2020 年高考（理科）数学第二次诊断测试试卷
一、选择题（共 12 小题）
1．已知集合 ，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3}
C．{1，2，3} D．{2，3}
2．若 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．”φ＝﹣ ’”是“函数f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线 x＝﹣ 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．幻方最早起源于我国，由正整数 1，2，n2 这 n2 个数填入 n×n 方格中，使得每行、每列
、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫 n 阶幻方．定义 f（n）为 n 阶幻方
对角线上所有数的和，如 f（3）＝15，则 f（10）＝（ ）
A．55 B．500 C．505 D．5050
5．已知 m，n 是两条不重合的直线，α，β 是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（
）
A．若 m∥α，α∥β，则 m∥β 或 m⊂β B．若 m∥n，m∥α，n⊄α，则 n∥α
C．若 m⊥n，m⊥α，n⊥β，则 α⊥β D．若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α
6．（x2﹣2）（x+2）5 的展开式中含 x4 的项的系数为（ ）
A．﹣20 B．60 C．70 D．80
7．若不相等的非零实数 x，y，z 成等差数列，且 x，z，y 成等比数列，则 ＝（ ）
A． B．﹣2 C．2 D．
8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．右图是一个八卦图，包
含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦（每﹣﹣卦由三个爻组成，其中“ ”表示一个阳爻，“ ”表示一个阴爻）．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两
个阳爻的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC 中，点 P 为 BC 中点，过点 P 的直线与 AB，AC 所在直线分别交于点 M，N，
若 ＝λ ， ＝ （λ＞0，μ＞0），则 λ+μ 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
10．如图，平面四边形 ACBD 中，AB⊥BC，AB＝ ，BC＝2，△ABD 为等边三角形，现
将△ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PB⊥BC，则三棱锥 P﹣ABC 的外接球的
表面积为（ ）
A．8π B．6π C．4π D．
11．若函数 f（x）＝ex 的图象上两点 M，N 关于直线 y＝x 的对称点在 g（x）＝ax﹣2 的图
象上，则 a 的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，e） C． D．（0，e）
12．已知抛物线 C：y2＝4x 和点 D（2，0），直线 x＝ty﹣2 与抛物线 C 交于不同两点 A，B
，直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E．给出以下判断：
①以 BE 为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为﹣2；
③设过点 A，B，E 的圆的圆心坐标为（a，b），半径为 r，则 a2﹣r2＝4．
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题13．已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝2x+y 的最大值为 ．
14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图
所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已
知第二组的频数是 80，则成绩在区间[80，100]的学生人数是 ．
15．设双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45°的直
线与双曲线 C 的两条渐近线顺次交于 A，B 两点．若 ＝3 ，则 C 的离心率为 ．
16．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 f'（x），若 x＞0 时，f'（x）＜2x，
则不等式 f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1 的解集是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题
：共 60 分．
17．某商场为改进服务质量，随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，
就顾客“购物体验”的满意度统计如表：
满意 不满意
男 40 40
女 80 40
（1）是否有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为 100 元/件的商品开展促销活动．据统计，在此
期间顾客购买该商品的支付情况如表：
支付方
式
现金支付 购物卡支
付
APP 支付频率 10% 30% 60%
优惠方
式
按 9 折支
付
按 8 折支
付
其中有 1/3 的顾客按 4 折支付，1/2 的顾客按 6 折支付，1/6
的顾
客按 8 折支付．
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为 X，
求 X 的分布列和数学期望．
附表及公式：K2＝ ．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+ csinA＝b+c．
（1）求 A；
（2）若 a＝ ，b+c＝3，求 b，c．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为 2
的正三角形， ，E 为线段 AD 的中点．
（1）求证：平面 PBC⊥平面 PBE；
（2）若 F 为线段 PC 上一点，当二面角 P﹣DB﹣F 的余弦值为 时，求三棱锥 B﹣PDF
的体积．
20．已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其短半轴长为 1，一个焦点坐标为（1，0），点 A
在椭圆 C 上，点 B 在直线 上，且 OA⊥OB．
（1）证明：直线 AB 与圆 x2+y2＝1 相切；
（2）设 AB 与椭圆 C 的另一个交点为 D，当△AOB 的面积最小时，求 OD 的长．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣xlnx+ax，f'（x）为 f（x）的导数，函数 f'（x）在 x＝x0 处取得
最小值．
（1）求证：lnx0+x0＝0；
（2）若 x≥x0 时，f（x）≥1 恒成立，求 a 的取值范围．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 以 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立，极坐标系，设点 A 在曲线 C2：ρsinθ＝1 上，点 B 在曲线 C3：
上，且△AOB 为正三角形．
（1）求点 A，B 的极坐标；
（2）若点 P 为曲线 C1 上的动点，M 为线段 AP 的中点，求|BM|的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x+1|
（1）解不等式：f（x）+f（x﹣2）≤6；
（2）求证：f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3}
C．{1，2，3} D．{2，3}
【分析】先根据定义域求集合 A，再求补集，交集．
解：A＝{x|x＜2，x∈Z}，
∴∁RA＝{x|x≥2，x∈Z}，
∴（∁RA）∩B＝{2，3}，
故选：D．
2．若 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求三角函数值化简 z，再由复数的基本概念求得 的坐标得答案．
解：∵ ＝ ，
∴ ，
则 在复平面内对应的点的坐标为（ ， ），位于第二象限．
故选：B．
3．”φ＝﹣ ’”是“函数f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线 x＝﹣ 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】函数 f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线 x＝﹣ 对称，可得 sin（﹣ +φ
）＝±1，解得 φ，即可判断出结论．
解：函数 f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线 x＝﹣ 对称，则 sin（﹣ +φ）＝±1，解得﹣ +φ＝kπ+ ，k∈Z，取 k＝﹣1，则 φ＝﹣ ．
∴”φ＝﹣ ’”是“函数 f（x）＝sin（3x+φ）的图象关于直线 x＝﹣ 对称”充分
不必要条件．
故选：A．
4．幻方最早起源于我国，由正整数 1，2，n2 这 n2 个数填入 n×n 方格中，使得每行、每列
、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫 n 阶幻方．定义 f（n）为 n 阶幻方
对角线上所有数的和，如 f（3）＝15，则 f（10）＝（ ）
A．55 B．500 C．505 D．5050
【分析】欲求 n 阶幻方对角线上数之和，只需求每一行上数之和，由 n 阶幻方定义可知
，n 阶幻方由 1 到 n2，共 n2 个连续自然数构成，且每一行都相等，所以，只需求出所有
数之和，再除以 n，最后把 10 代入即可得答案．
解：对于 3 阶幻方，共由 1 到 32，即 1 到 9 这 9 个连续自然数构成，且每一行都相等，
由等差数列得前 n 项和公式可得，这 9 个数字之和为 ＝45，
再除以 3，即可得出 f（3）＝15．
一般的 n 阶幻方数字之和为 S＝1+2+…+n2＝ ；
∴f（n）＝ ＝ n（n2+1）；
∴f（10）＝ ×（102+1）＝505．
故选：C．
5．已知 m，n 是两条不重合的直线，α，β 是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（
）
A．若 m∥α，α∥β，则 m∥β 或 m⊂β B．若 m∥n，m∥α，n⊄α，则 n∥α
C．若 m⊥n，m⊥α，n⊥β，则 α⊥β D．若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α
【分析】直接利用线面和面面平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．
解：对于选项 A：若 m∥α，α∥β，则 m∥β 或 m⊂β，利用面面平行的性质的应用可得，
故正确．对于选项 B：若 m∥n，m∥α，n⊄α，则 n∥α，直接利用线面平行的判定的应用求出结
果，故正确．
对于选项 C：若 m⊥n，m⊥α，n⊥β，则 α⊥β，直接利用面面垂直的判定的应用求出结
果，故正确．
对于选项 D：若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α，可能 n⊂α 内，故错误．
故选：D．
6．（x2﹣2）（x+2）5 的展开式中含 x4 的项的系数为（ ）
A．﹣20 B．60 C．70 D．80
【分析】先求（x+2）5 的展开式的通项公式，进而求得结论．
解：因为（x+2）5 的展开式的通项公式为：Tr+1＝ •x5﹣r•2r；
令 5﹣r＝2 即 r＝3，可得 x2 的系数为：23• ＝80，此时对应的含 x4 的项的系数为：80×
1＝80；
令 5﹣r＝4 即 r＝1，可得 x4 的系数为：21• ＝10，此时对应的含 x4 的项的系数为：10×
（﹣2）＝﹣20；
故（x2﹣2）（x+2）5 的展开式中含 x4 的项的系数为：80﹣20＝60．
故选：B．
7．若不相等的非零实数 x，y，z 成等差数列，且 x，z，y 成等比数列，则 ＝（ ）
A． B．﹣2 C．2 D．
【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，可得 x，y，z 的方程，消去 z，解得 x，y
的关系，可得 z，y 的关系，代入求值可得．
解：不相等的非零实数 x，y，z 成等差数列，且 x，z，y 成等比数列，
可得 x+z＝2y，z2＝xy，消去 z 可得（x﹣2y）2＝xy，
化为 x2﹣5xy+4y2＝0，解得 x＝4y（x＝y 舍去），
即有 z＝﹣2y，
则 ＝ ＝﹣ ，
故选：A．
8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．右图是一个八卦图，包
含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦（每﹣﹣卦由三个爻组成，其中“ ”表示一个阳爻，“ ”表示一个阴爻）．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两
个阳爻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】从八卦中任取两卦，基本事件总数 n＝C ＝28，这两卦的六个爻中恰有两个阳
爻包含的基本事件个数 m＝ ＝6，由此能求出这两卦的六个爻中恰有两个阳爻
的概率．
解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，
从八卦中任取两卦，基本事件总数 n＝C ＝28，
这两卦的六个爻中恰有两个阳爻包含的基本事件个数 m＝ ＝6，
∴这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 P＝ ．
故选：C．
9．在△ABC 中，点 P 为 BC 中点，过点 P 的直线与 AB，AC 所在直线分别交于点 M，N，
若 ＝λ ， ＝ （λ＞0，μ＞0），则 λ+μ 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【分析】可画出图形，根据条件可得出 ，进而可得出
，从而得出 ，然后根据基本不等式即可得出 λ+μ 的最小值．
解：如图，连接 AP，
∵P 为 BC 的中点， ，且 λ＞0，μ＞0，
∴ ＝ ，且 M，P，N 三点共线，
∴ ，
∴ ＝ ，当且仅当 ，即 λ＝μ＝1 时取等号，
∴λ+μ 的最小值为 2．
故选：B．
10．如图，平面四边形 ACBD 中，AB⊥BC，AB＝ ，BC＝2，△ABD 为等边三角形，现
将△ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PB⊥BC，则三棱锥 P﹣ABC 的外接球的
表面积为（ ）
A．8π B．6π C．4π D．
【分析】容易判断，折叠后面 ABP 与面 ABC 垂直，可以构造一个以三角形 PAB 为底面
，侧棱为 BC 的正三棱柱，所求的外接球即为该三棱柱的外接球．球心为上下底面中心
连线的中点，则问题可迎刃而解．
解：因为 AB⊥BC，且 PB⊥BC，所以 BC⊥面 PAB．
以折叠后的三棱锥是底面边长为 ，侧棱长为 2 的正三棱柱的一部分，如图所示．
设 H、K 分别为上下底面的中心，O 为 HK 的中点，在直角三角形 OHN 中，
由正三角形的性质可知 NH＝ ，OH＝
所以
故外接球的表面积 S＝4πR2＝8π
故选：A．11．若函数 f（x）＝ex 的图象上两点 M，N 关于直线 y＝x 的对称点在 g（x）＝ax﹣2 的图
象上，则 a 的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，e） C． D．（0，e）
【分析】易知，函数 f（x）＝ex 关于直线 y＝x 对称的函数为 y＝lnx，由题意，函数 g（
x）＝ax﹣2 与函数 y＝lnx 有两个交点，作图观察即可得到结论．
解：函数 f（x）＝ex 关于直线 y＝x 对称的函数为 y＝lnx，
则函数 g（x）＝ax﹣2 与函数 y＝lnx 有两个交点，显然 a＞0，
作出函数图象如下，
；
设 y＝lnx 上任一点坐标为（x0，lnx0），因为其导函数为 y＝ ，故其对应切线的斜率为
：k＝ ；
故切线为：y﹣lnx0＝ （x﹣x0）⇒y＝ •x﹣1+lnx0；
当切线过点（0，﹣2）时；﹣1+lnx0＝﹣2⇒x0＝ ；此时对应的切线斜率为：e；
由图可知，要使函数 f（x）＝ax﹣2 与函数 y＝lnx 有两个交点，则需 0＜a＜e．
故选：D．
12．已知抛物线 C：y2＝4x 和点 D（2，0），直线 x＝ty﹣2 与抛物线 C 交于不同两点 A，B
，直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E．给出以下判断：
①以 BE 为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为﹣2；
③设过点 A，B，E 的圆的圆心坐标为（a，b），半径为 r，则 a2﹣r2＝4．
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】如图所示，设 A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3）．
①设直线 BD 的方程为：x＝my+2，联立 ，化为：y2﹣4my﹣8＝0，利用根与
系数的关系、中点坐标公式、弦长公式可得：线段 BE 的中点到抛物线的准线 x＝﹣1 的
距离 d＝ ＝ （y2+y3）+2， |BE|＝ ，比较
即可得出结论．
②直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积＝ ＝ ＝ ，即可判断出正误．
③③联立 ，化为：y2﹣4ty+8＝0．设线段 AB 的中点 Q（x0，y0），利用根与
系数的关系、中点坐标公式可得 Q，可得段 AB 的垂直平分线为：y﹣2t＝﹣ （x﹣2t2+2
）．可得△ABE 外接圆的圆心 M（2t2，0），即 a＝2t2，b＝0．利用点到直线的距离公
式可得：点 M 到直线 AB 的距离 d．利用弦长公式可得：|AB|2，可得 r2＝d2+ |AB|2，进
而判断出结论．
解：如图所示，设 A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），
①设直线 BD 的方程为：x＝my+2，
联立 ，化为：y2﹣4my﹣8＝0，∴y2+y3＝4m，y2y3＝﹣8，
线段 BE 的中点到抛物线的准线 x＝﹣1 的距离 d＝ ＝ （y2+y3）+2＝2m2+2，
|BE| ＝ ＝ ＝ 2
＞2m2+2＝d，
因此以 BE 为直径的圆与抛物线准线相交．不正确．
②联立 ，化为：y2﹣4ty+8＝0，
∴y1+y2＝4t，y1y2＝8．
设直线 BD 的方程为：x＝my+2，
联立 ，化为：y2﹣4my﹣8＝0，
∴y2+y3＝4m，y2y3＝﹣8，
∴直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积＝ ＝ ＝ ＝﹣2，因此正确．
③联立 ，化为：y2﹣4ty+8＝0．
设线段 AB 的中点 Q（x0，y0），
∵y1+y2＝4t，∴y0＝2t，可得 x0＝2t•t﹣2＝2t2﹣2．
∴线段 AB 的垂直平分线为：y﹣2t＝﹣ （x﹣2t2+2）．
可得△ABE 外接圆的圆心 M（2t2，0），即 a＝2t2，b＝0．
点 M 到直线 AB 的距离 d＝ ．
|AB|2＝（1+t2）（16t2﹣32），
∴r2＝d2+ |AB|2＝ +（1+t2）（4t2﹣8）＝4（t4﹣1），
∴a2﹣r2＝4t4﹣4（t4﹣1）＝4，因此正确．
综上：②③都正确，
故选：C．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝2x+y 的最大值为 7 ．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线
过 A 时，z 取得最大值．
解：画出实数 x，y 满足约束条件 表示的平面区域如图：
目标函数变形为﹣2x+z＝y，则 z 表示直线在 y 轴上截距，
截距越大，z 越大，
作出目标函数对应的直线 L：y＝﹣2x
由 可得 A（2，3）．
目标函数 z＝2x+y 线过 A（2，3）时，
直线的纵截距最大，z 取得最大值为 z＝7；
故答案为：7．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图
所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已
知第二组的频数是 80，则成绩在区间[80，100]的学生人数是 20 ．
【分析】每一组的频数除以概率可得总人数，总人数乘以频率可得对应组的频数．
解：总人数为： ＝200，
则成绩在区间[80，100]的学生人数为 200×0.01×10＝20．
故答案为：20
15．设双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45°的直
线与双曲线 C 的两条渐近线顺次交于 A，B 两点．若 ＝3 ，则 C 的离心率为 ．
【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 A，B 表示出来，再由
＝3 ，求出 a，b，c 的关系，然后求双曲线的离心率．
解：设 F（﹣c，0），则双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点且倾斜角为 45
°的直线为：
y＝x+c，而渐近线的方程是：y＝± x，
由 得：
A（﹣ ， ），
由 得：
B（ ， ），
∵ ＝（ +c， ）， ＝（c﹣ ， ），
∵ ＝3 ，
∴ ＝3× ，
∴b＝2a，
∴c2＝a2+b2＝5a2，
则 c＝ a，
则 e＝ ．
故答案为： ．
16．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 f'（x），若 x＞0 时，f'（x）＜2x，
则不等式 f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1 的解集是 （﹣1， ） ．
【分析】构造函数 g（x）＝f（x）﹣x2，依题意，可知 g（x）是定义在 R 上的偶函数，
且在（0，+∞）上单调递减；而 f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1 可化为g（2x）＞g（x﹣1），从而可求得答案．
解：令 g（x）＝f（x）﹣x2，
则 g′（x）＝f'（x）﹣2x，
∵f（x）是定义在 R 上的偶函数，x＞0 时，f'（x）＜2x，
∴g（x）是定义在 R 上的偶函数，①
x＞0 时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；②
又不等式 f（2x）﹣f（x﹣1）＞3x2+2x﹣1 可化为：f（2x）﹣（2x）2＞f（x﹣1）﹣（x﹣
1）2，
即 g（2x）＞g（x﹣1），
∴由①②得：|2x|＜|x﹣1|，
两端平方，解得﹣1＜x＜ ，
∴原不等式的解集为（﹣1， ），
故答案为：（﹣1， ）．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题
：共 60 分．
17．某商场为改进服务质量，随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，
就顾客“购物体验”的满意度统计如表：
满意 不满意
男 40 40
女 80 40
（1）是否有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为 100 元/件的商品开展促销活动．据统计，在此
期间顾客购买该商品的支付情况如表：
支付方
式
现金支付 购物卡支
付
APP 支付
频率 10% 30% 60%优惠方
式
按 9 折支
付
按 8 折支
付
其中有 1/3 的顾客按 4 折支付，1/2 的顾客按 6 折支付，1/6
的顾
客按 8 折支付．
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为 X，
求 X 的分布列和数学期望．
附表及公式：K2＝ ．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）结合已知数据和 K2 的公式求解即可；
（2）由题意可知，X 的可能取值为 40，60，80，90，然后根据顾客购买商品的支付情
况，求出每个 X 的取值所对应的概率，即可得到分布列和数学期望．
解：（1）因为 K2＝ ，
所以有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．
（2）X 的可能取值为 40，60，80，90，
P（X＝40）＝ ，
P（X＝60）＝ ，
P（X＝80）＝ ，
P（X＝90）＝10%＝0.1．
所以 X 的分布列为
X 40 60 80 90
P 0.2 0.3 0.4 0.1
数学期望 E（X）＝40×0.2+60×0.3+80×0.4+90×0.1＝67．
18．已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+ csinA＝b+c．
（1）求 A；
（2）若 a＝ ，b+c＝3，求 b，c．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合辅助角公式即可求
解；（2）由已知结合余弦定理即可求解．
解：（1）因为 acosC+ csinA＝b+c．
由正弦定理可得，sinAcosC+ sinCsinA＝sinB+sinC＝sin（A+C）+sinC，
展开可得，sinAcosC+ sinCsinA＝sinAcosC+sinCcosA+sinC，
因为 sinC≠0，
所以 ，
即 sin（A﹣ ）＝ ，
∴A﹣ ＝ 或 A﹣ ＝ （舍），
故 A＝ ；
（2）因为 a＝ ，b+c＝3，
由余弦定理可得， ＝ ＝ ＝ ，
解可得，bc＝2，
所以 或 ．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为 2
的正三角形， ，E 为线段 AD 的中点．
（1）求证：平面 PBC⊥平面 PBE；
（2）若 F 为线段 PC 上一点，当二面角 P﹣DB﹣F 的余弦值为 时，求三棱锥 B﹣PDF
的体积．
【分析】（1）连结 CE，推导出 PE⊥AD，PE⊥CE，从而 PE⊥平面 ABCD，进而 PE⊥
BC，BC⊥平面 PBE，由此能证明平面 PBC⊥平面 PBE．
（2）以 E 为原点，EA 为 x 轴，EB 为 y 轴，EP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法能求出三棱锥 B﹣PDF 的体积．
解：（1）证明：连结 CE，
∵底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为 2 的正三角形，，E 为线段 AD 的中点．
∴PE⊥AD，PE＝BE＝ ＝ ，BC⊥BE，∴CE＝ ＝ ，
∴PE2+CE2＝PC2，∴PE⊥CE，
∵BE∩CE＝E，∴PE⊥平面 ABCD，∴PE⊥BC，
∵PE⊥BE＝E，∴BC⊥平面 PBE，
∵BC⊂平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 PBE．
（2）解：由（1）知 PE⊥平面 ABCD，AD⊥BE，
以 E 为原点，EA 为 x 轴，EB 为 y 轴，EP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
B（0， ，0），D（﹣1，0，0），P（0，0， ），C（﹣2， ，0），
设 F（a，b，c）， ，0≤λ≤1，则（a，b，c﹣ ）＝（﹣2 ，﹣
），
解得 a＝﹣2λ，b＝ ，c＝ ），F（﹣2λ， ），
＝（1， ，0）， ＝（1，0， ）， ＝（1﹣2λ， ， ），
设平面 BDP 的法向量 ＝（x，y，z），
则 ，取 ，得 ＝（ ，﹣1，﹣1），
设平面 BDF 的法向量 ＝（m，n，t），
则 ，取 m＝ ，得 ＝（ ，﹣1，
），
∵二面角 P﹣DB﹣F 的余弦值为 ，
∴ ＝ ＝ ，解得 λ＝ ．
∴F（﹣ ， ， ）， ＝（ ， ， ），
∴F 到平面 BDP 的距离 d＝ ＝ ＝ ，
cos＜ ＞＝ ＝ ＝ ，sin＜ ＞＝ ＝ ，
S△BDP＝ ＝ ＝ ，
∴三棱锥 B﹣PDF 的体积为：
VB﹣PDF＝VF﹣BDP＝ ＝ ＝ ．
20．已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其短半轴长为 1，一个焦点坐标为（1，0），点 A
在椭圆 C 上，点 B 在直线 上，且 OA⊥OB．
（1）证明：直线 AB 与圆 x2+y2＝1 相切；
（2）设 AB 与椭圆 C 的另一个交点为 D，当△AOB 的面积最小时，求 OD 的长．
【分析】（1）可设椭圆的方程为 + ＝1（a＞b＞0），由题意可得 b，c，进而得到
a，即有椭圆方程，讨论直线 OA 的斜率为 0 和不为 0，设出方程，求得|OA|，|OB|，|AB|
，进而判断直线 AB 和圆 x2+y2＝1 相切；
（2）求得△AOB 的面积，化简整理运用基本不等式可得最小值，以及取得最值的条件，
设出直线 BA 的方程，联立椭圆方程求得 D 的坐标，进而得到|OD|．
解：（1）证明：可设椭圆的方程为 + ＝1（a＞b＞0），由题意可得 b＝1，c＝1，
a＝ ＝ ，
则椭圆方程为 +y2＝1，
点 B 在直线 上，OA⊥OB，可得直线 OA 的斜率必定存在，
当直线 OA 的斜率为 0 时，可得|OA|＝ ，|OB|＝ ，则|AB|＝2，O 到 AB 的距离为 1
，即直线 AB 与圆 x2+y2＝1 相切；当直线 OA 的斜率不为 0 时，设直线 OA：y＝kx，与椭圆 x2+2y2＝2 联立，可得（1+2k2）x2
＝2，可得 xA2＝ ，yA2＝ ，|OA|2＝ ，
而 OA⊥OB，故 OB 的方程设为 x＝﹣ky，B 在直线 上，可得 x＝﹣ k，|OB|2＝
2+2k2，
可得 + ＝ + ＝1，即|OA|•|OB|＝ ＝|AB|，
可得 O 到 AB 的距离为 d＝ ＝1，即有直线 AB 与圆 x2+y2＝1 相切．
综上可得，直线 AB 与圆 x2+y2＝1 相切；
（2）由（1）可得△AOB 的面积为 S＝ |OA|•|OB|＝ • • ＝
＝ （ + ）≥ •2 ＝1，
上式当且仅当 1+2k2＝1，即 k＝0 时取得等号，则△AOB 的面积的最小值为 1，此时 A
为椭圆的长轴的端点，B（0， ），不妨设 A 为左端点，
AB：y＝x+ ，代入椭圆方程 x2+2y2＝2，可得 3x2+4 x+2＝0，由﹣ +xD＝﹣
，则 xD＝﹣ ，yD＝ ，
则|OD|＝ ＝ ．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣xlnx+ax，f'（x）为 f（x）的导数，函数 f'（x）在 x＝x0 处取得
最小值．
（1）求证：lnx0+x0＝0；
（2）若 x≥x0 时，f（x）≥1 恒成立，求 a 的取值范围．
【分析】（1）对函数求导可得 f′（x）＝ex﹣（lnx+1）+a，再求导可得
，由 f''（x）的单调性及零点存在性定理可知函数 f''（x）存在唯一零点 ，
由此得到函数 f′（x）的单调性，进而判断其最小值在 x＝m 处取得，且 m＝x0，则
，再通过取对数的方式即可得证；
（2）显然需 f（x）在[x0，+∞）上的最小值大于等于 1，由（1）可得函数 f′（x）的最小值为 ，分 f′（x）的最小值小于 0 及最小值大于
等于 0 讨论，当 f′（x）的最小值大于等于 0 时，易知 f（x）为[x0，+∞）上的增函数，
进而易得 ，当 f′（x）的最小值小于 0 时，分析可知，此时 f（x）min＝f
（x2），再分 a≥1﹣e 及 a＜1﹣e 两种情况讨论，综合即得答案．
解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ex﹣（lnx+1）+a，
，
易知函数 f''（x）在（0，+∞）上为增函数，又
，
故函数 f''（x）存在唯一零点 ，使得 ，
且当 x∈（0，m）时，f''（x）＜0，f′（x）单调递减，当 x∈（m，+∞）时，f''（x）＞
0，f′（x）单调递增，
故函数 f′（x）在 x＝m 处取得最小值，依题意，m＝x0，
∴ ，即 ，两边同时取对数得 ，
∴lnx0+x0＝0；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 当 x ≥ x0 时 ， f ′ （ x ） ＝ ex ﹣ （ lnx+1 ） +a 的 最 小 值 为
，
①当 ，即 时，此时 f（x）为[x0，+∞）上的增函数，
∴ ＝
＝ ，
由（1）知， ，故 ，即 f（x）＞1，故 满足
题意；
②当 ，即 时，f′（x）有两个不同的零点 x1，x2，
且 x1＜x0＜x2，
则 ，即 ，
当 x∈（x0，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当 x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∴f（x）min＝f（x2），
注意到 f（1）＝e+a＝1 时，a＝1﹣e，且此时 f′（1）＝e+a﹣1＝0，
（i）当 a≥1﹣e 时，f′（1）＝e+a﹣1≥0＝f′（x2），
∴0＜x2≤1，即 1﹣x2≥0，
又 ＝ ＝
＝ ，
而 ，故 ，即 f（x2）＞1，
由于在 下，恒有 ，故 ；
（ii）当 a＜1﹣e 时，f′（1）＝e+a﹣1＜0＝f′（x2），
∴x2＞1＞x0，
∴当 x∈（1，x2）时，f（x）为减函数，
∴f（x）＜f（1）＝e+a＜1，与题设不符，故舍去．
综上，实数 a 的取值范围为[1﹣e，+∞）．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 以 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立，极坐标系，设点 A 在曲线 C2：ρsinθ＝1 上，点 B 在曲线 C3：
上，且△AOB 为正三角形．
（1）求点 A，B 的极坐标；
（2）若点 P 为曲线 C1 上的动点，M 为线段 AP 的中点，求|BM|的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出
结果．
（2）直接利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．
解：（1）曲线 C1 的参数方程为 转换为直角坐标方程为 x2+y2＝1，
设点 A 在曲线 C2：ρsinθ＝1 上，即点 A 满足 y＝1 的方程，
点 B 在曲线 C3 上，且△AOB 为正三角形．如图所示：
所以 A（0，1）转化为极坐标为（1， ），B（ ），转换为极坐标为（1，
）．
（2）设点 P（cosθ，sinθ），M 为线段 AP 的中点，
所以 ，B（ ），
所以 ＝ ＝ ．
当 cosθ＝1 时， ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x+1|
（1）解不等式：f（x）+f（x﹣2）≤6；
（2）求证：f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|．
【分析】（1）问题等价于|2x+1|+|2x﹣3|≤6，再分类讨论解不等式即可；
（2）利用绝对值不等式的性质可得 f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤2a2+2，|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|
≥3a2﹣2a+3＞0，又 3a2﹣2a+3≥2a2+2，即可得证．
解：（1）由于 f（x）+f（x﹣2）＝|2x+1|+|2x﹣3|，于是原不等式可化为|2x+1|+|2x﹣3|≤
6，
若 ，则﹣2x﹣1﹣（2x﹣3）≤6，解得 ；
若 ，则﹣2x﹣1+（2x﹣3）≤6，解得 ；
若 ，则 2x+1+2x﹣3≥6，解得 ；
综上，不等式的解集为[﹣1，2]；
（2）证明：由已知条件，对任意 x∈R，可得 f（x+a2）﹣f（x﹣1）＝|2x+2a2+1|﹣|2x﹣1|≤|2a2+2|＝2a2+2，
又|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|≥|2a2+3﹣（2a﹣a2）|＝|3a2﹣2a+3|，
由于 ，
∴|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|≥3a2﹣2a+3，
又由于 3a2﹣2a+3﹣（2a2+2）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，
∴3a2﹣2a+3≥2a2+2，
∴f（x+a2）﹣f（x﹣1）≤|x+2a2+3|+|x+2a﹣a2|．
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