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2020 年 4 月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）
数学
第 I 卷（必做题，共 160 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分.
1．已知集合 ， ，且 ________．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，解得 ，∴ ，∵ ，∴
.
2． 是虚数单位，复数 ，则复数 =______.
【答案】
【解析】依题意， ，所以 .
3．函数 的定义域为________
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 .故答案为：
4．执行下图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 _____．
( )2{ }2| 1A x log x= − < { | 2 6}B x x= < < A B =
( )2,5
( )2log 1 2x − < 1 0
1 4
x
x
− >
− 0 1x≤ < [0,1)
918, 238a b= = n =2 / 15
【答案】3
【解析】由题意得，执行上述循环结构，可得，第 1 次循环： ；
第 2 次循环： ；第 3 次循环： ，
此时终止循环，输出结果 .
5．已知 为等比数列， ，则 _______
【答案】
【解析】
6．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，
所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在
[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____．
【答案】900
204, 238, 204, 1r a b n= = = =
34, 204, 34, 2r a b n= = = = 0, 34, 0, 3r a b n= = = =
3n =
{ }na 2 3 5
1 , 42a a a= = q =
2±
2 2 4
3 5 4 2 4
2
14 4, 0 2 4 22
aa a a a a q qa
= ⇒ = = > ∴ = ∴ = = ∴ = ±3 / 15
【解析】由 1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3，故 a＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生
人数为：0.3×3000＝900.
7．如图，已知 分别是矩形 的边 的中点， 与 交于点 .若 ，
用 表示 ，则 _________.
【答案】
【解析】 .
8．函数 在点 处的切线的斜率为________
【答案】1
【解析】 ,因此函数
在点 处的切线的斜率为 .
9．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为
________.
【答案】
【解析】袋中有 2 个红球，3 个白球和 4 个黄球，从中任取 4 个球，基本事件总数 n 126，
其中三种颜色的球都有，可能是 2 个红球，1 个白球和 1 个黄球或 1 个红球，2 个白球和 1 个黄球或 1 个红
球，1 个白球和 2 个黄球，所以包含的基本事件个数 m 72，
∴其中三种颜色的球都有的概率是 p ．
10．已知 ， ，则 _______.
【答案】
【解析】由二倍角公式可知： ， ，
,E F ABCD ,BC CD EF AC G ,AB a AD b= =
,a b AG AG =
3 3
4 4a b+
( )3 3 3 3
4 4 4 4AG AC AB AD a b= = + = +
( ) cosxf x e x= (0,1)
' ' '( ) cos ( ) ( ) cos (cos ) (cos sin )x x x xf x e x f x e x e x e x x= ⇒ = + = − ( ) cosxf x e x=
(0,1) ' 0(0) (cos0 sin 0) 1f e= − =
4
7
4
9C= =
1 1 2 1 2 1 2 1 1
2 3 4 2 3 4 2 3 4C C C C C C C C C= + + =
72 4
126 7
m
n
= = =
(0, )2
πα ∈ 2sin 2 cos2 1α α= + sinα =
5
5
sin 2 2sin cosα α α= 2cos2 2cos 1α α= −4 / 15
又 ，即 ，
11．设奇函数 满足对任意 都有 ，且 时， ，则
的值等于_____
【答案】
【解析】由于 ，故函数的对称轴为 ，又因为函数是奇函数，故函数是周期为
的周期函数.故 .
12．已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 到右焦点 的距离
为 ，则 的方程为______.
【答案】
【解析】设双曲线 的半焦距为 ，因为点 到右焦点的距离为 ，所以
，解得 或 （舍去）.因为 ，所以 ，所以 ，
，所以双曲线 的方程为 .
13．如图，直三棱柱 的各条棱长均为 2， 为棱 上任意一点，则三棱锥 的体
积是___．
24sin cos 2cosα α α∴ =
0, 2
πα ∈ cos 0α∴ ≠ 2sin cosα α∴ = 1tan 2
α = 5sin 5
α∴ =
( )( )y f x x R= ∈ t R∈ ( ) (1 )f t f t= − 1[0, ]2x∈ 2( )f x x= −
3(3) ( )2f f+ −
1
4
−
( ) (1 )f t f t= − 1
2x = 14 22
× =
( ) ( ) ( )3 1 1 1 13 1 0 02 2 2 4 4f f f f f f + − = + = + = − = −
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 2 2y x= ± ( )1,2A F
2 2 C
2
2 18
yx − =
C c ( )1,2A 2 2
( ) ( )2 21 2 0 2 2c− + − = 3c = 1c = − 2 2b
a
= 3ce a
= = 1a =
2 2b = C
2
2 18
yx − =
1 1 1ABC A B C− D 1 1B C 1D A BC−5 / 15
【答案】
【解析】由题意，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，则 到平面 等于正三角形
的高，直三棱柱 的各条棱长均为 ，三棱锥 的体积为
，故答案为 .
14．已知 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围为
______．
【答案】
【解析】作出函数 的图象如图所示：
因为存在 ，使得 ，所以 ，且 ，
所以 .
2 3
3
1D A BC− 1A BCD− 1A BCD
1 1 1A B C 1 1 1ABC A B C− 2 1A BCD−
( )1 1 2 32 2 2 603 2 3V sin = × × × × × = 2 3
3
( ) [ )
[ ]
e 1, 0,2
2, 2,6
x xf x x x
+ ∈= − ∈ 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x= ( )2 1x f x
[8,24]
( )f x
1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x= 1
2e 1 2x x+ = − 24 6x≤ ≤
( ) 1
2 1 2 2
2
2 2 2( ( [8,24]e 1) 2) 2x xx xf x x x x ∈+ == = − −6 / 15
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 边上的高.
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，故 .
(2)解：因为 ，所以 .
又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 边上的高为 .
16．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点．
（1）求证：PC // 平面 BDE；
（2）若 PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面 BDE⊥平面 PAB．
【解析】
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin cos sin cos sinb A C c A B ac B+ =
bc a=
13,cos 6c C= = AC
sin sin cos sin sin cos sin sinB A C C A B c A B+ =
sin cos sin cos sinB C C B c B+ =
sin sinA c B= a bc=
3,c a bc= = 2
2
10 93 ,cos 6
ba b C b
−= =
1cos 6C = 2
2
10 9 1
6 6
b
b
− = 1b = 3, 1a c b= = =
AC
21 359 2 2
− = 7 / 15
证明: （1）连结 ,交 于 ,连结 .
因为 是平行四边形,所以 .
因为 为侧棱 的中点
所以 ∥ .
因为 平面 , 平面
所以 ∥平面 .
（2）因为 为 中点,
所以
因为 , ∥
所以 .
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面
所以平面 平面 .
17．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线与圆 相切，与椭圆 相交于 两点，求证： 是定值.
【解析】（1）由题意得： ，即 椭圆方程为
将 代入椭圆方程得：
AC BD O OE
ABCD OA OC=
E PA
OE PC
PC ⊄ BDE OE ⊂ BDE
PC BDE
E AP PD AD=
PA DE⊥
PC PA⊥ OE PC
PA OE⊥
OE BDE DE ⊂ BDE OE DE E∩ =
PA ⊥ BDE
PC ⊂ PAB
BDE ⊥ PAB
xOy ( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2
2
( )2,1 C
C
2 2: 2O x y+ = C ,P Q POQ∠
2
2
ce a
= = 2 21
2c a= 2 21
2b a∴ = ∴ 2 2
2 2
2 1x y
a a
+ =
( )2,1 2 6a = 2 3b∴ =8 / 15
椭圆 的方程为：
（2）①当直线 斜率不存在时， 方程为： 或
当 时， ， ，此时
当 时，同理可得
②当直线 斜率存在时，设 方程为： ，即
直线与圆相切 ，即
联立 得：
设 ， ，
代入 整理可得：
综上所述： 为定值
18．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路 的一侧进行绿化，线段 长为 ，
，设 .
(1)为了类化公园周围的环境，现要在四边形 内种满郁金香，若 ，则当 为何值时，郁
∴ C
2 2
16 3
x y+ =
PQ PQ 2x = 2x = −
2x = ( )2, 2P ( )2, 2Q − 0OP OQ⋅ =
OP OQ∴ ⊥ 90POQ∴∠ =
2x = − 90POQ∠ =
PQ PQ y kx m= + 0kx y m− + =
2
2
1
m
k
∴ =
+
2 22 2m k= +
2 2
0
16 3
kx y m
x y
− + = + =
( )2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m+ + + − =
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2
4
1 2
kmx x k
∴ + = − +
2
1 2 2
2 6
1 2
mx x k
−= +
( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m∴ ⋅ = + = + + + = + + + +
( ) 2
2 2
2 2
2 6 41 1 2 1 2
m kmk km mk k
− = + × + × − + + +
2 22 2m k= + 0OP OQ⋅ = OP OQ∴ ⊥ 90POQ∴∠ =
POQ∠ 90
AB AB 2km
1OC OD OA OB km= = = = COB θ∠ =
ABCD 3COD
π∠ = θ9 / 15
金香种植面积最大;
(2)为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段 ， 和 组成，若 ，则当 为何
值时，栈道的总长 最长，并求 的最大值.
【解析】(1)由图可得：
，则 ，
，此时 ，可得 ，
则当 时，郁金香种植面积最大；
(2)由余弦定理， ， ，
，
令 ，则 ，
，
，即 时， 的最大值为 3.
19．已知函数 .
（1）设 ，若函数 恰有一个零点，求实数 的取值范围；
（2）设 ，对任意 ，有 成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，∴ .
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
BC CD DA BC CD= θ
l l
1 1 1 3 3sin sin sin sin2 2 3 2 3 2 6 4ABCD BOC COD DOAS S S S
πθ π πθ θπ = + + = + + − − = + +
20 3
θ π∴ < < 5
6 6 6
π πθ π< + <
sin 16
πθ ∴ + ≤ 6 2
π πθ + =
3
πθ =
∴
3
πθ =
1 1 2cos 2sin 2BC
θθ= + − = 1 1 2cos2 2cosDA θ θ= + + =
4sin 2cos 02 2l
θ πθ θ ∴ = + < 1 2
1, [ , ]x x ee
∈ 1 2( ) ( ) 2g x g x e− ≤ − b
( ) ( )2ln 0f x a x x a= + ≠ ( )0,+∞ ( ) 222a x af x xx x
=′ += +
0a > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞10 / 15
取 ，则 ，
（或：因为 且 时，所以 .）因为
，所以 ，此时函数 有一个零点.
②当 时，令 ，解得 .当 时， ，
所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
要使函数 有一个零点，则 ，即 ， .
综上所述，若函数 恰有一个零点，则 或 .
（2）因为对任意 ，有 成立，
因为 ，所以 .
所以 ，所以 .
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
∵ 与 ，所以 .
设 ，
则 ，
1
0
ax e
−=
21 1
1 0a af e e
− − = − + − ( ) 0f x′ > ( )f x 2
a − + ∞
，
( )f x ln 02 2 2
a a af a
− = − − =
ln 12
a − = 2a e= −
( )f x 2a e= − 0a >
1 2
1, ,x x ee
∈
( ) ( )1 2 2g x g x e− ≤ −
( ) ( )1 2g x g x− ≤ ( ) ( )
max min
g x g x − ( ) ( )
max min
2g x g x e − ≤ −
( ) ln bg x b x x= − + ( ) ( )1 1b
b b xbg x bxx x
−
−−= =′ +
0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ >
( )g x 1 ,1e
( ]1 e， ( ) ( )
min
1 1g x g = =
1 bg b ee
− = +
( ) bg e b e= − + ( ) ( )
max
1max ,g x g g ee
=
( ) ( ) 1h b g e g e
= − = 2 ( 0)b be e b b−− − >
( ) 2 2 · 2 0b b b bh b e e e e− −= + − > − =′11 / 15
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 .从而 .
所以 即 ,
设 ，则 .当 时， ，
所以 在 上单调递增.又 ，
所以 ，即 ，解得 .因为 ，
所以 的取值范围为 .
20．设数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛，已知푎1 = 푎2 = 1， ，数列{푏푛}是公差为푑的等差数列，n
∈N*.
（1）求푑的值；
（2）求数列{푎푛}的通项公式；
（3）求证： .
【解析】（1）
，푏2 = 2푆2 + (2 + 2)푎2 = 2푎2 +6푎2 = 8
（2）因为数列{푏푛}是等差数列
，即푆푛 + 푛 + 2
푛 푎푛 = 4①
当 时， ②
①-②，得:
，即
则
以上各式相乘得：
因为푎1 = 1， 8 分
( )h b ( )0 + ∞， ( ) ( )0h b h>
( ) 1g e g e
>
( ) ( )
max
bg x g e b e = = − +
1 2bb e e− + − ≤ − 1 0be b e− − + ≤
( ) 1( 0)bb e b e bϕ = − − + > ( ) 1bb eϕ′ = − 0b > ( ) 0bϕ′ >
( )bϕ ( )0 + ∞， ( )1 0ϕ =
1 0be b e− − + ≤ ( ) ( )1bϕ ϕ≤ 1b ≤ 0b >
b ( ]0,112 / 15
（3）
则
③
因为当푛 = 1时， ，所以上式等号不成立.
则
第 II 卷（附加题，共 40 分）理科附加题
21．设二阶矩阵 A＝ .
（1） 求 A－1；
（2） 若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 C′：6x2－y2＝1，求曲线 C 的方程．
【解析】（1） 根据逆矩阵公式，可得 A－1＝ .
（2） 设曲线 C 上任意一点 P（x，y）在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P′（x′，y′），
则 ＝ ＝ ，所以
因为（x′，y′）在曲线 C′上，所以 6x′2－y′2＝1，代入得 6（x＋2y）2－（3x＋4y）2＝1，化简得 8y2－3x2＝1，
所以曲线 C 的方程为 8y2－3x2＝1.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点 为极
点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求 的极坐标方程和 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ， 与 的交点为 ， ，
求 的面积.
【解析】（Ⅰ）消去参数 ，曲线 的普通方程为 ，
1 2
3 4
2 1
3 1
2 2
−
−
x
y
′
′
1 2
3 4
x
y
2
3 4
x y
x y
+
+
2
3 4
x x y
y x y
= +
= +
′
′
xOy 1C 2 2 5 cos
4 2 5 sin
x
y
α
α
= +
= +
α O
x 2C ( )3
θ ρπ= ∈R
1C 2C
3C ( )6 R
πθ ρ= ∈ 2C 1C O M 3C 1C O N
OMN∆
α 1C ( ) ( )2 22 4 20x y− + − =13 / 15
即 ，把 ， 代入方程得
，所以 的极坐标方程为 .
直线 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）设 ， ，分别将 ， 代入 ，
得 ， ，
则 的面积为
.
23．已知 6 只小白鼠有 1 只被病毒感染，需要通过对其化验病毒 来确定是否感染.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将 6 只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，
若存在病毒 ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒 ，
则在另外一组中逐个进行化验.
（1）求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率.
（2）首次化验化验费为 10 元，第二次化验化验费为 8 元，第三次及其以后每次化验费都是 6 元，列出方
案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？
【解析】（1）方案乙所需化验恰好为 2 次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒 ,再
从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为 ,第二种,先化验一组，结果含病毒
，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为 .
所以依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率为
（2）设方案甲化验的次数为 ，则 可能的取值为 1,2,3,4,5,对应的化验费用为 元,则
， ，
， ，
则其化验费用 的分布列为
2 2 4 8 0x y x y+ − − = cosx ρ θ= siny ρ θ=
2 4 cos 8 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − = 1C 4cos 8sinρ θ θ= +
2C 3y x=
( )1 1,M ρ θ ( )2 2,N ρ θ 1 3
πθ = 2 6
πθ = 4cos 8sinρ θ θ= +
1 2 4 3ρ = + 2 4 2 3ρ = +
OMN∆
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 1sin 2 4 3 4 2 32 2
ρ ρ θ θ− = × + × + sin 8 5 36
π× = +
DNA
DNA DNA
DNA
3
5
3 1
6 3
1 1
6
C
C C
× =
DNA
2
5
3 1
6 3
1 1
6
C
C C
× =
1 1 1
6 6 3
+ =
ξ ξ η
( ) ( ) 11 10 6P Pξ η= = = = ( ) ( ) 5 1 12 18 6 5 6P Pξ η= = = = × =
( ) ( ) 5 4 1 13 24 6 5 4 6P Pξ η= = = = × × = ( ) ( ) 5 4 3 1 14 30 6 5 4 3 6P Pξ η= = = = × × × =
( ) ( ) 5 4 3 2 15 36 6 5 4 3 3P Pξ η= = = = × × × =
η14 / 15
所以 （元）.
所以甲方案平均需要化验费 元
24．已知函数 ．
（1）求 和 的值；
（2）记 ，求 ；
（3）对（2）中的 和任意 ，均有 成立，求实数 的取值范围．（直接写出答案即可，
不要求写求解过程．）
【解析】(1) ,所以 ,
;
(2)由(1)可知 ,
又 ,
即 ,
两式相加得:
,
所以 ;
1 1 1 1 1 7710 18 24 30 366 6 6 6 3 3Eη = × + × + × + × + × =
77
3
3( ) 9 3xf x = +
(1) (0)f f+ ( ) (1 )f x f x+ −
1 2 1
m
m mS f f f fm m m m
− = + +⋅⋅⋅+ + mS
mS *m∈N
1
2
1
m m
m m
a a
S S
+
+
> a
3( ) 9 3xf x = +
3 3(1) (0) 19 3 1 3f f+ = + =+ +
1
3 3( ) (1 ) 9 3 9 3x xf x f x −+ − = ++ + 1
3 3 9
9 3 (9 3) 9
x
x x x−
⋅= ++ + ⋅
3 9
9 3 3 9
x
x x
= ++ + 1=
1( ) (1 ) 1, (1) 4f x f x f+ − = =
1 2 1
m
m mS f f f fm m m m
− = + +⋅⋅⋅+ +
1 2 1
m
m m mS f f f fm m m m
− − = + +⋅⋅⋅+ +
( )1 1 2 2 1 12 2 1m
m m mS f f f f f f fm m m m m m
− − − = + + + + + + +
11 2m= − + 1
2m= −
2 1
4m
mS
−=15 / 15
(3)因为对任意 ,均有 成立,又由(2)知 ,因此 ,
故化简 可得: ,
令 ,则 ,又 在 上递减,在 上递增,
所以当 , 时, ,所以 .
故 的取值范围为 .
*m∈N
1
2
1
m m
m m
a a
S S
+
+
> 2 1 04m
mS
−= > 0a >
1
2
1
m m
m m
a a
S S
+
+
>
2
2
1
1( )2 4
1
2 4
m
m
m
Sa mS
+
+
< =
−
1 1
2 4 4
mt = − ≥
21( ) 12 14
t
a tt t
+
< = + +
1 14y t t
= + + 1 1[ , ]4 2
1( , )2
+∞
3t 4
= 2m = min
25
12y = 25
12a <
a 25(0, )12
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