浙江省杭州建人高复2020届高三数学4月模拟试卷（带答案Word版）

杭州建人高复 2020 届第二学期模拟测试数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 参考公式： 如果事件 互斥，那么 柱体的体积公式 ； 如果事件 相互独立，那么 椎体的体积公式 ； 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 球的表面积公式 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 次的概率 (k = 0,1,…,n). 球的体积公式 台体的体积公式 选择题部分（共 40 分） 一、 选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1、已知全集 ，集合 ， ，则 （） A、 B、 C、 D、 2、已知 是虚数单位， ，则“ ”是“ ”的（） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（） A． B． C． D． 4、如果正数 满足 ，那么（  ） A. ，且等号成立时 的取值唯一 B. ，且等号成立时 的取值唯一 C. ，且等号成立时 的取值不唯一 D. ，且等号成立时 的取值不唯一 BA, )()()( BPAPBAP +=+ V Sh= BA, )()()( BPAPBAP ⋅=⋅ 1 3V Sh= A P n k 24S Rπ= knkk nn PPCkP −−= )1()( 34 3V Rπ= {1,2,3,4,5,6}U = {1,4}P = {3,5}Q = ( )UC P Q = {2,6} {2,3,5,6} {1,3,4,5} {1,2,3,4,5,6} i ,x y R∈ 1x y= = 2( ) 2x yi i+ = 8 8π+ 8 16π+ 16 8π+ 16 16π+ a b c d， ， ， 4a b cd+ = = ab c d+≤ a b c d， ， ， ab c d+≥ a b c d， ， ， ab c d+≤ a b c d， ， ， ab c d+≥ a b c d， ， ， 5、设等差数列 的公差为 d，若数列 为递减数列，则（ ） A． B． C． D． [ 6、已知实数 , 满足 则 的最小值是 A.5－ 5 B.4－ 5 C. 5－1 D.5 5 7、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的 ， 令 ⊙ 下面说法错误的是 A. 若 与 共线，则 ⊙ B. ⊙ ⊙ C. 对任意的 ⊙ ⊙ D. ⊙ 8、对于给定正数 ，定义 ，设 ，对 任意 和任意 恒有 ，则( ) A． 的最大值为 2 B． 的最小值为 2 C． 的最大值为 1 D． 的最小值为 1 9、如图，点 在正方体 的表面上运动，且 到直线 与直线 的距 离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点 的轨迹在 展开图中的形状是（ ） A. B. x y 2 2 4 6 12 0x y x y+ − + + = 2 2x y− − k 252)( 22 ++−−= aaaxaxxf Rx∈ )0,(−∞∈a )()( xfxfk = k k k k P 1 1 1 1ABCD A B C D− P BC 1 1C D P { }na 1{2 }na a 0d < 0d > 1 0a d < 1 0a d > ( , ), ( , )a m n b p q= = a .npmqb −= a b a 0=b a bb = a )(, aR λλ 有∈ ab (λ= )b a( 222 ||||)() babab =⋅+2 ( ), ( )( ) , ( )k f x f x kf x k f x k ≤=  > C. D. 10、设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则（） A、 B、 C、 D、 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 个小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11、已知 ，若 ，则 ______； 12、已知方程 ，若该方程表示椭圆方程，则 的取值范围是_______; 13、已知 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992，则展开 式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______． 14、将字母 放入 的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不 相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______； 若共有 行字母相同，则得 k 分，则 所得分数 的数学期望为______； （注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第 1,3 行字母不同，该情 况下 ） a b c c a b 15 、已知正四面体 和平面 ， ，正四面体 绕边 旋转，当 与 平面 所成角最大时， 与平面 所成角的正弦值为______ , , , , ,a a b b c c 2 2 sin 2( ) cos 2 a a xf x a a x + += + + ( )M a ( )m a 0 0 0, ( ) ( ) 2a R M a m a∃ ∈ ⋅ = , ( ) ( ) 2a R M a m a∀ ∈ + = 0 0 0, ( ) ( ) 1a R M a m a∃ ∈ + = , ( ) ( ) 1a R M a m a∀ ∈ ⋅ = 2 , 0( ) ( ), 0 x xf x f x x  ≥= − − > 1F 1F ,A B 1| | | |OF OA= AO C 1 1| | 2 | |CF BF= , ,a b c   1 2a b⋅ = −  1 1a c b c− ⋅ + − ⋅    ABC∆ BCD∆ 2AB BC BD= = = 0120ABC DBC∠ = ∠ = EF BC⊥ E BF C− − 20. （本小题 15 分） 已知各项均为正数的数列{ }的前 n 项和满足 ，且 （1）求{ }的通项公式； （ 2 ） 设 数 列 { } 满 足 ， 并 记 为 { } 的 前 n 项 和 ， 求 证 ： 21. （本小题 15 分） 已知 是抛物线 上位于 轴两侧的不同两点 （1）若 在直线 上，且使得以 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形 的面积。 （2）求过 、 的切线与直线 围成的三角形面积的最小值； 22. （本小题 15 分） 已知函数 其函数图像与 轴交于 ，且 （1）求 的取值范围； （2）求证： ； （3）若 也在 图像上，且 为正三角形，记 ，求 的值 na 1>nS *),2)(1(6 NnaaS nnn ∈++= na nb 1)12( =−nb na nT nb * 2 ),3(log13 NnaT nn ∈+>+ ,A B 2x y= − y CD 4y x= + ABCD A B 1y = − ( ) ( ),xf x e ax a R= + ∈ x 1( ,0)A x 2, ( ,0)B x 1 2x x< a 1 23( ) 04 x xf +′ < C ( )f x ABC∆ 2 1 xt x = ( 1)( 3)t a− + 数学答案 选择题 AACAC ABBBD 11、 ， 12、 13、10， 14、 ， （填 0.6 也对） 15、 16、 17、 ， 18、在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． Ⅰ 求角 的大小； Ⅱ 求 的取值范围． （1）由题意 （2） 3 2 3 3 − 1 5 5 9k k< < < nS *),2)(1(6 NnaaS nnn ∈++= na nb 1)12( =−nb na nT nb * 2 ),3(log13 NnaT nn ∈+>+ 1 1 1 2 1 1 1 ( 1)( 1), 16a S a a a S= = + + = >结合 1 2a = 1 1 1 1 1 1( 1)( 2) ( 1)( 2)6 6n n n n n n na S S a a a a+ + + += − = + + − + + 1 1( )( 3) 0n n n na a a a+ ++ − − = 0na > 1 3n na a+ − = na na 3 1na n= − 1)12( =−nb na 2 3log 3 1n nb n = − 2 3 6 3log ( ... )2 5 3 1n nT n = ⋅ ⋅ ⋅ − = 于是 21、已知 是抛物线 上位于 轴两侧的不同两点 （1）若 在直线 上，且使得以 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形 的面积。 （2）求过 、 的切线与直线 围成的三角形面积的最小值； 【解析】（1）设直线 联立直线 与抛物线方程得： 易得： 直线 与 之间的距离为 令 ，可得 所以该正方形的边长为 或 面积为 或 ； （2）设 ， （由对称性不妨设 ） 3 2 3 6 33 log ( ... )2 5 3 1n nT n = ⋅ ⋅ ⋅ − 3 3 3 2 3 6 3log [( ) ( ) ... ( ) ]2 5 3 1 n n ⋅ ⋅ ⋅ − 3 3 3 1 3 2 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 2( )3 1 3 1 3 3 1 n n n n n n n n n n n n n n + +> >− + + +∴ > ⋅ ⋅− − +  3 3 3 2 2 2 3 6 33 log [( ) ( ) ... ( ) ]2 5 3 1 3 4 5 6 7 8 3 3 1 3 2log [( ) ( ) ... ( )]2 3 4 5 6 7 3 1 3 3 1 3 2log 2 n nT n n n n n n n n = ⋅ ⋅ ⋅ − + +> ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− + += 2 23 1 log (3 2) log ( 3)n nT n a∴ + > + = + ,A B 2x y= − y CD 4y x= + ABCD A B 1y = − :AB y x b= + AB 2 0x x b+ + = | | 2 1 4AB b= − AB CD | 4 | 2 b− | 4 | 2 1 4 2 b b − = − 2 6b = − −或 3 2 5 2 18 50 2( , )A a a− 2( , )B b b− 0, 0a b< > 则 处的切线方程为： ，与直线 交点记为 M，则 则 处的切线方程为： ，与直线 交点记为 N，则 两条切线交点 P 于是 当 时取到等号 所以该三角形面积的最小值为 22、已知函数 其函数图像与 轴交于 ，且 （1）求 的取值范围； （2）求证： ； （3）若 也在 图像上，且 为正三角形，记 ，求 的值 【解析】（1） A 22y ax a= − + 1y = − 2 1( , 1)2 aM a + − B 22y bx b= − + 1y = − 2 1( , 1)2 bN b + − ( , )2 a b ab + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 242 2 1 1 1( )( 1)2 2 2 ( )( 1)( 1) ( )4 ( )(1 ) 4 2 (1 ) 4 (1 ) ( ) 2 (1 ) 2 1 1 1 11 43 3 3 27 1(4 )(1 ) 8 327 2 2 9 PMN b aS abb a b a ab ab t aab b t bt bt bt bt bt bt bt q bt q q q q q qq q q ∆ + += − − + − − − += = − + += +≥ += = += + = + + + ≥ +∴ ≥ =  令 令 3 3b a= − = 8 3 9 ( ) ( ),xf x e ax a R= + ∈ x 1( ,0)A x 2, ( ,0)B x 1 2x x< a 1 23( ) 04 x xf +′ < C ( )f x ABC∆ 2 1 xt x = ( 1)( 3)t a− + ( ) xf x e a′ = + 若 ，则 ，函数 在 上单调递增，这与题设矛盾； 易知 在 上单调递减，在 上单调递增 且 （2）先证： 由于 ，又 在 上单调递增 所以欲证： 只需证： 只需证： 由于 只需证： 只需证： 构造： ， 在 上单调递增，又 所以当 ， 于是 综上可得： 所以 ， 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x R 0a∴ < ( )f x ( ,ln( a))−∞ − (ln( ), )a− +∞ min( ) (ln( )) ln( )f x f a a a a∴ = − = − + − , ( ) ; , ( ) ;x f x x f x→ −∞ → +∞ → +∞ → +∞时 时 min( ) ln( ) 0,f x a a a a e∴ = − + − < ∴ < − 1 2 2ln( )x x a+ < − 2 1ln( ), ln( )x a x a> − < − ( )f x (ln( ), )a− +∞ 1 2 2ln( )x x a+ < − 2 12ln( )x a x< − − 2 1( ) (2ln( ) )f x f a x< − − 2 1( ) ( ) 0f x f x= = 1 1( ) (2ln( ) )f x f a x< − − 1 1( ) (2ln( ) ) 0f x f a x− − − < ( ) ( ) (2ln( ) )x f x f a xϕ = − − − (0,ln( ))x a∈ − 2ln( ) 2 ( ) ( ) (2ln( ) ) ( 1) 2 2 | | 2 0 x a x x x x f x f a x e a e a ae a a ae ϕ − − ′ ′ ′= − − − ⋅ − = + + + = + + ≥ + = ( )xϕ∴ (0,ln( ))a− (ln( )) 0aϕ − = (0,ln( ))x a∈ − ( ) ( ) (2ln( ) )x f x f a xϕ = − − − 0< 1( ) 0,xϕ < 即 1 1( ) (2ln( ) ) 0f x f a x− − − < 1 2 2ln( )x x a+ < − 1 2 1 23 ln( )4 2 x x x x a + +< < − 所以 （3）由 由 为正三角形且 也在 图像上可知： 即 即 两边同除以 有： 即 由于 ，所以 于是： 整理可得： 所以 1 23 ln( )1 2 43( ) 04 x x ax xf e a e a + −+′ = + < + = 1 1 2 2 1 2 1 2 2 , x x x x e ax e a x x e ax + = − ∴ = − = − ABC∆ C ( )f x 1 2 3( ) | |2 2 x xf AB + = − 1 2 1 22 2 1 3 ( )2 2 x x x xe a x x + ++ ⋅ = − − 1 2 1 2 2 1 3 ( )2 2 x xa x x a x x +− + ⋅ = − − 1x 2 2 1 2 1 1 1 3 ( 1)2 2 x x x xa ax x + − + ⋅ = − − 2 23(1 ) ( 1)2 2 aat t t− + + = − − 2 3( 1) ( 1)(t 1)2 2 a t t− = − − + 2 1x x≠ 1t ≠ 3( 1) ( 1)2 2 a t t− = − + ( 3) 3a t a+ = − ( 1)( 3) 2 3t a− + = −