确运用解题技巧． (1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表 达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要 求，避免因“对而不全”失分． (2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分 段得分．有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对这些不会做的题目可以采取以下 策略： ①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小 问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解 题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却可 以得到一半以上． ②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时我们可以先承认中间结论， 往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问的结论当作“已 知”，先做第(2)问，跳一步再解答． ③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步 骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条 件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这 些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的 策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心 理上产生光环效应．阅卷老师都喜欢“锦上添花”而不喜欢“雪中送炭”。 ④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题 途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证． 2．求解解答题的一般步骤 第一步：(弄清题目的条件是什么，解题目标是什么？)这是解题的开始，一定要全面审 视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构， 多方位、多角度地看问题，不能机械地套用模式，而应从各个不同的侧面、角度来识别题目 的条件和结论以及图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系，从而利于解题方法的选 择和解题步骤的设计．2 第二步：(探究问题已知与未知、条件与目标之间的联系，构思解题过程．)根据审题从 各个不同的侧面、不同的角度得到的信息，全面地确定解题的思路和方法．要注意“熟题找 差异，生题找联系”。 第三步：(形成书面的解题程序，书写规范的解题过程．)解题过程其实是考查学生的逻 辑推理以及运算转化等能力．评分标准是按步给分，也就是说考生写到哪步，分数就给到哪 步，所以卷面上讲究规范书写． 第四步：(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及 考查的知识、技能、基本活动经验等．)(1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程， 一般来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，若觉得运算挺顺利则好，若觉得解答别扭则 十有八九错了，这就要认真查看演算过程．(2)特殊检验——即取特殊情形验证，如最值问 题总是在特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答案是否吻合． 【典型例题】 类型一：规范解答过程 对于会做的题，要做到不丢分，具体要求解题步骤表达准确、考虑周密、书写规范、 关键步骤清晰，防止分段扣分。 例 1.解关于 的不等式: . 【思路分析】二次形式不等式，不一定是真的二次不等式，需要分类讨论。 【解析】（1）当 时，不等式为 , 解集为 ； （2）当 时，需要对方程 的根的情况进行讨论： ① 即 时，方程 有两根 . 则原不等式的解为 . ② 即 时，方程 没有实根， 此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为 . ③ 即 时，方程 有两相等实根为 ， 则原不等式的解为 . （3）当 时， 恒成立， 即 时，方程 有两根 . 此时，为开口向下的抛物线， x 2 2 1 0ax ax+ + > ( )a R∈ 0a = 1 0> x R∈ 0a > 2 2 1 0ax ax+ + = 2 00 0 10 ( 1) 04 4 0 aa a aa aa a >> > ⇒ ⇒ ⇒ >  ∆ > − >− >  1a > 2 2 1 0ax ax+ + = a aa a aaa a aaax )1(12 442 22 2,1 −±−=−±−=−±−= ),)1(1())1(1,( +∞−+−−−−−∞ a aa a aa  2 00 0 0 10 0 14 4 0 aa a aaa a >> > ⇒ ⇒ ⇒ <  ⇒ ⇒ ⇒ =  ∆ = = =− =  或 1a = 2 2 1 0ax ax+ + = 1,2 1x = − ( , 1) ( 1, )−∞ − − +∞ 0a < 0∆ > 0a < 2 2 1 0ax ax+ + = 1,2 2 ( 1) ( 1)12 a a a a ax a a − ± − −= = − ±3 故原不等式的解集为 . 综上所述，原不等式的解集为： 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 举一反三： 【变式 1】若对于任意 ， 恒成立，则 a 的取值范围是________. 【解析】 对一切 恒成立， 在 R+上的最大值. 而 . 当且仅当 即 x=1 时等取号. ∴ . 【变式 2】解关于 的不等式: （ ）. 【解析】原不等式可分解因式为: ， （下面按两个根 与 的大小关系分类） （1）当 ，即 或 时，不等式为 或 ， 不等式的解集为： ； （2）当 ，即 时，不等式的解集为： ； （3）当 ，即 或 时，不等式的解集为： ； 综上所述，原不等式的解集为： 当 或 时， ； 当 时， ； 当 或 时， . 例 2、已知函数 （ ）. （1）讨论 的单调性； ( 1) ( 1)( 1 , 1 )a a a a a a − −− + − − 0a < ))1(1,)1(1( a aa a aa −−−−+− 0 1a≤ < ( , )−∞ +∞ 1a = ( , 1) ( 1, )−∞ − − +∞ 1a > ),)1(1())1(1,( +∞−+−−−−−∞ a aa a aa  0x > 2 3 1 x ax x ≤+ + 2 3 1 xa x x ≥ + + 0x > 2 3 1 xa x x ≥ + + 2 1 1 1 13 1 513 2 3 x x x x xx x = ≤ =+ + + + ⋅ + 1 0x x = > 1 5a ≥ x 2 3 2( )x a a a x+ < + a R∈ 2( )( ) 0x a x a− − < a 2a 2a a= 0a = 1a = 2 0x < 2( 1) 0x − < x∈∅ 2a a> 0 1a< < 2( , )x a a∈ 2a a< 0a < 1a > 2( , )x a a∈ 0a = 1a = x∈∅ 0 1a< < 2( , )x a a∈ 0a < 1a > 2( , )x a a∈ ln( ) a xf x x = 0a > ( )f x4 （2）求 在区间 上的最小值. 【解析】（1）函数 的定义域为（0，+∞） 对 求导数，得 解不等式 ，得 0＜x＜e 解不等式 ，得 x＞e 故 在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减 （2）①当 2a≤e 时，即 时，由（1）知 在（0，e）上单调递增， 所以 ②当 a≥e 时，由（1）知 在（e，+∞）上单调递减， 所以 ③当 时，需比较 与 的大小 因为 所以，若 ，则 ，此时 若 2＜a＜e，则 ，此时 综上，当 0＜a≤2 时， ；当 a＞2 时 【总结升华】对于函数问题，定义域要首先考虑，而（２）中③比较大小时，作差应该 是非常有效的方法. 举一反三： 【变式 1】设 ， （1）利用函数单调性的意义，判断 f(x)在（0，+∞）上的单调性； （2）记 f(x)在 0