四川仁寿一中南校区2019-2020高一数学下学期开学考试试题（有答案Word版）

仁寿一中南校区高 2019 级 2020 年春季入学考试 数学试题 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将考号准确填涂 2、作答选择题时，选出答案后用 2B 铅笔在答题卡对应题目选项答案信息涂黑；如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、单项选择题（每题 5 分，共 60 分） 1、数列 的一个通项公式是（ A ） A、 B、 C、 D、 2、设 ,且 ,则（　C 　） A、 B、 C、 D、 3、化简 的值为（　B　） A、 B、 C、1 D、-1 4、在 中， ，则 等于（ B ） A、 或 B、 C、 D、以上答案都不对 5、已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ＝（　C　） A、7 B、14 C、33 D、42 6、已知数列 满足： ，则 （D　　） A、 B、3 C、 D、1 7、已知 两地距离为 2， 两地距离为 3，现测得 ，则 两地的 距离为（ D ） 1,3,5,7, 2 1na n= − 2 1na n= + 3 1na n= − 3 1na n= + , ,a b c R∈ a b> ac bc> 2 2a b> 3 3a b> 1 1 a b < 0 0 0 0sin 74 cos29 -cos74 sin 29 2 2 − 2 2 ABC∆ , 2, 14A a b π= = = B 030 0150 030 0150 { }na n nS 1 6 11 9a a a+ + = 11S { }na ( )* 3 1 21 ,2 2 n n n aa a n Na+= = ∈+ 1a = 1 2 2 3 ,A B ,B C 2 3ABC π∠ = ,A CA、 B、 C、 D、 8、 为等差数列 的前 项和，且 ，则 等于（　B　） A、 B、 C、 D、 9、下列说法正确的是（ B ） ①若 ，则 为等腰三角形； ② 若 是正项等比数列，则 是等差数列； ③若 ，则 为等边三角形； ④常数列既是等差数列又是等比数列； A、①② B、②③ C、①③ D、③④ 10、正项等比数列 满足 ，则 （A　） A、5 B、8 C、10 D、2+log45 11、已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 取何值时 最大 (　C ) A、5 B、6 C、7 D、8 12、已知 的内角 所对的边分别为 ，且 若 的面积为 ，则 的周长的最小值为（　B　） A、 B、6 C、 D、 解：∵（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB， ∴由正弦定理可得（a﹣b）a＝c2﹣b2，可得 a2+b2﹣c2＝ab， ∴由余弦定理可得 cosC＝ ＝ ＝ ，可得 sinC＝ ＝ ， ∵△ABC 的面积为 ＝ absinC＝ ab，解得 ab＝4， ∴由余弦定理可得 c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab＝4，即 c≥2，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立， ∴△ABC 的周长为 a+b+c≥6，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立， 即△ABC 的周长的最小值为 6．故选：B． 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13 15 17 19 nS { }na n 3 6 1 3 S S = 6 12 S S 1 3 3 10 1 8 1 9 sin 2 sin 2A B= ABC∆ { }na { }2log na cos( )cos( )cos( ) 1A B B C C A− − − = ABC∆ { }na 5 6 4 7 8a a a a+ = 4 1 4 2 4 10log log loga a a+ + + = { }na n nS 14 150, 0S S> < n nS ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )sin sin sina b A c C b B− = − ABC∆ 3 ABC∆ 3 3 6 3 3 3+ 2 4a b ab∴ + ≥ =13、已知 ，则 ___3___ 14、已知数列 的前 n 项和 ，则 ______ 15、我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 ．若 ，则用 “三斜求积”公式求得 的面积为　　． 16、已知数列 满足： ,若 ， 且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围为　 . 三、解答题（共 70 分） 17、(10 分) 中， 分别为 对边，且 ， （1）求 ； （2）求 的面积 解：（1）易知 ，由 ...........5 分 （2） .......10 分 18、(12 分)（1）化简： key： （2）已知 ，求 的值 key： （1）原式 .........5 分 （2） ...12 分 19、(12 分)已知等差数列 的前 项和 满足： （1）求数列 的通项公式； （2）设 ,求数列 的前 项和 . sin cos 2sin cos α α α α + =− tanα = { }na 2 1nS n= + na = ( ) ( ) 2 1 2 -1 2 n n n = ≥ ABC∆ 22 2 2 2 21 4 2 c a bS c a   + −= −      2 2 2sin 2sin ,( ) 4 2 3a C A a c b= + = + + ABC∆ 1 2 { }na ( )* 1 1 1 21, +1, n n a n Na a+ = = ∈ ( )1 11 1 ,n n b n a λ+  = + − +    1b λ= − { }nb λ 4λ < ABC∆ , ,a b c , ,A B C 0 01, 105 , 30c A C= = = b ABC∆ 045B = 2sin sin c b bC B = ⇒ = 1 1 6 2 3 1sin 2 12 2 4 4ABCS bc A∆ + += = × × × = 0 03sin15 cos15+ 2 ( )0 0 0 5120 210 ,sin 60 13 α α< < + = − cosα 0 02sin(15 30 ) 2= + = ( )0 0 0 0 0 0 12120 210 , 180 60 270 cos 60 13 α α α< < ∴ < + < ∴ + = − ( )0 0 12 1 5 3cos cos ( 60 ) 60 13 2 13 2 α α  ∴ = + − = − × + − × =   12 5 3 26 − − }{ na n nS 2 53, 25a S= = }{ na = +2n n nb a { }nb n nT解：（1） ……………6 分 （2） ……………………………7 分 ………………………………8 分 …… …………11 分 …………………………………12 分 20、(12 分)已知数列 的前 n 项和为 ，点 在函数 上， （1）求 的通项公式；（2）设 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成立的最大正整数 key：（1） ......6 分 （2） ........8 ............................10 分 易知 单调递增，当 时， ........11 分 .....................12 分 21、(12 分)设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ． 2 1 1 5 1 3 1 5 10 25 2 a a d a S a d d = + = = ⇒ = + = = ( )*2 1na n n N∴ = − ∈ = +2 2 1 2n n n nb a n= − + 1 2 3T + +n nb b b b∴ = +⋅⋅⋅+ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3= 1+2 + 3+2 + 5+2 2 1+2nn+⋅⋅⋅+ − 1 2(1 3 5 ... 2 1) (2 2 ... 2 )nn= + + + + − + + + + ( )2 1 2(1 2 1) +2 1 2 nn n −+ −= − 2 +12 2nn= + − 2 12 2n nT n += + − { }na nS ))(,( *NnSn n ∈ 22y x x= − { }na 1 1 ,n n n n b Ta a + = { }nb 20n mT ≥ *Nn ∈ m 22 4 3n nS n n a n= − ⇒ = − ( )( ) 1 1 1 1 4 3 4 1 4 4 3 4 1nb n n n n  = = − − + − +  1 1T 14 4 1n n  = − +  nT 1n = min 1( ) 5nT = max 1 4, 45 20 m m m∴ ≥ ⇒ ≤ ∴ = ABC A B C， ， a b c， ， 2 sinb a B=（1）求 的大小； （2）求 的取值范围． 解：（1）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ， 由 为锐角三角形得 ． （2） 由 为锐角三角形知， 所以， 的取值范围为 ． 22、(12 分)已知数列 的前 项和为 , ,且 时 ,数列 满 足 对任意 ,都有 . （1）求数列 、 的通项公式； （2）令 若对任意的 ,不等式 恒成 立,试求实数 的取值范围. 解：（1）当 时， ，即 ( ). ………………1 分 ∴ ( )， 又 ,也满足上式，故数列 的通项公式 ( ).…………………3 分 （说明：学生由 ，同样得分）. 由 ，知数列 是等比数列，其首项、公比均为 ， ∴数列 的通项公式 …………………………………………………4 分 （2） ………5 分 { }nb n nb )2 1(= ( 1)1 2 3 ... .2n n nns += + + + + = A cos sinC B+ 2 sinb a B= sin 2sin sinB A B= 1sinA 2 = ABC△ π 6A = 5cos sin cos sin 3sin6 3C B C C C π π   + = + − = +       ABC△ 0 2 52 5 3 2 3 3 60 6 2 C C C C π π π π π π π π  < −- ( )11 2 12 (2 ) 62 2 2 2 n n n n n nn nλ λ  +  +   − ⋅ > − −           