东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 ‎2018年高三第一次联合模拟考试 文科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足，为虚数单位，则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.在下列向量中，可以把向量表示出来的是( )‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎4.在区间上任取一个实数，则的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.抛物线的焦点到准线的距离为( )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎6.已知都是实数，：直线与圆相切；：，则是的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的，则输入的不可能为( )‎ A.4，8 B.4，4 C.12，16 D.15，18‎ ‎8.已知函数，则下列说法不正确的是( )‎ A.的一个周期为 B.向左平移个单位长度后图象关于原点对称 C.在上单调递减 D.的图象关于对称 ‎9.函数(其中)的图象不可能是( )‎ A B C D ‎10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点，若，则该双曲线离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若直线平面，平面平面，则直线与平面的位置关系为_____________.‎ ‎14.若实数满足不等式组，则的取值范围是_____________.‎ ‎15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。‎ 甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。‎ 则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)‎ ‎16.中，，，则面积的最大值为_____________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列的前项和为.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求.‎ ‎18.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为.‎ ‎(1)根据已知条件完成列联表，并根据此资料判断是否有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？‎ ‎(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人 是不使用手机支付的”，求事件发生的概率？‎ 列联表 青年 中老年 合计 使用手机支付 ‎60‎ 不使用手机支付 ‎24‎ 合计 ‎100‎ 附：‎ ‎19.已知圆锥，，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，且，在母线上，且，为中点，为弦中点.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求四棱锥的体积.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)求证：直线过定点.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)若函数在上的最大值为1，求实数的取值集合.‎ ‎22.已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点.‎ ‎(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎(2)设曲线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若对于恒成立，求实数的范围.‎ ‎2018年三省三校一模考试 ‎ 文科数学答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.C 12.A ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 或 14． 15．丙 16．‎ 三、解答题（本大题共70分）‎ ‎ 17.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 当时，，符合上式 ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得, ‎ ‎ 所以 ‎．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ) 从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为 使用手机支付的人群中的青年的人数为人， ‎ 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为人，所以列联表为:‎ 青年 中老年 合计 使用手机 支付 ‎42‎ ‎18‎ ‎60‎ 不使用手机 支付 ‎16‎ ‎24‎ ‎40‎ 合计 ‎58‎ ‎42‎ ‎100‎ 的观测值 ‎ ‎， ‎ 故有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. ‎ ‎(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量 为5的样本中：‎ 使用手机支付的人有人，记编号为1,2,3‎ 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b， ‎ 则从这个样本中任选2人有 ‎(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的 ‎ (1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， ‎ 故. ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：∵平面，∴，‎ 又∵点是圆内弦的中点，‎ ‎， ‎ 又 ‎ 平面 ‎ ‎（Ⅱ）∵平面，为三棱锥的高，‎ ‎ ‎ 而与等高，‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ 因此， ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），‎ 当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1，‎ 而 故椭圆C标准方程为： ‎ ‎（Ⅱ）设，且，‎ ‎， ‎ 由题意知的斜率必存在，设BP：，代入得 得 ‎ ‎ AE斜率必存在，AE： ‎ 由对称性易知直线AE过的定点必在轴上，则当时，得 ‎ ‎ 即在的条件下，直线AE过定点（1，0）. ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）. ‎ 当时，在上单调递减； ‎ 当时，，即在上单调递减； ‎ 当时，.‎ 时，，在上递减；‎ 时，，在上递增；‎ 时，，在上递减； ‎ 综上，当时，在上单调递减；‎ 当时，在上递减；‎ 在上递增；上递减. ‎ ‎（Ⅱ）∵函数在上的最大值为1.‎ 即对任意，恒成立。‎ 亦即对任意恒成立。‎ 变形可得，.‎ 当时，即，可得； ‎ 当时，.则 ‎ 令，则.‎ 当时，，当时，.‎ 因此，，∴. ‎ 当时，.则 令，则.‎ 当时，，‎ 因此，，∴. ‎ 综上，∴的取值集合为. ‎ ‎22. (本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ），当时，有 当时，点在曲线上，即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程，‎ 故曲线的直角坐标方程为即. ‎ 曲线：. ‎ ‎（Ⅱ）将代入得， ‎ ‎， ‎ 故方程有两个不等实根分别对应点，‎ ‎，即=. ‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）等价于 或或 分别解得 或无解或 综上：不等式的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）‎ 当且仅当即时有最小值6， ‎ 即. ‎ ‎ ‎ ‎2018年三省三校一模考试 ‎ 文科数学答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.C 12.A ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 或 14． 15．丙 16．‎ 三、解答题（本大题共70分）‎ ‎ 17.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当时， ………4分 当时，，符合上式 ‎ ‎ ………5分 所以. ………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得, ………7分 ‎ 所以 ‎． ………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ) 从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为 使用手机支付的人群中的青年的人数为人， ………2分 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为人，所以列联表为:‎ 青年 中老年 合计 使用手机 支付 ‎42‎ ‎18‎ ‎60‎ 不使用手机 支付 ‎16‎ ‎24‎ ‎40‎ 合计 ‎58‎ ‎42‎ ‎100‎ ‎ ………4分 的观测值 ………6分 ‎， ………7分 故有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. ………8分 ‎(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量 为5的样本中：‎ 使用手机支付的人有人，记编号为1,2,3‎ 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b， ………9分 则从这个样本中任选2人有 ‎(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的 ‎ (1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， ………11分 故. ………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ A B C M O S E F ‎（Ⅰ）证明：∵平面，∴，‎ 又∵点是圆内弦的中点，‎ ‎， ………3分 又 ………4分 平面 ………5分 ‎（Ⅱ）∵平面，为三棱锥的高，‎ ‎ ………7分 而与等高，‎ ‎，‎ ‎∴ ………10分 因此， ………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），‎ 当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1，‎ 而 故椭圆C标准方程为： ………3分 ‎（Ⅱ）设，且，‎ ‎， ‎ 由题意知的斜率必存在，设BP：，代入得 得 ‎ ………6分 AE斜率必存在，AE： ………7分 由对称性易知直线AE过的定点必在轴上，则当时，得 ‎ ………11分 即在的条件下，直线AE过定点（1，0）. ………12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）. ‎ 当时，在上单调递减； ‎ 当时，，即在上单调递减； ………2分 当时，.‎ 时，，在上递减；‎ 时，，在上递增；‎ 时，，在上递减； ………4分 综上，当时，在上单调递减；‎ 当时，在上递减；‎ 在上递增；上递减. ………5分 ‎（Ⅱ）∵函数在上的最大值为1.‎ 即对任意，恒成立。‎ 亦即对任意恒成立。‎ 变形可得，.‎ 当时，即，可得； ………7分 当时，.则 ‎ 令，则.‎ 当时，，当时，.‎ 因此，，∴. ………9分 当时，.则 令，则.‎ 当时，，‎ 因此，，∴. ………11分 综上，∴的取值集合为. ………12分 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号. ‎ ‎22. (本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ），当时，有 ‎ 当时，点在曲线上，即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程，‎ 故曲线的直角坐标方程为即. ………3分 曲线：. ………5分 ‎（Ⅱ）将代入得， ‎ ‎， ………8分 故方程有两个不等实根分别对应点，‎ ‎，即=. ………10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）等价于 或或 分别解得 或无解或 综上：不等式的解集为. ………5分 ‎（Ⅱ）‎ 当且仅当即时有最小值6， ………8分 即. ………10分