§9.2空间直线 异面直线间距离的一个简明公式_334

异面直线间距离的一个简明公式本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.定理 如图1，异面直线AB，CD分别在二面角—AC—的面和内，二面角—AC—的大小为，AC=l，∠ACD=x，∠BAC=y.那么异面直线AB与CD间的距离d=证：如图1，过点D作平面的垂线DF，F为垂足.在平面内，过点F作FG⊥AB于G，FE⊥AC于E，连结DE，DG.则∠DEF=，且（DG）min=d.设DF=t，在Rt△DFE中，EF=tctg.在Rt△DEC中，EC=DEctgx=tcsc·ctgx.∴AE=AC-EC=l-tcscctgx.图1图2在四边形AEFG中（图2），过点F作AE的平行线交AG于M，过点M作MN⊥AE于N.则MF=NE=AE-AN=在Rt△MGF中，FG=所以在根据二次函数的极值公式可得 例2.已知正方形ABCD和正方形ADD1A1所在平面互相垂直，AB=a，求异面直线DB与AD1的距离.解：由已知及定理得图3例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB，AC为∠VAB的平分线，点D在底面圆周上，且∠ABD=30°，底面圆的直径AB=2R.求异面直线AC与BD的距离.解：由已知得x=y=30°，=90°，l=2R.由定理可得d=两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、图4简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.