考点36、导数中的证明与探索性问题(2020年高考数学二轮优化提升专题训练原卷版)

1 考点 36、导数中的证明与探索性问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、（2017 江苏）已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的 零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明： ； 2、(2017 镇江期末）已知函数 f(x)＝ ，g(x)＝λ(x2－1)(λ 为常数)． (1) 若函数 y＝f(x)与函数 y＝g(x)在 x＝1 处有相同的切线，求实数 λ 的值； (2) 若 λ＝1 2，且 x≥1，证明：f(x)≤g(x)； 3、(2017 南京、盐城二模）已知函数 f(x)＝ex－ax－1，其中 e 为自然对数的底数，a∈R. (1) 若 a＝e，函数 g(x)＝(2－e)x. ①求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间； ②若函数 F(x)＝Error!的值域为 R，求实数 m 的取值范围． (2) 若存在实数 x1，x2∈[0,2]，使得 f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2－e. 4、(2017 扬州期末）已知函数 f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数 g(x)＝ex，h(x)＝x2＋ax＋a. (1) 求函数 g(x)在(1，g(1))处的切线方程； (2) 当 0＜a＜2 时，求函数 f(x)在 x∈[－2a，a]上的最大值； (3) 当 a＝0 时，对于给定的正整数 k，问函数 F(x)＝e·f(x)－2k( ＋1)是否有零点？请说明理由．(参 考数据 e≈2.718， e≈1.649，e e≈4.482，ln2≈0.693) 【问题探究，变式训练】 题型一、与零点、极值点有关的证明 利用导数证明不等式的常规解题策略：(1) 构造差函数 h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符 ⋅ 3 2( ) 1( 0, )f x x ax bx a b= + + + > ∈R '( )f x ( )f x 3 3b a> lnx x ln x2 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2) 根据条件，寻找目标函数．一般 思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数 转化为一元函数． 例 1、(2019 无锡期末）已知函数 f(x)＝ex－ a 2x2－ax(a>0)． (1) 当 a＝1 时，求证：对于任意 x>0，都有 f(x)>0 成立； (2) 若函数 y＝f(x)恰好在 x＝x1 和 x＝x2 两处取得极值，求证： x1＋x2 2 < 【变式 1】、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知函数 f(x)＝ a x＋ (a∈R)． (1) 讨论 f(x)的单调性； (2) 设 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)有两个不相同的零点 x1，x2. ①求实数 a 的取值范围； ②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2. 【变式 2】(2018 常州期末）已知函数 f(x)＝ lnx （x＋a）2，其中 a 为常数． (1) 若 a＝0，求函数 f(x)的极值； (2) 若函数 f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数 a 的取值范围； (3) 若 a＝－1，设函数 f(x)在(0，1)上的极值点为 x0，求证：f(x0)