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第1讲 相似三角形的判定及有关性质
1.如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm，求BC的长．
解：⇒E为AD的中点，M为BC的中点．
又EF∥BC⇒EF＝MC＝12 cm，
所以BC＝2MC＝24 cm.
2.在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6 cm2，求△ABC的面积．
解：在平行四边形ABCD中，AB綊CD.
因为AE∶EB＝1∶2，所以AE∶DC＝1∶3，
所以△AEF与△CDF对应边AE与DC上的高的比为1∶3，
所以△AEF与△ABC，AE与AB边上的高的比为1∶4.
因为AE∶AB＝1∶3，
所以S△AEF∶S△ABC＝1∶12，
所以S△ABC＝6×12＝72(cm2)．
3.
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长，交AB于F，交AH于H.若AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．
解：因为AH∥BE，所以＝.
因为AB＝4AF，所以＝.
因为HE＝8，所以HF＝2.
因为AH∥BE，所以＝.
因为D是AC的中点，所以＝1.
因为HE＝HD＋DE＝8，所以HD＝4.
所以DF＝HD－HF＝4－2＝2.
4.
如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.
证明：取AC的中点M，连接DM交CF于点N.
在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，所以DN＝BF.
因为DN∥AF，
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所以△AFE∽△DNE，
所以＝.
又因为DN＝BF，所以＝，
即AE·BF＝2DE·AF.
5.
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP的延长线交AC、CF于E、F两点，求证：PB2＝PE·PF.
证明：如图，连接PC.
易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP.
因为CF∥AB，
所以∠F＝∠ABP.
从而∠F＝∠ACP.
又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角，从而△CPE∽△FPC，所以＝.
所以PC2＝PE·PF.又PC＝PB，
所以PB2＝PE·PF.
6.
已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
解：(1)证明：因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.
(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以＝＝4.又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝BC·AM，BC＝10，所以20＝×10×AM，所以AM＝4.
因为DE∥AM，所以＝.因为DM＝DC＝，BM＝BD＋DM，BD＝BC＝5，所以＝，解得DE＝.
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