华东师大版数学八年级上册教案13.2 三角形全等的判定

13.2 三角形全等的判定1 全等三角形(第1课时)【教学目标】一、基本目标全等三角形的概念，能运用符号语言表示两个三角形全等．二、重难点目标【教学重点】全等三角形的性质．【教学难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确指出两个全等三角形的对应元素．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P59的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．全等用符号≌表示，读作全等于．2．△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为△ABC_≌△DEF_.3．若△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，则∠C的对应角是∠F；AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边．4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，若△BOD≌△COE，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个全等三角形的对应角．【互动探索】(引发学生思考)全等三角形的对应元素该如何找？【解答】∵△BOD≌△COE，∴△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE. ∵△ADO≌△AEO，∴△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.【互动总结】(学生总结，老师点评)找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形．另外，记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．【例2】如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．【互动探索】(引发学生思考)由△ABC≌△DEF，找出这两个三角形的对应角、边，即可解决问题．【解答】∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等，对应角相等．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( D )A．72°B．60°C．58°D．50°2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝2，则DE的长是( A )A．5B．4C．3D．23．如图，△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝_70°. 环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)【练习设计】请完成本课时对应练习！2 全等三角形的判定条件(第2课时)【教学目标】一、基本目标1．理解影响两个三角形是否全等的元素(边、角)．2．理解两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等．二、重难点目标【教学重点】通过探索得出：两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角)，这两个三角形不一定全等．【教学难点】通过探索得出三角形全等的判定条件是可以减少的．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P59～P61的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．两个三角形完全重合，则这两个三角形全等．2．若两个三角形的三条边与三个角都分别对应相等，那么这两个三角形全等．3．一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形全等．4．全等三角形的判定条件至少需要两个三角形有三个相等的元素．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例题】如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移到△DEF处，下列结论中错误的是(  )A．AC＝DFB．∠DEF＝90°C．△ABC≌△DEFD．EC＝CF【互动探索】(引发学生思考)根据题意，得△ABC与△DEF具有怎样的关系？【分析】∵△DEF由Rt△ABC平移而成，∠ABC＝90°，∴△DEF≌△ABC，∴AC＝DF，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，∴A、B、C正确．∵平移的距离及BC的长度不能确定，∴EC与CF的长短不能确定，∴D错误．【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形全等．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝95°，∠B＝45°，则∠CAD度数为( D )A．95°B．45°C．30°D．40°2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( D )A．72°B．60°C．50°D．58°3．如图，△ABC为等边三角形，D是BC边上的一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置．(1)请说出旋转中心、旋转方向以及旋转角度；(2)请找出AB、AD旋转后的对应线段； (3)若∠BAD＝25°，求∠AEC度数．解：(1)由题意，得点A为旋转中心，旋转方向为顺时针，旋转角度为60°.(2)AB、AD旋转后的对应线段分别为AC、AE.(3)∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°.又∵∠BAD＝25°，∴∠ADB＝180°－25°－60°＝95°.由题意知△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB＝95°.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)【练习设计】请完成本课时对应练习！3 边角边(第3课时)【教学目标】一、基本目标掌握三角形全等的“边角边”判定方法，并能进行简单的应用．二、重难点目标【教学重点】应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．【教学难点】分析问题，寻找判定三角形全等的条件．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题 【5min阅读】阅读教材P62～P65的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“S.A．S.”．2．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．3．如图，AB与CD相交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝_∠COB___，根据S.A．S.可得到△AOD≌△COB，从而得到AD＝CB.4．如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是_∠ADC＝∠ADB_.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.【互动探索】(引发学生思考)由AD＝BF易得AF＝BD.又AE＝BC，则要证△AEF≌△BCD还需什么条件？【证明】∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵∴△AEF≌△BCD(S.A．S.)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2.若∠1＝45°，求∠C的度数． 【互动探索】(引发学生思考)要求∠C的度数，若△ABC≌△FBE，就可以得出∠C＝∠BEF，则由BC∥EF可得∠C＝∠BEF＝∠1，从而解决问题．【解答】∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，∵∴△ABC≌△FBE(S.A．S.)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∠1＝45°，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( A )A．∠1＝∠2B．∠B＝∠C  C．∠D＝∠ED．∠BAE＝∠CAD2．下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( C ) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF3．如图，已知AB＝AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？为什么？解：AC平分∠BCD.理由如下： ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABC和△ADC中，∵∴△ABC≌ADC(S.A．S.)，∴∠ACB＝∠ACD，∴AC平分∠BCD.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.【互动探索】观察图形，证明△ADE≌△CDG，就可以得出AE＝CG；结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AE⊥CG.【证明】(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE和△CDG中，∵∴△ADE≌△CDG(S.A．S.)，∴AE＝CG.(2)设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于N.在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED.又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，∴∠CGD＋∠GMN＝90°，∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形的四条边相等，四个角都等于90°，利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评) 【练习设计】请完成本课时对应练习！4 角边角(第4课时)【教学目标】一、基本目标掌握三角形全等的判定方法：A．S.A．和A．A．S.并能解决实际问题．二、重难点目标【教学重点】已知两角一边的三角形全等的探究．【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明三角形全等．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P66～P70的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“A.S.A.”．2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“A.A.S.”．3．能确定△ABC≌△DEF的条件是( D )A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E4．如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：∠B＝∠C_，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可) 教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.【互动探索】(引发学生思考)由AE＝CF，易得AF＝CE.要证ADF≌△CBE还需哪些条件？【证明】∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∵∴△ADF≌△CBE(A.S.A．)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在“A.S.A．”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边，应用时要注意区分．【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC交于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F.若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC≌△BDF，只需证∠DAC＝∠DBF.又在Rt△ADC与Rt△BDF中，利用“等角的余角相等”即可得∠DAC＝∠DBF.【证明】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＝90°，∠BFD＋∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵ ∴△ADC≌△BDF(A.A.S.)．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．(2)有直角三角形就有互余的角，利用“同角(等角)的余角相等”是证角相等的常用方法．活动2 巩固练习(学生独学)1．完成教材P70“练习”第1～2题．略2．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠BDE.在△ABC和△EDB中，∵∴△ABC≌△EDB(S.A．S.)，∴∠A＝∠E.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)【练习设计】请完成本课时对应练习！5 边边边(第5课时)【教学目标】一、基本目标会运用“边边边”证明三角形全等．二、重难点目标【教学重点】掌握“边边边”判定两个三角形全等．【教学难点】 探索三角形全等条件的过程．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P71～P72的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“S.S.S.”．2．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△EFG.3．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6.4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是S.S.S..    环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌△ADC.【互动探索】(引发学生思考)要证△ABC≌△ADC，只需看这两个三角形的三边是否相等．【证明】在△ABC和△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC(S.S.S.)．【互动总结】(学生总结，老师点评)注意运用“S.S.S.”证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．【例2】如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“S.S.S.”证明△ABC≌△DEF.【证明】∵BE＝CF， ∴EC＋BE＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(S.S.S.)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法看缺什么条件，再去证什么条件．【例3】如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形．【解答】∠B＝∠D.理由如下：连结AC.在△ADC和△ABC中，∵∴△ADC≌△ABC(S.S.S.)，∴∠B＝∠D.【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，但现有条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是( C )A．△ABC≌△BADB．∠CAB＝∠DBAC．OB＝OCD．∠C＝∠D2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是S.S.S..3．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF. 求证：(1)∠D＝∠B；(2)AE∥CF.证明：(1)在△ADE和△CBF中，∵∴△ADE≌△CBF(S.S.S.)，∴∠D＝∠B.(2)∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB.∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，∴∠AEO＝∠CFO，∴AE∥CF.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)【练习设计】请完成本课时对应练习！6 斜边直角边(第6课时)【教学目标】一、基本目标掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(或H.L.)．二、重难点目标【教学重点】直角三角形全等的判定定理的理解和应用．【教学难点】利用直角三角形全等的判定定理解决问题．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题 【5min阅读】阅读教材P73～P75的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是( B )A．A.A.S.B．S.A.S.C．H.L.D．S.S.S.2．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“H.L.”．3．判定两个直角三角形全等的方法有S.S.S.、A.S.A．、A.A.S.、S.A.S.、H.L..环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.【互动探索】(引发学生思考)可以通过证△ABC≌△ADC得到∠1＝∠2.结合已知条件，可以利用“H.L.”得到Rt△ABC≌Rt△ADC.【证明】∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC和△ACD均为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.)，∴∠1＝∠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用“H.L.”证明三角形全等的前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．【例2】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.【互动探索】(引发学生思考)观察图形，不能直接通过证△AOD与△BOC得到结论，需作辅助线CD，用“H.L.”证明Rt△ADC≌Rt△BCD，从而得到AD＝BC.【证明】连结CD. ∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∴Rt△ADC≌Rt△BCD，∴AD＝BC.活动2 巩固练习(学生独学)1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( B )A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE.若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝__7___cm.3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.)，∴BC＝EF，∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.【互动探索】要证BC＝BE ，可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(H.L.)，∴CD＝EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，∵∴Rt△ABD≌Rt△ABF(H.L.)，∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以通过证明三角形全等解决．在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)【练习设计】请完成本课时对应练习！