杭州建人高复 2019 年 12 月份月考试卷
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.
3. 填空题和解答题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，
答在试题卷、草稿纸上无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
5.本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为 120 分钟，试卷总分为 150 分。请考生将
所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷
1.设集合 , ,则 M∩N＝
A. {-1，0} B. {-1，0，1} C. {-2，-1，0，1} D. {0，1}
2. 设复数 满足 ，则
A. B. C. D. 2
3．已知 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值是
A． 8 B． 6 C． 3 D．3
4.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取 5
次，设摸得白球个数为 X，已知 E(X)＝3，则 D(X)＝
A.
8
5 B.
6
5 C.
4
5 D.
2
5
5..已知 为等比数列，则“ ”是“ 为递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ）
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
{ }2, 1,0,1,2M = − − { }2 2 0N x x x= + − <
z ( )1 2i z i+ = z =
1
2
2
2 2
1
4 0
0
y
x y
x y
≥
+ + ≥
− ≤
2z x y= +
− − −
*{ }( )na n∈N 1 2a a> { }na
( ) cos3 sin3 .f x x x= − xy 3sin2=
4
π
4
π
12
π
12
π7.设定义在 上函数 的导函数为 ，且满足 ，则
A. B.
C. D.
8. 设 ， 为 椭 圆 ： 的 两 个 焦 点 ， 为 上 一 点 且 在 第 二 象 限 . 若
为等腰三角形，则点 的横坐标为
A. B. C. D.
9.实数 ， ， 成等差，点 在动直线 上的射影为 ，点
则线段 长度的取值范围为
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若存在实数 a，使得函数 恰好有 4 个零
点，则实数 m 的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)
11. 法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作 解析函数论 中提出一个定理：如果函数
y=f（x）满足如下条件： 在闭区间 上是连续不断的； 在区间(a,b 上都有导数 则在
区间 上至少存在一个数 t，使得 f（b）-f（a） ，其中 t 称为拉格朗日中
值 则 在区间 上的拉格朗日中 t ________；若 的
拉格朗日中值为 则 b=________
12.已知角α终边上一点 M 的坐标为 ，则 ________; ________
R )(xf )(' xf )(2)(' xfxf <
9 (ln 2) 4 (ln3)f f< 2 (ln 2) 4 (1)e f f<
2(2020) (2019)f e f> 2 (2019) (2020)e f f>
1F 2F C
2 2
19 5
x y+ =
M C
1 2MF F△ M
3
2
15
2
15
2
− 3
2
−
a b c ( )1,1P − : 2 0l ax by c+ + = M
( )2,2N MN
2,2 2 2,3 2 2,3 2 2,3
3 21 ,( ) 3
,
x x x mf x
x m x m
− + ≤=
− >
( ) ( )g x f x a= −
(0,2) (2, )+∞ (0,3) (3, )+∞
( ) lng x x= [1, ]e 3( ) , [1, ]f x x x b= ∈
,3
21
(1, 3) sin2α = 3log 4(tan )α =13.设函数 ，则 ________；则当 的展开式中的常数项
为_____
14.对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数，
是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有
对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 ，请你根据上面的
探 究 结 果 ， 解 答 以 下 问 题 ： ① 函 数 的 对 称 中 心 坐 标 为
____________；
②计算 _______________.
15.有红，绿，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各 4 只，都分别标有字母 ．任
意取出 4 只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有__________ 种．
16. 已知数列 的通项公式为 ，若存在 ，使得 对任意 都成立，
则 的取值范围为 [
17.已知平面向量 ， ，且 ，则 的最大值为
三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(本题满分 14 分)随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对
使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞
成人数如表．
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的 4 人中
赞成使用微信交流的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望。
, , ,A B C D
2 6
9
1( ) , 0( )
log , 0
x xf x x
x x
− 0）；
（3）当 时，求证：不等式 解集为空集.
2π( ) 2 sin( )cos( )2 3f x a x x
π= − − π( ) 13f =
a ( )f x
3x
π=
1( ) 3f α = − (0, )2
α π∈
{ }na 1 1a = *
1 3 ,n na a n N+ = ∈ nS { }nb
*
1 1 10,2 ,n nb b b S S n N≠ − = ∈
{ }na { }nb
* 2,n N n∈ ≥且 31...11
3322
〈−++−+− nn bababa
ABC∆
cos cos 2a C c A+ = ABC∆
2 2 1( 3 sin 2 ) [ 2 ksin( )]4 8x B x B
π+ + + + + ≥
( ) lnf x x a x= − ( )a R∈
( )f x
21( ) ( )2g x x ax f x= − −
1a = − ( ) 1xf x x e> ⋅ −数学答案：
－、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有
－项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B B A D D C B
二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)
11. ；2； 12． ；2 ； 13. -6log92；15； 14. ;2019
15.36； 16. ； 17.
三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18【解答】解：根据题意，X 的所有可能取值为 0，1，2，3， -1 分
则 P（X=0）= • = × = ，---2 分
P（X=1）= • + • = × + × = ，---2 分
P（X=2）= • + • = × + × = ，---2 分
P（X=3）= • = × = ；---2 分
随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
---2 分
所以 X 的数学期望为
EX=0× +1× +2× +3× = = ． ---3 分
19．（本小题满分 15 分）【解析】（1）由已知 ，得 ，解得 .（--2
分）
所以
1e − 3
2
1( ,1)2
ln3[ , )3
+∞ 7 12
+
π( ) 13f = 1 12 12 2a × × = 2a =
3 1( ) 4cos ( sin cos )2 2f x x x x= − 22 3sin cos 2cosx x x= − 3sin 2 cos2 1x x= − −.（--4 分）所以 ，则
，（--2 分）所以所求切线为 .（--2 分）
（2） ， ，（--2 分）
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
所以 .（--3 分）
则
.（2 分）
20.(本题满分 15 分)
21.（1）（0, 】 ---5 分 （2） （5 分）
（3）存在满足条件的实数 k，k 的取值范围是:
(5 分)
22.(本题满分 15 分).
【详解】（1） 的定义域为 . ---2 分
①当 时 ，所以 在 上单调递增.---1 分
②当 时令 ，得
当 时，有 ，所以 在 上单调递增.
π2sin(2 ) 16x= − − π( ) 4cos(2 )6f x x′ = −
2 π( ) 4cos( ) 03 3 6f
π π′ = − = 1y =
1( ) 3f α = − π 1 π 12sin(2 ) 1 ,sin(2 )6 3 6 3
α α− − = − − =
(0, )2
α π∈ π 52 ( , )6 6 6
α π π− ∈ − π 1 1sin(2 )6 3 2
α − = < π2 (0, )6 6
α π− ∈
π 2 2cos(2 )6 3
α − =
π π π π π πsin 2 =sin[(2 ) ] sin(2 )cos cos(2 )sin6 6 6 6 6 6
α α α α− + = − + −
1 3 2 2 1 3 2 2
3 2 3 2 6
+= × + × =
060 030
] [ ),2
76,( +∞−∞ U
( )f x (0, )+∞ ( ) 1 a x af x x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0, )+∞
0a > ( ) 0f x′ = x a=
x a> ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )a +∞当 时，有 ，所以 上单调递减.
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ---2 分
（2）函数 ，
令 ，解得
，
当 时， 在 上递减，有 .所以 .
所以 有一个零点.
当 时， 在 上递增，所以 有一个零点.
当 时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增.
此时 ，所以 有一个零点.
综上所述： 在 上只有一个零点. --------- 5 分
（3）当 时，不等式 解集为空集,等价于 在定义
域内恒成立.
设 ，所以
因为 递增，令 即
则 在 上递减，在 上递增.，所以
所以 即不等式 解集为空集。.---5 分
在0 x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )a
( )f x ( , )a +∞ (0, )a
21( ) ln2g x x ax x a x= − − + ( )( 1)( ) x a xg x x
− −′ =
( )( 1)( ) 0x a xg x x
− −′ = = 1 2, 1x a x= =
1(1) - - 02g a= < , ( )x g x→ +∞ → +∞
1a > ( )g x (1, )a (1) ( )g g a> ( ) 0g a <
( )g x
1a = ( )g x (0, )+∞ ( )g x
0 1a< < ( )g x (0, )a ( ,1)a (1, )+∞
21( ) ln 02g a a a a a= − − + < ( )g x
( )g x (0, )+∞
1a = ( ) 1xf x x e> ⋅ − ( ) x lnx 1xf x x e= + ≤ ⋅ −
( ) 1 x lnx(x 0)xh x x e= ⋅ − − − > 1 1( ) ( 1) 1 (x 1)(e )(x 0)x
x xh x x e x
′ = + ⋅ − − = + − >
1e (x 0)xy x
= − > 1( ) ( 1)(e ) 0th t t t
′ == + − = 1e lnt t tt
= ⇔ = −
( )h x (0, )t ( , )t +∞ ( ) ( ) 1 ln 1 1 0 0th x h t te t t≥ = − − − = − − =
( ) x lnx 1xf x x e= + ≤ ⋅ − ( ) 1xf x x e> ⋅ −
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