北师大版数学九年级下册第3章第9节弧长及扇形的面积同步检测
一、选择题
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
答案：B
解析：解答： =2π．
故选：B．
分析：根据弧长的计算公式 计算即可．
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长（ ）
A．2π B．π C． D．
答案：B
解析：解答：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°-135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则 AC 的长= =π．
故选B．
分析：连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
3. 如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
答案：C
解析：解答： 将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为=2πcm．
故选：C．
分析：将平行四边形旋转180°后，点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（ ）厘米．
A．20 B．24 C．10π D．30π
答案：C
解析：解答：点O移动的距离为扇形的弧长，
根据面积公式求出弧长，
即30π=×l×6，
解得l=10π．
故选C．
分析：点O移动的距离为扇形的弧长，根据弧长公式计算即可．
5.如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，则 的长是（ ）
A．2π B．π C． D．
答案：C
解析：解答： ∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=2，
∴
故选：C．
分析： 根据圆周角定理可得出∠AOB=60°，再根据弧长公式的计算即可．
6、如图，等边三角形ABC中，将边AC逐渐变成以BA为半径的，其他两边的长度不变，则∠ABC的度数大小由60变为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答： 设∠ABC的度数大小由60变为n，
则AC=,由AC=AB，
解得，n= ，
故选：A．
分析： 设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（ ）
A．1π B．1.5π C．2π D．3π
答案：C
解析：解答： ∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
∴弧DE的长为，
故选C．
分析：先由等边三角形的性质得出AB=AC=6，∠CAB=60°．再由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE=60°，然后根据弧长公式解答即可．
8.在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（ ）
A．πcm2 B．2πcm2 C．3πcm2 D．6πcm2
答案：C
解析：解答：由题意得，n=120°，r=3，
故S = =3πcm2．
故选C．
分析： 根据扇形公式S = ，代入数据运算即可得出答案．
9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．π B．3π C．2π D．4π
答案：D
解析：解答：过点A向BC作垂线，垂足为E，
∵AD=CE=4，BC=6，所以BE=2，
∴∠EAB=30°，∠DAB=120°，
根据勾股定理可知AE2=16-4=12，
∴扇形面积为=4π．
故选：D．
分析： 扇形面积公式：S =，梯形的计算问题一般要转换成平行四边形和三角形的问题来解决．
10.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（ ）
A．π B．2π C．2.5 π D．3π
答案：D
解析：解答： 连接OB．
∵OA=OB=OC=AB=BC，
∴∠AOB=∠COB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=120°．
又∵∠COE=∠DOA，
∴∠DOE=120°．
∴扇形ODE的面积为=3π．
故选D．
分析：连接OB．根据等边三角形的性质可以求得∠AOC=120°，再结合∠COE=∠DOA，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．
11.已知一个半径为6的扇形面积是4π，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
答案：B
解析：解答：∵r=6，S扇形=4π，
∴＝4π，
解得n=40；
∴这个扇形的圆心角为40°．
故选B
分析： 根据扇形的面积根据进行计算即可．
12.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π-2 B．π-4 C．4π-2 D．4π-4
答案：A
解析：解答： S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB
=×2×2
=π-2
故选：A．
分析： 由∠AOB为90°，得到△OAB为等腰直角三角形，于是OA=OB，而S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．
13.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．9 C．2 D．3
答案：D
解析：解答：扇形的面积==3π．
解得：r=3．
故选D．
分析： 已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．
14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
答案：D
解析：解答：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD= （垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故 ，即阴影部分的面积为．
故选：D．
分析： 连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
15.
如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
答案：D
解析：解答： 如图所示，
S阴影=S△AOB=S正方形=×2×2=1．
故选D．
分析：作正方形的对角线，由图可知阴影部分的面积等于正方形面积的，由此可得出结论．
二、填空题
16.一个扇形的半径为3cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为 度
答案：40
解析：解答：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S= =π，
解得n=40°，
故答案为40．
分析：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
17.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为
答案：3
解析：解答：∵l= ，
∴R==3．
分析：根据弧长公式代入求解即可．
18、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
答案：
解析：解答：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°÷ 6 =60°，
的长为．
故答案为：．
分析： 求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
19.如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是2，图中三个阴影部分的面积之和是
答案：2π
解析：解答： S阴影 ==2π．
故答案是：2π．
分析：由于三角形的内角和为180度，所以三个阴影扇形的圆心角的和为180°，由于它们的半径都为2，因此可根据扇形的面积公式直接求出三个扇形的面积和．
20.如图，⊙O的半径为4，PC切⊙O于点C，交直径AB延长线于点P，若CP长为4，则阴影部分的面积为
答案：8-2π．
解析：解答： 连接CO，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵⊙O的半径为4，CP长为4，
∴CO=CP，
∴∠COP=∠CPO=45°，
∴阴影部分的面积为：S△COP-S扇形COB=×4×4-=8-2π．
故答案为：8-2π．
分析：利用切线的性质结合等腰直角三角形的性质得出∠COP=∠CPO=45°，进而利用阴影部分的面积为：S△COP-S扇形COB求出即可．
三、计算题
21.
如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
答案：155π
解析：解答：狗能活动的范围面积=π×142+π×42=147π+8π=155π．
答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．
分析： 根据题干可知，狗能活动的范围面积是以半径为14的圆面积的和以半径为4的圆的面积的，据此求解．
22.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）
答案：超速
解析：解答： l=km．
∴汽车的速度： =60（km/h），
∵60km/h＞40km/h，
∴这辆汽车经过弯道时超速．
分析：先根据弧长公式计算出弯道的长度，再根据所用时间得出汽车的速度，再判断这辆汽车经过弯道时有没有超速．
23.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=
，求图中阴影部分的面积．
答案：
解析：解答： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE= DE ．
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，
在Rt△OEC中，OC==2，
∵CE=DE，
∠COE=∠DBE=60°
∴Rt△COE≌Rt△DBE，
∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=
分析：根据AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，由垂径定理得CE=DE，再根据三角函数的定义即可得出OC，可证明Rt△COE≌Rt△DBE，即可得出S阴影=S扇形OBC．
24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
答案：(1)略；(2) 4π-3
解析：解答： （1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴弧AB和弧AD的度数都等于60°，
又∵BC是直径，
∴弧CD的度数也是60°，
∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴BC==4 ，故R=2 ，
∵弧AB和弧AD的度数都等于60°，
∴∠BOD=120°，
连接OA交BD于点E，则OA⊥BD，
在Rt△BOE中：OE=OBsin30°= ，BE=OB•cos30°=3，BD=2BE=6，
故S阴影=S扇形BOD-S△BOD=×6×=4π-3．
分析：（1）根据题意得出AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，进而得出BC∥AD，即可得出答案；（2）利用S阴影=S扇形BOD-S△BOD，进而求出即可．
25.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．
（1）求弧BE所对的圆心角的度数．
答案：解答：连接OE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAB=45°，
∴∠EOB=2∠EAB=90°；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
答案：由（1）∠EOB=90°，
且AB=4，则OA=2，
∴S扇形AOE= =π，S△AOE=OA2=2，
∴S弓形=S扇形AOE-S△AOE=π-2，
又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，
∴S阴影=8-（π-2）=10-π．
解析：分析：（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓形的面积可求得阴影部分的面积．
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