第一章第1课时 集合的概念
课标要求1.通过实例,了解集合的含义.2.掌握集合中元素的三个特征.3.理解元素与集合的“属于”关系.4.记住常用数集及其记法.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1集合的概念一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.集合中的叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.不能缺少任何一员每个对象
名师点睛1.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.2.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.3.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)组成集合的元素一定是数.()(2)接近于0的数可以组成集合.()××
2.某班所有的“快乐的人”能否构成一个集合?3.是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?提示不能构成集合,因为“快乐的人”没有明确的标准.提示可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.
知识点2元素与集合的关系关系语言表述符号表示读法属于元素a在集合A中元素a属于集合A不属于元素a不在集合A中元素a不属于集合Aa∈Aa∉A名师点睛1.a∈A与a∉A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况有且只有一种成立.2.符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)设集合A表示小于10的所有素数构成的集合,(1)4是集合A中的元素,即4属于集合A,记作4∈A;()(2)9不是集合A中的元素,即9不属于集合A,记作9∉A.()×√2.符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗?提示不能,符号“∈”和“∉”具有方向性,必须左边是元素,右边是集合.
知识点3集合中元素的三个特性特性含义示例确定性集合中的元素必须是确定的,即有明确的判断标准来判断给定的元素是不是属于某一集合“个子高的人”不能组成集合,“身高大于180cm的人”可以组成集合互异性一个集合中的任何两个元素都不相同,也就是说,集合中的元素没有重复“方程(x-1)2=0的所有根的集合”不能表示成{1,1},只能表示成{1}无序性集合中的所有元素不存在排列次序如{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合
名师点睛1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.
过关自诊1.已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形答案D解析由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.
2.已知a∈R,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是.答案a≠2解析根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,即a≠2.
知识点4几种常用的数集及其记法集合意义记法自然数集全体自然数组成的集合N正整数集全体正整数组成的集合N+或N*整数集全体整数组成的集合Z有理数集全体有理数组成的集合Q实数集全体实数组成的集合R正实数集全体正实数组成的集合R+
名师点睛常用数集之间的关系
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)0∈N*.()(2)0∈N.()(3){0}∈N.()×√×
2.用符号“∈”或“∉”填空:(1)1N+;(2)-3N;答案(1)∈(2)∉(3)∈(4)∉(5)∈(6)∈
重难探究•能力素养全提升
探究点一集合的概念【例1】给出下列各组对象:①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥的近似值的全体.其中能够组成集合的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
规律方法一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
变式训练1下列各组对象不能组成集合的是()A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点答案B解析选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.
探究点二元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R;②∉Q;③0∈Z;④|-1|∉N*.A.1B.2C.3D.4(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值.③若1∉A,求实数a满足的条件.(3)若集合A是由所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2是不是集合A中的元素.
(1)答案C解析根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.(2)解①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
规律方法判断元素与集合的关系的两种方法
变式训练2(1)下列关系正确的是()
(1)答案D
探究点三集合中元素的特性及其应用【例3】已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12.若-3∈A,求a的值.
规律方法由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
变式探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?解(1)有限制.(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
本节要点归纳1.知识清单:(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系;(2)集合中元素的三个特性及应用;(3)常用数集的表示.2.方法归纳:分类讨论.3.常见误区:忽视集合中元素的互异性.
学以致用•随堂检测全达标
1.判断下列各组对象可以组成集合的是()①某省所有的好学校;②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点;③π的近似值;④不大于5的自然数.A.①②B.②③C.②④D.③④答案C解析“好学校”不具有确定性,π的近似值不具有确定性,因此①③不能组成集合;直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点,不大于5的自然数,满足集合的元素的特征,因此②④能组成集合.
2.(多选题)下列关系正确的是()BD
3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形答案C解析因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.
4.一个书架上有十种不同的书,每种各3本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素.答案10解析由集合元素的互异性知,集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象),相同的元素在集合中只能算作一个,因此书架上的书组成的集合中有10个元素.
5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.故实数x满足的条件为x≠0,且x≠-1.
本课结束
微信/支付宝扫码支付