2020高考江苏数学二轮复习专题：高考微切口11 三次函数问题

微切口 11　三次函数问题 　(根的个数)已知函数 f(x)＝1 3x3－k＋1 2 x2，g(x)＝1 3－kx，若函数 f(x)与 g(x)的图象有三 个不同的交点，求实数 k 的取值范围． 【思维引导】 　(对称问题)已知 a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么 a＋b 的值是________． 【思维引导】 　(切线个数)已知函数 f(x)＝2x3－3x. (1) 求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值； (2) 若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值范围． 【思维引导】 对于三次函数 y＝ax3＋bx2＋cx＋d 给出以下常用结论： (1) 三次函数至少有一个零点．(2) 当 a＞0，b2－3ac＞0 时，三次函数的图象为 N 字型；当 a＜0，b2－3ac＞0 时，三次函数的图象为反 N 字型；当 a＞0，b2－3ac≤0 时，单调递增， 当 a＜0，b2－3ac≤0 时，单调递减．(3) 三次函数有对称中心(x0，f(x0))，f″(x0)＝0.(4) 三次 函数有一个零点：单调递增或递减或两个极值同号；三次函数有两个零点：有两个极值点， 其中一个极值点在 x 轴上(有一个极值为 0)；三次函数有三个零点：两个极值异号．(5) c＝ f′(0)，d＝f(0). 1. 已知函数 f(x)＝1 3x3－1 2x2＋cx＋d 有极值，那么 c 的取值范围为________． 2. 已 知 函 数 f(x) ＝ x3 ＋ ax2 ＋ bx ＋ a2 在 x ＝ 1 处 的 极 值 为 10 ， 那 么 数 对 (a ， b) 为 ________． 3. 已知曲线 f(x)＝1 3x3－1 2x2＋ax＋3 上存在两条斜率为 3 的切线，且切点的横坐标都大于 零， 那么实数 a 的取值范围为________． 4. 若函数 f(x)＝1 3x3－1 2ax2＋(a－1)x＋1 在区域(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为 增函数，则实数 a 的取值范围为________． 5. 已知函数 f(x)＝x3－6x2＋9x－a 有三个不同的零点，且它们构成等差数列，那么 a＝ ________． 6. 已知函数 f(x)＝x3－3x，若过点 A(2，m)可作曲线 y＝f(x)的三条切线，则实数 m 的取 值范围为________. 7. 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝－2 3与 x＝1 时都取得极值． (1) 求 a，b 的值及函数 f(x)的单调区间； (2) 若对 x∈[－1，2]，不等式 f(x)