由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建理数参考答案
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 D D A B A D C D A A B C
1.【解析】由已知 0 1A x x x x ，故 R A ð 0 1x x .
2.【解析】 1 2 2z a a i ，由已知得1 2 0a ，解得 1
2a .
3.【解析】由 4
x xe ef x f xx
，故 f x 的图象关于原点对称；当 0x 时， 0f x .
4.【解析】由 a a b ，得 1
4
a b = ， 2 22 4 4 3 a + b a a b b .
5.【解析】有三角函数的定义可知，Q 的横坐标为 1 32 cos 4 3 2
.
6.【解析】系数和为 2 2 2, 1a a ， 52 1x 展开式通项公式为
5 5 5
5 52 1 1 2 , 0,1,2,3,4,5k k kk k k kC x C x k ，故其展开式中含 3x 项的系数是
32 3 3 2
5 52 1 2 40C C .
7.【解析】由已知得
2 2
1 4 1a b
，所以 2
2
2 4+b ba
，
2
2
21 5 5c be ba a
，所以 5e .
8.【解析】从这 15 个数中随机抽取 3 个整数所有基本事件个数为 3
15C ，其中为勾股数为
3,4,5 6,8,10 9,12,15 , 5,12,13， ， 4 个，故概率为 3
15
4 4
455P C
，故选 D.
9.【解析】建立平面直角坐标系如图，不妨设 1, 2AB BC
则 1,0 1,0B C ， ，抛物线方程为 2y x 阴影部分面积
为 1 2 3 1
11
1 11 1 3 3S x dx x
,又矩形 ABCD 得面积为
2=ABCDS ,故点落在阴影部分的概率为 1
6=
ABCD
SP S
.
10.【解析】由已知不等式有意义，则 1,4 1a a ，故 1,3a
当 1,2a 时，原不等式等价于 ln 1 ln 3a a ，即 ln 1 ln 3a a ，故 2ln 4 3 0a a ， 2 4 3 1a a ，即 22 0a ，故 1,2a .
当 2,3a 时，原不等式等价于 ln 1 ln 3a a ，即 ln 1 ln 3a a ，
故 2ln 4 3 0a a , 2 4 3 1a a ，即 22 0a ，故 a.综上可知： 1,2a .
11.【解析】该木料是一个三棱锥如图, 3, 4, 5AB BC AA ,因为 Rt ABC 的内切圆半
径为 1 3 4 5 12r ,故最大球的半径为1，又因为 5AA ,所以最多可以制成 2 个球.
12.【解析】由已知得 2sin ,02
，所以
4
或 3
4
.
当
4
时，得sin 04 4
，所以 1 4 ,k k N .
若 3 时， sin 3 4f x x
在 0 4
， 有一个极大值点，不符合题意；
若 7 时， sin 7 4f x x
在 0 4
， 内极大值点为
28
小于极小值点 5
28
符合题
意；当 3
4
时，得 3sin 04 4
，所以 3 4 ,k k N .
若 5 时， 3sin 5 4f x x
在 0 4
， 有一个极小值点，不符合题意；
若 9 时， 3sin 9 4f x x
在 0 4
， 极小值点
12
和极大值点 7
36
，不符合题意.
综合上述：应选 C.
13.【解析】不等式满足的平面区域如图阴影部分，其中 1,3 , 2,2A B ,
当动直线过点 A 时， min 5z .
14.【解析】由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为 3
4 p ，
所以 3 34 p ， 所以 4p ，故抛物线的方程为 2 8y x .15.【解析】设内角 A,B,C 的对边分别为 , ,a b c ,则 1 2 3sin2 3 4ABCS bc bc
,
在 ABC 中， 2 2 2a b c bc ,在 ABD 中， 2 21 9 3 cos4c a a ADB ,
在 ACD 中 ， 2 21 9 3 cos4b a a ADC , 所 以 2 2 21 182 +b c a ， 即
2 2 36b c bc ，由 2 2 2b c bc ，故 36bc ,当且仅当 b c 时成立,故 ABC 面积的
最大值为9 3 .
16.【解析】在 Rt ABC 中，由已知 2, 3AC BC ，
设 30 , 2 , 32DE x x CD x CE x
.四边形 ABDE 的面积为
21 1 33 2 2 3 12 2 2=S x x x x , 当 CDE 平 面
ABDE 时，四棱锥 P ABDE 体积最大,此时 PE ABDE 平面 ，且
3PE CE x , 故 四 棱 锥 P ABDE 体 积 为
31 1
3 2=V S PE x x ， 21 1 32V x ， 30, 3x
时，
0V ； 3 3
3 2x
， 时， 0V ,当 3
3x 时， max
3
9V .
17.【解析】（Ⅰ） 由已知得 1 11 1n nS n a n n ，
所以 +1 11 2n n n nS S n a na n ， 又 1 1n n nS S a ……………………2 分
所以 1 2n nna na n ， 故 1 2n na a .
故数列 na 是公差为 2 的等差数列 ……………………………………………4 分
又 2
5 2 6a a a ，即 2
1 1 18 2 10a a a ，
解得 1 11a ， 所以 13 2na n …………………………………………………6 分
（Ⅱ）由题得
1
1 1 1 1
2 13 2 11 2n
n n
b a a n n
……………………………………8 分
1 2
1 1 1 1 1 1 1
2 11 9 9 7 13 2 11 2n nT b b b n n
1 1 1
2 11 11 2 121 22
n
n n
……………………………………………12 分18.【解析】（Ⅰ）取 ,AC A C 的中点 ,O F ,连接OF 与 A C 交于点 E ，连接 DE ， ,OB B F ,
则 E 为OF 的中点， / / / /OF AA BB ,且OF AA BB ，所以 BB FO 是平行四边形.
又 D 是棱 BB 的中点，所以 / /DE OB . ………………………………………………3 分
侧面 AA C C 底面 ABC ,且 OB AC ，所以 OB 平面 ACC A .
所以 DE 平面 ACC A
又 DE 平面 DA C ，所以平面 DA C 平面 ACC A .…………………………………6 分
（Ⅱ）连接 A O ，因为 60A AC ，所以 A AC 是等边三角形，
设 2AB BC CA AA .
故 A O 底面 ABC ，由已知可得 3A O OB .
以 , ,OB OC OA 分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系.
则 0, 1,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , 0,0, 3A B C A …………8 分
3,1,0BC ， 0,1, 3BB AA
设平面 BCC B 的法向量为 , ,m x y z
则 0, 0m mBC BB
所以 3 0
3 0
x y
y z
，取 1, 3, 1x y z ，
所以 1, 3, 1m ………………………………………………………………10 分
设平面 ABC 的法向量为 , ,n x y z
0,1, 3A C , 1 1 3 1 33, 1,0 0, , 3, ,2 2 2 2 2CD CB BB
则 0, 0n nA C CD
所以
3 0
1 33 02 2
y z
x y z
，取 0, 3, 1x y z ， 0, 3,1n
故 3 1 5cos , 52 5
m n
二平面角 'A CD B 为锐角，所以其余弦值为 5
5
………………………………12 分19.【解析】（Ⅰ）由已知 1 2 1 1 4QF QF QF QP PF ，
所以点Q 的轨迹为以 1 2,F F 为 焦点，长轴长为 4 的椭圆， …………………2 分
故 2 4, 2a a ， 1c ， 2 2 2 3b a c
所以曲线 C 的方程为
2 2
14 3
x y …………………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 2,0 , 2,0A B ,设点 M 的坐标为 1 m，
直线 MA 的方程为: 23
my x
将 23
my x 与
2 2
14 3
x y 联立消去 y 整理得：
2 2 2 24 27 16 16 108 0+m x m x m ，
设点 D 的坐标为 ,D Dx y ，则
2
2
16 1082 4 27D
mx m
，
故
2
2
54 8
4 27D
mx m
，则 2
3623 4 27D D
m my x m
………………………7 分
直线 MB 的方程为: 2y m x
将 2y m x 与
2 2
14 3
x y 联立消去 y 整理得：
2 2 2 24 3 16 16 12 0+m x m x m
设点 E 的坐标为 ,E Ex y ，则
2
2
16 122 4 3E
mx m
，
故
2
2
8 6
4 3E
mx m
，则 2
122 4 3E E
my m x m
………………………10 分
HD 的斜率为 1 22 2
36 6
4 4 954 8 4 4 27
D
D
y m mk x mm m
HE 的斜率为 2 22 2
12 6
4 4 98 6 4 4 3
E
E
y m mk x mm m
因为 1 2k k ，所以直线 DE 经过定点 H . ………………………12 分20. 【 解 析 】（ Ⅰ ） 由 已 知 一 家 超 市 销 售 食 品 件 数 8,9,10,11 的 概 率 分 别 为
1 2 1 1
5 5 5 5
，，， .…………………………………………………………………………………2 分
X 取值为 16,17,18,19,20,21.
1 1 116 5 5 25P X ， 1 2 417 25 5 25P X ；
2 2 1 1 618 25 5 5 5 25P X ； 1 2 1 1 619 2 25 5 5 5 25P X ；
1 1 2 1 520 25 5 5 5 25P X ； 1 1 221 25 5 25P X
1 1 122 5 5 25P X ………………………………………………………5 分
所以 X 的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 1
25
4
25
6
25
6
25
5
25
2
25
1
25
……………………6 分
（Ⅱ） 当 19n 时，记 1Y 为 A B， 销售该食品利润，则 1Y 的分布列为
1Y 1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050
P 1
25
4
25
6
25
6
25
5
25
2
25
1
25
1
1 4 6 6 5 2 11450 1600 1750 1900 1950 2000 205025 25 25 25 25 25 25E Y 1822
…………………………………………………………………………………………9 分
当 20n 时，记 2Y 为 ,A B 销售该食品利润，则 2Y 的分布列为
2Y 1400 1550 1700 1850 2000 2050 2100
P 1
25
4
25
6
25
6
25
5
25
2
25
1
25
2
1 4 6 6 5 2 11400 1550 1700 1850 2000 2050 210025 25 25 25 25 25 25E Y 1804
因为 1 2E Y E Y ，故应选 19n .……………………………………………………12 分
21.【解析】（Ⅰ）函数 f x 的定义域为 0 +， ， 1 1axf x ax x
.
当 0a 时， 0f x ， f x 在 0 +， 上单调递增；…………………………………2 分
当 0a 时，由 0f x ，得 1x a
.若 10,x a
， 0f x ， f x 单调递增；
若 1 +x a
， ， 0f x ， f x 单调递减
综合上述： 当 0a 时， f x 在 0 +， 上单调递增；
当 0a 时， f x 在 10, a
单调递增，在 1 +a
， 上单调递减.……………………4 分
（Ⅱ）函数 f x 图象过点 1,0 ，可得 1a ，此时 ln 1f x x x
0xe xf x 等价于 1 ln 1 0xe x xx
. …………………………………………6 分
令 1 ln 1 0xg x e x x xx
，
2 2
1 11 1 x
x
x
x xex xg x ex x x e
，……………………………………………8 分
又函数 1xy xe ， +1 xy x e ，
当 0,x 时， 0y ， 1xy xe 在 0, 上单调递增.
由 0g x ， 即 1 0xxe ，
故存在 0 0,x 使得 0
0 1xx e ，此时 0
0
1xe x
，故 0 0lnx x ……………………10 分
当 00,x x 时， 0g x ；当 0x x ， 时， 0g x .
当 0x x 时， g x 有最小值 00 0 0
0
1 ln 1 0xg x x xx e
故 0xe xf x 成立 . …………………………………………………………………12 分
22.【解析】（Ⅰ）消去参数 ，得到曲线C 的普通方程为： 2 22 4x y ……2 分
故曲线C 的极坐标方程为： 4cos= …………………………………………5 分
（Ⅱ）极坐标系Ox 中，不妨设 1 0A ， ， 2 0 3+B
， ，
其中 1 2 00, 0 2 2
，由（Ⅰ）知： 1 04cos ， 2 04cos 3+
.
OAB 面积 1 2 0 0
1 sin 4 3 cos cos2 3 3S
………………………8 分
2
0 0 0 0 0 02 3 cos 6sin cos 3 1 cos2 3sin 2 2 3 cos 2 33+ =S
当 02 03
时，即 0 6
，
0cos 2 3
有最大值1 .此时 max 3 3S
故 OAB 面积的最大值为3 3 …………………………………………………10 分
23.【解析】（Ⅰ）
4, 1
32 3 1 3 2, 1 2
34, 2
x x
f x x x x x
x x
…………………2 分
当 1x 时， 4 6x ，得 2x ，故 2 1x ；
当 31 2x 时， 3 2 6x ，得 4
3x ，故 31 2x ；
当 3
2x 时， 4 6x ，得 10x ，故 3 102 x ；
综上，不等式 6f x 的解集为 2 10x x . ……………………………………5 分
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质可知 2 3 1 (2 3) ( 1) 3 2f x x x x x x
等价于 2 3 ( 1) 3 2x x x ，当且仅当 (2 3)( 1) 0x x ，
即 21 3x 时等号成立，故 21, 3M
……………………………………………8 分
所以 2 21 , 13 3a b ，所以 2 225 10 ( 1) , 4 ( 1)9 9a b ，
所以 2 2 8( 1) ( 1) 3a b . ……………………………………………………………10 分
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