第二章第2课时 正弦定理
课标要求1.掌握正弦定理及其变形.2.了解正弦定理的证明方法.3.能运用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即名师点睛对正弦定理的理解(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦值的连等式.(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对角的正弦值之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形.()(2)正弦定理不适用于直角三角形.()(3)在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是定值.()2.在△ABC中,bsinC与csinB有何关系?3.在△ABC中,已知a>b,那么A与B有何关系?sinA与sinB呢?××√提示根据正弦定理可知bsinC=csinB.提示根据大边对大角可知A>B,根据正弦定理可知sinA>sinB.
知识点二正弦定理的拓展1.正弦定理与三角形外接圆的关系以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,利用此等式可进行边角转化2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)变式1:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.变式3:asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.变式4:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
名师点睛
过关自诊1.正弦定理主要解决哪几类三角形问题?提示(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
2.在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R.
知识点三三角形解的个数1.已知三角形的两角及一边,根据正弦定理,有且只有一解.2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:用“边a去堵角A的敞口”来理解更为形象类型A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解ab=4,所以三角形有一解.(2)因为A=150°为钝角,a=7a>bsinA,所以三角形有两解.
重难探究•能力素养全提升
探究点一已知两角和一边解三角形【例1】在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.解因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
规律方法已知两角及一边解三角形的方法(1)若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
变式训练1在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求b及△ABC外接圆的半径R.
探究点二已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】在△ABC中,已知下列条件,解三角形:
规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求得唯一的锐角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.则角A不存在,所以该三角形无解.
探究点三判断三角形的形状【例3】在△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.所以b2=c2,a2=b2+c2,所以b=c,A=90°.所以△ABC为等腰直角三角形.
规律方法判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:(1)化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有:①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径);
变式训练2在△ABC中,已知sin2A+2sin2B=sin2C,则该三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形C解析因为sin2A+2sin2B=sin2C,所以由正弦定理得a2+2b2=c2,则a2+b2-c2=-b2
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