2018~2019 学年广东广州海珠区广州市第六中学
高三上学期文科期中数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分
1.集合 的真子集的个数是（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 61
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求解 的范围，结合 ，得到集合为 ，利用集合真子集个数的公式即得解.
【详解】由于
，又
，即集合
故真子集的个数为：
故选：C
【点睛】本题考查了集合真子集的个数，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
2.已知复数 ， （ 为虚数单位， ），若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于 0 求得 a 值．
【详解】∵z1=2﹣i，z2=a+2i，
∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=2a+2+（4﹣a）i，
又 z1z2∈R，
∴4﹣a=0，即 a=4．
【
{ }2| 6,y y x x∈ = − + ∈N N
,x y ,x N y N∈ ∈ {2,5,6}
2 6 0y N y x∈ ∴ = − + ≥
6 6x∴− ≤ ≤ ,x N∈
0,1,2x∴ =
6,5,2y∴ = { }2| 6, {2,5,6}y y x x∈ = − + ∈ =N N
32 1 7− =
1 2z i= − 2 2z a i= + i a R∈ 1 2z z R∈ a =
1 1− 4 4−故选 C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．
3.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得目标函数的最小值.
【详解】不等式组对应 可行域如图所示：
当动直线 过 时， 有最小值，
又由 得 ，故 .
【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考
二元函数的几何意义，比如 表示动直线 的横截距的三倍 ，而 则表示动点
与 的连线的斜率．
4.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
的
,x y
2 0
2 0
1
x y
x y
y
，
，
，
+ − ≥
− − ≤
≥
2z x y= +
2 3 4 5
2 0x y z+ − = A z
1
2
y
x y
=
+ =
( )1,1A min 1 2 1 3z = + × =
3 4x y+ 3 4 0x y z+ − = 2
1
y
x
+
−
( ),P x y ( )1, 2−
1F 2F 1 2 0MF MF⋅ = M
(0,1) 1(0, ]2
2(0, )2
2[ ,1)2【答案】C
【解析】
设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 ．因为 所以点 M 的轨迹为以原点为圆心，半
径 为 的 圆 ． 与 因 为 点 M 在 椭 圆 的 内 部 ， 所 以 ， 所 以 ， 所 以
，所以 ，故选 C．
【点睛】求离心率的值或范围就是找 的值或关系．由 想到点 M 的轨迹为以原点为圆心
，半径为 的圆．再由点M 在椭圆的内部，可得 ，因为 ．所以由 得
，由 关系求离心率的范围．
5.某程序框图如图所示，若输出 S＝3，则判断框中 M 为（ ）
A. k＜14？ B. k≤14？ C. k≤15？ D. k＞15？
【答案】B
【解析】
【分析】
由框图程序可知 ，结合循环结构的终止条件可得解
【详解】由框图程序可知
, ,a b c 1 2· 0MF MF =
c ,c a c b< < 2 2 2 2< = −c b a c
2
2 2 2
2
12 2
cc a e a
< ∴ = < 2(0, )2e∈
, ,a b c 1 2· 0MF MF =
c ,c a c b< < a b< c b< 2 2 2 2< = −c b a c
,a c
1 1 1
1 2 2 3 1
S
k k
= + + +
+ + + +
1 1 1
1 2 2 3 1
S
k k
= + + +
+ + + +因为 ，
所以
所以 ，解得 ，即当 时程序退出，
故选 B．
【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选
择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，
明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
6.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦
图是一个以勾股之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别
涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2×勾×股+（股－勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得
勾 2+股 2=弦 2，设勾股形中勾股比为 ，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在
黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A. 134 B. 866 C. 300 D. 188
【答案】A
【解析】
【分析】
设三角形的直角边分别为 ，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.
【详解】设勾股形的勾股数分别为 ，则弦为 2，
故而大正方形的面积为 4，小正方形的面积为：
所以图钉落在黄色图形内的概率为：
1 1
1
n n
n n
= + −
+ +
2 1 3 2 4 3 1 1 1S n n n= − + − + − + + + − = + −
1 1 3S n= + − = 15n = 15n =
1: 3
1 3，
1 3，
2( 3 1) 4 2 3− = −
4 2 3 2 3
4 2
− −=故落在黄色图形内的图钉数大约为：
故选：A
【点睛】本题考查了面积测度的几何概型的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属
于基础题.
7.在 中， ，则 的形状一定是（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 即
是直角三角形，选 D.
【点睛】判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 这个
结论．
8.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 E 为棱 BB1 的中点（如图），用过点 A，E，C1 的平面截去该正方体的上半部
分，则剩余几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2 31000 1342
−× ≈
ABC ( ) 2
BC BA AC AC+ ⋅ = ABC
( ) ( ) ( ) 22 2BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC+ ⋅ = + ⋅ − = − = 2 2 2a c b− =
ABC
πA B C+ + =【解析】
试题分析：如图补全过 的平面，将上半部分切去，所以左视图如 C 选项，故选 C.
考点：三视图
9.若函数 （ 且 ）在 上为减函数，则函数 的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数 在 上为减函数，可知 ，判断函数 的定义域和单调性即
可得解
【详解】由函数 在 上为减函数，可知
函数 的定义域为 或 ，故排除 A，B
又 ，可知 在 单调递减，故排除 D
故选：C
( ) x xf x a a−= − 0a > 1a ≠ R log (| | 1)ay x= −
( ) x xf x a a−= − R 0 1a< < log (| | 1)ay x= −
( ) x xf x a a−= − R 0 1a< <
log (| | 1)ay x= − { | 1x x > 1}x < −
log ( 1), 1log ( 1) log ( 1), 1
a
a
a
x xy x x x
− >= − = − − < −
log (| | 1)ay x= − (1, )+∞【点睛】本题考查了具体函数的图像判断，考查了学生综合分析，数形结合，分类讨论的能力，属于中档
题.
10.已知双曲线 的两个顶点分别为 ，点 为双曲线上除 外任意一点，且
点 与点 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为 (
)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意设 A(-a,0),B(a,0),设 P 点为（x,y）,根据题意得到 ，进而求得渐近线方程.
【详解】根据题意得到 A(-a,0),B(a,0),设 P 点为（x,y）,根据题意得到 ，从而渐近
线方程为， ，化简为： .
故答案为 C.
【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义，斜率之积转化为坐标运算,考查了学生的数学问题的转化能力，
计算能力和观察能力，较为基础.
11.实数 且 ， ，则连接 ， 两点的
直线与圆 ： 的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件得到 与 的表达式，再求两点所在的直线方程，表示圆心到直线的距离，与半径大小比
较即可
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > ,A B P ,A B
P ,A B 1k 2k 1 2 3k k =
y x= ± 2y x= ±
3y x= ± 2y x= ±
2 2 2
2 2 2 23 , 13
y x y
x a a a
= − =−
2 2 2
2 2 2 23 , 13
y x y
x a a a
= − =−
2 2
2 2 03
x y
a a
− = 3y x= ±
m n≠ 2 sin cos 03m m
πθ θ− + = 2 sin cos 03n n
πθ θ− + = ( )2,m m ( )2,n n
C 2 2 1x y+ =
m n+ mn【详解】由题意知， 是方程 的根
过 两点的直线方程为：
圆心 到直线的距离为：
故直线和圆相离
故选：B
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了学生概念理解，综合分析，转化划归，数学运算的能力，
属于中档题.
12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016·(a2 013－1)＝－
1，则下列结论正确的是( )
A. S2 016＝－2 016，a2 013>a4
B. S2 016＝2 016，a2 013>a4
C. S2 016＝－2 016，a2 013 ＋ － ＋∴ .
很明显 a4－1>0，a2 013－11>a2 013，
本题选择 D 选项.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.曲线 在点 处的切线方程为________________．
【答案】
【解析】
【分析】
求函数导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
【详解】函数 的导数为 ，
则函数在点 处的切线斜率 ，
则函数在点 处的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析
推理能力.
(2) 函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方
程是 .
14.已知双曲线 ，若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 ，
则抛物线 的方程为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线的方程易求出双曲线的渐近线方程，进而代入点到直线距离公式，求出 的值，即可求得抛物线
的方程
( ) ( )1 2016 4 2013
2016
2016 2016 20162 2
a a a aS
+ += = =
2
xy x
= +
( )1, 1− −
2 1y x= +
2
xy x
= + 2
2( ) ( 2)f x x
=′
+
( )1, 1− − ( 1) 2k f ′= − =
( )1, 1− − ( )1 2 1y x+ = + 2 1y x= +
2 1y x= +
( )y f x= 0x 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x
0 0 0( )( )y y f x x x′− = −
2
2
1 : 13
yC x − = ( )2
2 : 2 0C x py p= > 1C 2
2C
2 16x y=
p 2C【详解】 双曲线 ， 双曲线 的渐近线方程为 ，即
抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线的距离为 ，
，解得
抛物线 的方程为
故答案为
【点睛】本题为求抛物线的方程结合了双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离，自要按照题目要求结合
公式即可算出结果，较为基础
15.已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项为 ，则
________.
【答案】30
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为 ，运用等比数列的通项公式和等差中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数
列的求和公式，即可得到所求和.
【详解】设等比数列 的公比为 ,
,且 与 的等差中项为
可得
解得：
则
故答案为:30
【点睛】本题考查了等差和等比数列的综合应用，考查了等差中项，等比数列的通项公式，求和公式等知
识点，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
16.已知四棱锥 的所有顶点在同一球面上，底面 是正方形且球心 在此平面内，当四棱锥
2
2
1 : 13
yC x − = ∴ 1C 3y x= ± 3 0x y± + =
( )2
2 : 2 0C x py p= > 0 2
pF
， 1C 2
22 2
p
∴ = 8p =
∴ 2C 2 16x y=
2 16x y=
{ }na nS n 2 3 12a a a⋅ = 4a 72a 5
4 4S =
q
{ }na q
2 3 12a a a⋅ = 4a 72a 5
4
2 3 6
1 1 4 7 11 1
5,2 22 24a q q aa a a a q a q× = + = +⋅ =
1
116, 2a q= =
4 41
4
116 (1 )(1 ) 2 3011 1 2
a qS q
× −−= = =− −
S ABCD− ABCD O的体积取得最大值时，其表面积等于 ，则球 的体积等于________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据题意画出图形，如图，设球 O 的
半径为 R，则 根据表面积为 ，列出等式，即得解.
【详解】
由题意可知，当此四棱锥的体积取得最大值时， 平面 ABCD，
此时四棱锥为正四棱锥，
因为四棱锥的表面积等于 ，
设球 O 的半径为 R，则 如图
所以该四棱锥的底面边长为 ，
则有
解得
故球的体积为：
故答案为：
【点睛】本题考查了四棱锥的外接球，四棱锥的表面积，球的体积，考查了学生空间想象，综合分析，数
学运算能力，属于中档题.
16 16 3+ O
64 2
3
π
2 , ,AC R SO R= = 16 16 3+
SO ⊥
16 16 3+
2 , ,AC R SO R= =
2AB R=
2 2 21 2( 2 ) 4 2 ( ) 16 16 32 2R R R R+ × × × + = +
2 2R =
34 64 2
3 3Rπ π=
64 2
3
π三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分
17.已知向量 ， ，设函数
（1）求函数 的最小正周期.
（2）已知 ， ， 分别为三角形 的内角对应的三边长， 为锐角， ， ，且 恰是
函数 在 上的最大值，求 和 .
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
分析】
（1）由向量运算和三角函数公式可得 ，可得周期；
（2）利用最大值，可得 ，再利用余弦定理可求解 b
【详解】（1）由题意可得，
的最小正周期为
（2）由（1）知
又 恰是函数 在 上的最大值
A 为锐角，故
由余弦定理可得：
解得： 或
.
【
(cos , 1)m x= − 13sin , 2n x = −
( ) ( )f x m n m= + ⋅
( )f x
a b c ABC A 1a = 3c = (A)f
( )f x 0, 2
π
A b
π
, 16A b
π= = 2b =
( ) ( )f x m n m= + ⋅ sin(2 ) 26x
π= + +
6A
π=
2( ) ( ) ( )f x m n m m m n= + ⋅ = + ⋅
2 1cos 1 3sin cos 2x x x= + + +
cos2 1 3 11 sin 22 2 2
x x
+= + + +
sin(2 ) 26x
π= + +
( )f x∴ 2
2T
π π= =
( ) sin(2 ) 26f x x
π= + +
(A)f ( )f x 0, 2
π
2 6 2 6A A
π π π+ = ∴ =
2 2 31 3 2 3 2b b= + − × ×
1b = 2b =【点睛】本题考查了向量，三角函数，解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，
属于基础题.
18.如图,四边形 为矩形,且 平面 , , 为 的中点.
（1）求证: ；
（2）求三棱锥 的体积；
（3）探究在 上是否存在点 ,使得 平面 ，并说明理由.
【答案】（1）见解析;（2） ;（3）见解析.
【解析】
【分析】
(1)连结 ,由几何体的空间结构可证得 ,利用线面垂直的定义可知 .
(2)由(1)知 为腰长为 1 的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得 .
(3)在 上存在中点 ,使得 .取 的中点 ,连结 . 易证得四边形
EGHC 是平行四边形,所以 EG//CH,结合线面平行的判断定理可知 EG//平面 PCD.
【详解】(1)连结 ,∵ 为 的中点, ,
∴ 为等腰直角三角形,
则 ,同理可得 ,∴ ,∴ ,
又 ,且 , ∴ ,
又∵ ,∴ ,又 ,∴ .
ABCD 2, 1,AD AB PA= = ⊥ ABCD 1PA = E BC
PE DE⊥
C PDE−
PA G EG PCD
1
6
AE DE PAE⊥ 平面 DE PE⊥
DCE∆ 1
6C PDE P DCEV V− −= =
PA G / /EG PCD平面 ,PA PD ,G H , ,EG GH CH
AE E BC 1EC CD= =
DCE∆
45DEC∠ = 45AEB∠ = 90AED∠ = DE AE⊥
PA ABCD平面⊥ DE ABCD⊂ 平面 PA DE⊥
AE PA A∩ = DE PAE⊥ 平面 PE PAE⊂ 平面 DE PE⊥(2)由(1)知 为腰长为 1 的等腰直角三角形,
∴ ,而 是三棱锥 的高,
∴ .
(3)在 上存在中点 ,使得 .理由如下:
取 的中点 ,连结 .
∵ 是 的中点, ∴ ,且 ,
又因为 E 为 BC 的中点,且四边形 ABCD 为矩形,所以 EC//AD,且 EC= AD,
所以 EC//GH,且 EC=GH,所以四边形 EGHC 是平行四边形,所以 EG//CH,
又 EG 平面 PCD,CH 平面 PCD,所以 EG//平面 PCD.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问
题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.假如你 公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购进机器时，可以一次性额外购买几
次维修服务，每次维修服务费用 200 元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次 50 元，在
机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用 500 元，
无需支付小费，现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了 100 台这种机
器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数 8 9 10 11 12
频数 10 20 30 30 10
记 表示 1 台机器在三年使用期内的维修次数， 表示 1 台机器在维修上所需的费用（单位：元）， 表示
购机的同时购买的维修服务次数.
（1）若 ，求 与 的函数解析式.
的
DCE∆
1 11 12 2DCES∆ = × × = PA P DCE−
1 1 1 113 3 2 6C PDE P DCE DCEV V S PA− − ∆= = ⋅ = × × =
PA G / /EG PCD平面
,PA PD ,G H , ,EG GH CH
,G H ,PA PD / /GH AD 1
2GH AD=
1
2
⊄ ⊂
x y n
10n = y x（2）若要求“维修次数不大于 ”的频率不小于 0.8，求 的值.
（3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 10 次维修服务，或每台都购买 11 次维修服务，分别计算
这 100 台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 10 次还是 11
次维修服务？
【答案】（1） ，
（2）n 的最小值为 11
（3）应购买 10 次维修服务
【解析】
【分析】
（1）根据题意，用分段函数表示 y 与 x 的函数关系；
（2）分析“维修次数不大于 10”， “维修次数不大于 11”的频率即得解；
（3）分别求出每台购买 10 次和 11 次的维修服务所需费用的平均值，比较它们的大小即可.
【详解】（1）根据题意，
即 ，
（2）因为“维修次数不大于 10”的频率
“维修次数不大于 11”的频率
所以若要求“维修次数不大于 n”的概率不小于 0.8，则 n 的最小值为 11.
（3）若每台都购买 10 次维修服务，则有下表：
维修次数 x 8 9 10 11 12
频数 10 20 30 30 10
费用 y 2400 2450 2500 3000 3500
此时这 100 台机器在维修上所需费用的平均数为：
（元）
若每台都购买 11 次维修服务，则有下表：
n n
50 2000, 10
500 2500, 10
x xy x x
+ ≤= − > x∈N
200 10 50 , 10
250 10 500( 10), 10
x xy x x
× + ≤= × + − >
50 2000, 10
500 2500, 10
x xy x x
+ ≤= − > x∈N
10 20 30 0.6 0.8100
+ += = <
10 20 30 30 0.9 0.8100
+ + += = ≥
1
2400 10 2450 20 2500 30 3000 30 3500 10 2730100y
× + × + × + × + ×= =维修次数 x 8 9 10 11 12
频数 10 20 30 30 10
费用 y 2600 2650 2700 2750 3250
此时这 100 台机器在维修上所需费用的平均数为：
（元）
因为 ，所以购买 1 台机器的同时应购买 10 次维修服务.
【点睛】本题考查了平均数的代表意义在决策问题中的应用，考查了学生综合分析，数据处理，逻辑推理，
数学运算的能力，属于中档题.
20.已知圆 ，点 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线交 于点 ，当
点 在圆上运动时，点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
分析：（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出 a，b 即可了；
（2）联立直线和椭圆方程，利用设而不求的思想表示 ，进而利用均值
不等式求最值即可.
详解：（1）∵点 在线段 的垂直平分线上，∴ ．
又 ，∴ ．
∴曲线 是以坐标原点为中心， 和 为焦点，长轴长为 的椭圆．
设曲线 的方程为 ．
∵ ，∴ ．
2
2600 10 2650 20 2700 30 2750 30 3250 10 2750100y
× + × + × + × + ×= =
1 2y y<
2 2:( 1) 8C x y− + = ( 1,0)A − C AP CP Q
P Q E
E
:l y kx m= + E ,M N O MON∆
2
2 12
x y+ = 2
2
( )2 2 2
2
2 2 11 2MONS m k mk∆ = − ++
Q AP AQ PQ=
2 2CP CQ QP= + = 2 2 2CQ QA CA+ = > =
E ( )1,0C − ( )1,0A 2 2
E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1, 2c a= = 2 2 1 1b = − =∴曲线 的方程为 ．
（2）设 ．
联立 消去 ，得 ．
此时有 ．
由一元二次方程根与系数的关系，得
， ．
∴ ．
∵原点 到直线 的距离 ，
∴ ．
由 ，得 ．又 ，∴据基本不等式，得
．当且仅当 时，不等式取等号．
∴ 面积的最大值为 ．
点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意
义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先
建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利
用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求
出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值
范围．
21.已知
（1）证明： ；
E
2
2 12
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2
2 12
y kx m
x y
= + + =
y ( )2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
2 216 8 8 0k m∆ = − + >
1 2 2
4
1 2
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
2 2
1 2
mx x k
−= +
2 2
2
2 2
4 2 21 41 2 1 2
km mMN k k k
− − = + − × + +
( )2
2 2
2
1 8 2 11 2
k k mk
+= − ++
O l 21
md
k
=
+
1 ·2MONS MN d∆ = = ( )2 2 2
2
2 2 11 2 m k mk
− ++
0∆ > 2 22 1 0k m− + > 0m ≠
( )2 2 2
2
2 12 2·1 2 2 2MON
m k m
S k∆
+ − +
≤ =+
2
2 2 1
2
km
+=
MON∆ 2
2
( ) xf x xe=
( ) ln 1f x x x≥ + +（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）令 ，
，利用单调性可证明函数 的最小值不小于零，从而可得结论；（2）令
，
，函数 ，对 分三种情况讨论，分
别利用导数研究函数的单调性，利用单调性可排除不合题意的 的取值范围，筛选出符合题意的 的取值范
围.
【详解】（1）令 ，
令 ，可得函数 在 上单调递增，
因此存在 ，使得 可得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在 处取得极小值即最小值，
因此 ;
（2）令
函数 时， ，
可得 ，函数 在 上单调递增，
满足条件，
时， 在 上单调递增，
1x ≥ ( ) (ln 1)f x e a x x− ≥ + − a
a e≤
( ) ( ) ( ) ( )ln 1 ln 1, 0xg x f x x x xe x x x= − + + = − − − > ( ) 1' 1x xg x e xe x
= + − −
( ) 11 xx e x
= + −
( )g x
( ) ( ) ( )ln 1 , 1xh x xe e a x x x= − − + − ≥
( ) ( ) ( )11 0, ' 1 1x x x ah h x e xe a x ex x
= = + − + = + −
( ) x au x e x
= − a
a a
( ) ( ) ( ) ( )ln 1 ln 1, 0xg x f x x x xe x x x= − + + = − − − >
( )u x ( )0, ∞+
0
1 ,12x ∈ 0 0lnx x= −
( )g x ( )00, x ( )0 ,x +∞
∴ ( )g x 0x x=
∴ ( ) ln 1f x x x≥ + +
0a ≤ ( ) 0u x >
( )' 0h x > ( )h x [ )1,+∞
0a > [ )1,+∞时， 此时函数 在 上单调递增，
，满足条件，
时，存在 ，使得
因此函数 在 上单调递减，
因此 不满足条件舍去,
综上可得， 的取值范围是 .
【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综
合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变
化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导
公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有
机结合，设计综合题.
四、选做题：共 2 题，选做 1 题计 10 分
22.在平面直角坐标系中,已知曲线 的参数方程为 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,直线 过极坐标系内的两点 和 .
(1)写出曲线 的普通方程,并求直线 的斜率;
(2)设直线 与曲线 交于 两点,求 .
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
试题分析：利用消参法将参数方程转化成普通方程,再利用斜率公式求出斜率;
写出直线 的参数方程,代入 ,得 ,然后根据直线参数方程的几何意义解答
.
∴
0 a e< ≤ ( ) 0u x ≥ ( )h x [ )1,+∞
( ) ( )1 0h x h∴ ≥ =
a e> 0 1x >
( )h x [ )01, x
a ( ],e−∞
C
2
(
3
x cos
y sin
θ
θ
θ
= =
x
l π2, 4A
π3, 2B
C l
l C ,P Q BP BQ⋅
2 2
14 3
x y+ = 2− 120
19
l
2 2
14 3
x y+ = 219 48 24 05 5
t t+ + =试题解析：(1)由题意得曲线 的普通方程为 ,
∵ ,∴直线 的斜率为 .
(2)易知直线 的参数方程为 为参数)
代入 ,得 ,
设方程 的两个根为 ,
所以 .
点睛：本题主要是考查普通方程与参数方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,直线参数方程的几何意义.
23.已知函数 ，且 的解集为
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ， 都是正实数，且 ，求证： .
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
【解析】
试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式
证明.
试题解析：
（I）依题意 ,即 ,
∴
（II）方法 1:∵
∴
C
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( )1,1 , 0,3A B l 2−
l
1
5 (23
5
x t
t
y t
= −
= +
2 2
14 3
x y+ = 219 48 24 05 5
t t+ + =
219 48 24 05 5
t t+ + = 1 2,t t
1 2
120
19BP BQ t t⋅ = =
( ) ( )4 0f x m x m= − + > ( )2 0f x − ≥ [ ]3, 1− −
m
a b c 1 1 1
2 3 ma b c
+ + = 2 3 9a b c+ + ≥
1m =
( )2 2 0f x m x− = − + ≥ 2 2 2x m m x m+ ≤ ⇔ − − ≤ ≤ − +
1m =
1 1 1 1( , , 0)2 3 a b ca b c
+ + = >
( ) 1 1 12 3 2 3 2 3a b c a b c a b c
+ + = + + + +
2 3 2 33 92 3 3 2
a b a c b c
b a c a c b
= + + + + + + ≥ 当且仅当 ,即 时取等号
方法 2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当 ,即 时取等号.
2 3a b c= = 33, , 12a b c= = =
1 1 1 1( , , 0)2 3 a b ca b c
+ + = >
1 1 13 2 3
2 3
a b c
a b c
= ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 1 12 3 2 3a b c a b c
≤ + + ⋅ + +
2 3 9a b c+ + ≥
2 3a b c= = 33, , 12a b c= = =
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